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SeminaireBOURBAKI 58emeannee,2005-2006,no952
Novembre 2005
COMPACTIFICATION DE L’ESPACE DES MODULES DES VARIETESABELIENNESPRINCIPALEMENTPOLARISEES [D’APR ES V. ALEXEEV] parMichel BRION
INTRODUCTION
Classiquement,lesvarietesabeliennescomplexesdedimensiongmunies d’une po-larisationprincipalesontparametreesparlequotientAgdu demi-espace de SiegelHg sous l’action du groupe symplectique entier Sp2g(Z). L’espace des modules Agest un espace analytique complexe de dimensiong(g+ 1)/uosqeitarulngsisedeuqtnayan2-tient par des groupes nis. En fait, AgjeroepteivctunouestdeZavertdiuirksireenav Agmintsnoc(rapetiurguseenldraesesecap-olsSatake,BailyetBoerdlnalscedaerlp calementsymetriques):lacompacti cationminimale,dontlebordestdecodimension giretAe.aLavgminest en general bien plus singuliere que Ag des, mais on en connaˆt desingularisationspartielles:lescompacti cationstorodales(construitespourleses-paceslocalementsymetriquesparAsh,Mumford,RapoportetTai)dontlebordestun diviseur,etquinontquedessingularitesquotientpardesgroupes nis. Toutescescompacti cationsdeAgttentdesadmeuslrseneomdleseomsc-ertiles, pacti cations arithmetiques de Faltings et Chai. Cependant, elles sont construites par desprocedesadhocquinendonnentpasdinterpretationmodulaire,asavoir,comme espaces de parametres d’objets geometriques (ce sens de l’adjectif “modulaire” est sans rapportaveclesformesmodulaires,quiontdesliensetroitsaveclacompacti cation minimale). Desexemplesimportantsdevarietesabeliennesprincipalementpolariseessontles jacobiennes des courbes algebriques irreductibles, lisses et completes de genreg 2. Ces courbes admettent un espace des modules Mgdont on connaˆt cette fois une compacti cation modulaire Mg, parametrant les courbes stables de genre arithmetique g. En associant a chaque courbe sa jacobienne, on obtient un morphismet: MgAg quiestinjectifdapresletheoremedeTorelli;deplus,Mg, Mgettadmettent des modeles entiers. La question se pose alors de construire une compacti cation modulaire et canonique de Agn eiuslrd,emeroe lremhpsideteetrmtiacmpcoreitneseepiuqtes de Torellit. Lestravaux[2,3,4]dAlexeevapportentunereponsecompleteacettequestion. Sa compacti cation Agmodest un espace des modules de “couples quasi-abeliens sta-bles” ; il s’agit des couples (X, D) ouXonexm,iansevc(noeneteiraitcejorpevunste
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necessairementirreductible)danslaquelleunevarietesemi-abelienneGevaenucoerp nombre nidorbites,etD et ample surest un diviseur e ectifXqui ne contient aucune de ces orbites. On suppose de plus queXest equidimensionnelle de dimensionget semi-normale (c’est une petite restriction sur ses singularites) et que les stabilisateurs de l’action deGsont des tores. Lexempleleplussimpleduntelcoupleestformedunevarieteabelienneoperant danselle-meˆmepartranslations,etdundiviseurtheˆta.Unexempleplussingulierest celui ouXest une cubique plane nodale munie de l’action du groupe multiplicatifGet du diviseurDforme d’un point distinct du point double ; c’est une degenerescence des cubiques planes lisses munies d’un point, c.-a-d des courbes elliptiques. Atoutcouplequasi-abelienstableonpeutassocieruncomplexedepolytopescon-vexesentiersappelesontype.Lescouplesdontletypeestunpavageperiodique par des polytopes convexes entiers” d’un espace vectorielRr,rgnoptramaertes,s par la compacti cation modulaire Agmod. Parmi ces couples, on trouve ceux associes commeprecedemmentauxvarietesabeliennesprincipalementpolarisees(cestlecasou r ees= 0), et aussi les jacobiennes compacti des courbes stables de genre arithmetique mod g e permet d’obtenir un morphisme de Torelli compacti  . Cecit: MgAg; son imageestcontenuedansladherencedeAg, une composante irreductible de Agmoddont la normalisation est une compacti cation toro dale particuliere, notee AgVor. Engeneral,Agmodcnoit2[;]lbsemeneuart,tdittuadtneopmocseriresntsatiucedr ce n’est pas une compacti cation de Agau sens usuel. description modulaire de Une la “composante principale” AgVorest proposee par Olsson [21] en termes de geometrie logarithmique;plusgeneralement,Olssonobtientunecompacti cationcanoniquedes espaces Ag,dtlenvaesamartreebaneileirsetuqpionensiedimnesdgmunies d’une po-larisation de degred2. Mais des la construction d’une compacti cation modulaire espaces Ag,d,n(ou on se donne aussi une structure de niveaun) est une question ouverte. Lade nitiondescouplesquasi-abeliensstablessembleassezarbitraire:pourquoi faudrait-il s’interesser a des objets aussi singuliers ? En fait, la construction d’espaces desmodulesdevarietesprojectivesetlissesfaitapparaˆtredesobjetstresanalogues: a ndepouvoirconsidererdetellesvarietesXdont la classe canoniqueKXn’est pas ample(parexemple,lesvarietesabeliennes,pourlesquellesKXest triviale), on est amene a introduire des couples (X, D) ouDest un diviseur e ectif surXtel que KX+Dest ample.obtenir des espaces des modules complets, il faut autoriser Et pour desdegenerescencessingulieresdecescouplesendescouplesstables. Les courbes stables pointees forment le premier exemple de tels couples ; d’autres exemples importants sont les surfaces stables de [11]. Dans le manuscript [1], Alexeev formuleunede nitiongeneraledescouplesstables,etmontrequelexistencedunes-pace des modules complet pour ceux-ci se deduit d’un ensemble de conjectures dans laclassi cationdesvarietesalgebriques:leprogrammedeMorilogarithmique.Ces
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conjectures sont toujours ouvertes en grande dimension, et la construction de Amod g sobtientpardesmethodesspeci queslieesauxsymetriesdesvarietesconsiderees. Lebutdecetexteestdexposerunepartiedesresultatsdesarticles[2,3,4,5]avec desprerequismodestesdegeometriealgebrique(parexemple,lecontenudumanuel[9]), dans l’espoir de rendre plus accessible un sujet ou foisonnent les notations, les de nitions et les concepts. C’est pourquoi on rassemble dans la premiere partie des resultats classiquessurlesvarietesabeliennesetleursespacesdesmodules,tiresdesouvrages [13,15,8].Lasecondepartieestconsacreeauneconstructiondedegenerescences maximalesdevarietesabeliennes,quifaitapparaˆtrebeaucoupdingredientsdela compacti cation modulaire. Celle-ci fait l’objet de la troisieme partie ; on y decrit la structure des couples stables qu’elle classi e et on enonce les resultats principaux la concernant,engeneralsansdemonstrationdetaillee. JeremercieR.Bacher,O.Debarre,S.DruelettoutparticulierementV.Alexeevet G. Remond pour des discussions tres utiles et pour leurs commentaires sur les versions successivesdecetexte;ilvadesoiquejesuisseulresponsabledeserreursetimprecisions qui pourraient y subsister.
1. VARI ET ES AB ELIENNES PRINCIPALEMENT POLARIS EES ET LEURS ESPACES DES MODULES
Dans tout ce texte, on appellevarieteunscetypeaupdtriece,dntoehnmeexsra,ee nisuruncorpsalgebriquementcloskccveteet;asntpanesotesrieseavnol,neitocvn necessairementintegres.OnappellecourberepuEn1.,o nnetdedemineisnounevari identi echaquefaisceauinversibleau breendroitesdontilestlefaisceaudessections locales.
1.1.Varietesabeliennes Unevarietecompleteestditeabeliennesi elle est munie d’une structure de groupe algebrique.UnetellevarieteAest integre, projective et lisse, et sa loi de groupe est commutative;onlanoteadditivement.Deplus,lastructuredegroupesurlavariete AsedonnarlaeeprmineetnedtuqmeutinuttourPo0.reutnetnemeleledeeaA, on note a:AA, x7→x+a la translation para. Le sous-groupe du groupe de Picard deAforme des classes d’isomorphie des br es algebriquementequivalentsau bretrivialestnotePic0(A) ouA; c’est aussi une varieteabelienne,ladualedeAomomthou.Tireedavsiemrohpneslienabetesf:AB de nitunhomomorphismedualf:BA, la restriction def: Pic(B)Pic(A).