Seminaire BOURBAKI Novembre 64eme annee no

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Seminaire BOURBAKI Novembre 2011 64eme annee, 2011-2012, no 1043 RESTRICTION DE REPRESENTATIONS ET PROJECTIONS D'ORBITES COADJOINTES [d'apres Belkale, Kumar et Ressayre] par Michel BRION 1. LE PROBLEME DE LA RESTRICTION POUR LES GROUPES DE LIE COMPACTS CONNEXES 1.1. Introduction Soient K un groupe de Lie compact connexe et L un sous-groupe ferme connexe. Le probleme considere dans cet expose est de determiner les representations irreductibles (continues, complexes) de L qui apparaissent dans la restriction d'une representation irreductible de K. En theorie, ce probleme a une solution complete : rappelons que les representations irreductibles de K sont parametrees par les poids dominants. Notons ?+K l'ensemble de ces poids, et VK(?) le K-module simple de plus haut poids ? ? ? + K . Definissons de meme ?+L et VL(µ) ; on a alors un isomorphisme de L-modules ResKL VK(?) ?= ? µ??+L m(µ, ?)VL(µ) ou les multiplicites m(µ, ?) sont des entiers naturels uniquement determines. En notant ?K(?) le caractere de VK(?) et ?L(µ) celui de VL(µ), on obtient m(µ, ?) = dim HomL(VL(µ),Res K L VK(?)) = ∫ L ?K(?)?L(µ) dl ou dl designe la mesure de Haar de L, normalisee de

  • solution complete

  • poids fondamentaux

  • somme alternee d'entiers positifs

  • systeme minimal

  • groupe algebrique

  • g?

  • polytope convexe

  • description du ??cone de la restriction ??


Publié le : mardi 1 novembre 2011
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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S´eminaireBOURBAKI 64e`meann´ee,2011-2012,no1043
Novembre 2011
´ RESTRICTION DE REPRESENTATIONS ET PROJECTIONS D’ORBITES COADJOINTES [dapre`sBelkale,KumaretRessayre] parMichel BRION
` 1. LE PROBLEME DE LA RESTRICTION POUR LES GROUPES DE LIE COMPACTS CONNEXES 1.1. Introduction SoientKun groupe de Lie compact connexe etLsnuocnnxe.eeLous-groupeferm´e probl`emeconside´r´edanscetexpose´estdeelbise´rrtcudsenepe´rnoisatittermd´elesriner (continues, complexes) deLlarestrisentdanspaaparsiqiunioatntsee´rperenudnoitc irr´eductibledeK. Enthe´orie,ceproblemeaunesolutioncompl`ete:rappelonsquelesrepre´sentations ` irre´ductiblesdeKdodsnamis.nttoNoΛsnsontparam´te´reepsraelpsio+Kl’ensemble de ces poids, etVK(λ) leK-module simple de plus haut poidsλΛK+dseonssnieD´. meˆmeΛ+LetVL(µon a alors un isomorphisme de ) ;L-modules ResLKVK(λ)=Mm(µ, λ)VL(µ) µΛ+ L ou`lesmultiplicit´esm(µ, λitresenerulenstaontd)snimr.se´onnEtnatnisuemqutdente´e χK(λdee)lecaract`erVK(λ) etχL(µ) celui deVL(µ), on obtient m(µ, λ) = dim HomL(VL(µ),ResKLVK(λ)) =ZLχK(λ)χL(µ)dl ou`dleHedrdaaamelurese´dngiseLsortequeil´seeedn,roamRLdl=1.Grˆaceaux formulesdescaract`eresetdinte´grationdeWeyl,onpeutdoncexprimerlafonction (µ, λ)7→m(µ, λco´iee`sa)nees´enndodeesrmtessaseriotanibmocKetL. Cependant, laformuleainsiobtenue([14,Lem.3.1])nepermetquerarementdecaract´eriserles couples (λ, µ) tels quem(µ, λ)6= 0, comme l’illustrent les exemples suivants. Exemple 1.1. — Prenons pourLun tore maximalTdeK. Soit Λ le groupe des car-acte`resdeT; alors Λ+:= ΛK+est l’intersection du groupe des poids Λ = ΛT+et de la chambre positiveCeirotcevΛlee´rldanslespaceR:= ΛZR. De plus,m(µ, λ) est la multiplicite du poidsµdansVK(λ) =:V(λ). ´
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Laformuledescaracte`resdeWeylsere´e´critsouslaforme m(µ, λ) =Xε(w)P(w(λ+ρ)(µ+ρ)) wW ou on noteWle groupe de Weyl,ε:W→ {±1}te´eedl(tnanimreralruopsentpr´enatio ` deWdans ΛR),ρla demi-somme des racines positives, etPla fonction de partitions en racines positives ([9, Ch. VIII,§9, Prop. 1]). Ceci exprimem(µ, λ) comme une somme altern´eedentierspositifs,enge´ne´raltr`esgrands. Cependant, l’ensemble des poids deV(λ:elpirndteec`etrimssemutenedcsirtpoi)ad cestlintersectiondutranslat´eλ+ ΛR`uΛoR´dgeeneΛedpuorg-suoselengid´es n re par les racines, et de l’enveloppe convexe Conv(W λ) de l’orbite deλparW([9, Ch. VIII, §7, Prop. 5 et Exer. 1]). LorsqueKest semi-simple, le polytope Conv(W λ)efost´ermsdeµΛRqui sont solutionsdusyst`emedin´equationsline´aires (µ, w$i)(λ, $i)0 (i= 1, . . . , r, wW/Wi) ou$1, . . . , $rtlesgnen´esidemaduatndiopnofsx,Wile groupe d’isotropie de$idans ` W, et (,Λiruqserulraefsoyrmm´eebtilin´ea)iRprovenant de la forme de Killing. Si depluslarepr´esentationdeKdansV(λnnyo)uanutnemrofsnoituaeqn´sicei,nau syste`meminimal:ellessontdeux`adeuxnone´quivalentes,etchacuned´enituneface de codimension 1 de Conv(W λ). Exemple 1.2. — Considerons l’inclusion diagonale deKdansK×K. Avec les notations ´ delexemplepre´c´edent,lesK×K-modules simples ne sont autres que les produits tensorielsV(λ)V(µ`)uλ, µΛ+.mseLtiulicpl´eitsm(ν, λ, µ) sont classiquement o not´eescµ,νλeppatesee´lcoefficients de Littlewood-Richardson; on a donc un isomorphisme deK-modules V(λ)V(µ) =Mc,µνλV(ν). νΛ+ Ond´eduitdelaformuledescaract`eresdeWeyllidentite´ cν,λµ=Xε(ww0)P(w(λ+ρ) +w0(µ+ρ)(ν+ 2ρ)) (w,w0)W×W ([9, Ch. VIII,§semoemlaetnre´esteeitrounrecoenmelu`o)]dederbmeop.29,Pr d’entiers positifs. Par ailleurs, lescλ,νµedste´einrmbiomnccoa¸eftdenalrap,eriotan re`gledeLittlewood-RichardsonlorsqueKest le groupe unitaire Un([28, I.9]), et par le hhmod`eimsneledcsehiipourKarbitraire ([27]). En notantνle plus haut poids duG-module simple dualV(ν), on obtient cλν= dim(V(λ)V(µ)V(ν))G. En particulier,cνλsestmye´rtqieuneλ,µetν. Posons LR(K) :={(λ, µ, ν)+)3|cλ,νµ6= 0}.
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On verra en 2.1 que LR(Knom-suosnutse)denieypetedıdo¨(Λ+)3, et en 2.2 que le sous-groupe de Λ3ngedrenpa´eR(rLKse)roftde´m(seλ, µ, ν) tels queλ+µ+νΛR. LorsqueK= Un, on pose LR(K) := LRn; on identifie les poids dominants aux suites de´croissantes(λ1. . .λndeeivrscu´enrioptricsedenU.sfitalerentiersorm´eesdf) LRnest obtenue par la combinaison de travaux de Klyachko ([22]) et de Knutson et Tao ([24]) : (λ, µ, ν)LRnseist´tilagentmeleeu´alonsi e n n n Xλi+Xµj+Xνk= 0 i=1j=1k=1 etlesine´galit´es Xλa+Xµb+Xνc0 aA bB cC pour tous les sous-ensemblesA, B, Cde{1, . . . , n} mbre ˆui ont lrel´ementsd´ q e meme no (o`ur= 1, . . . , n1) et qui satisfont (λ(A), λ(B), λ(C)(nr)r)LRr ou`λ(A) := (nr+ 1a1, . . . , nar) lorsqueA= (a1<∙ ∙ ∙< ar),eto`unoopes (nr)r:= (nr, . . . , nr).utKn,noseoaTooWtrawdsontiuaeqn´sieleuqe´rtnomtnod pour lesquellesc(cλ(rA),λr,.(.,Bc.)11)imin([alt`ysememnemrsnutof1=)].52S,ce6. Pour un groupeKarbitraire, lehhwelttiLehciR-doomedıdo¨ononardsiiLR(K) est en ge´ne´ralinconnu.Maislecˆonequilengendreestconvexe,poly´edraletrationnel,eton saitled´ecrirepardesin´equations;lere´sultatleplusnestdˆu`aBelkaleetKumar ([4])apr`esdenombreuxtravauxante´rieurs.Lamyst´erieuseconditionsurlestriplets d’indices (A, B, Cnegareete`estentiprer)str.uhebedcSclludecarmesentelise ´ ´ Plusg´ene´ralement,lemonoı¨deasso¸gauprobl`emed cie´defaconanaloueelarestriction estdetypeni;lesine´quationsminimalesducˆonequilengendreonte´t´eobtenuespar Ressayredanslarticle[33].Apre`squelquespr´eliminairesdethe´orieg´eom´etriquedes invariants,onexposeraunepartiedecetarticle,pouraboutira`ladescriptionduhhˆonec de la restrictioniiitucilred,u9)4.me`earnp,eetroe´ht(hhnedeLittlewood-Rcoˆahciosdrnii (the´or`emes4.10et4.11).Ontermineraparunebe`´ntationdesre´sultatsde[4], r ve prese ainsiquedetravauxult´erieursetdequestionsouvertes. 1.2. Projection d’orbites coadjointes Unlienentrerestrictionderepre´sentationsetprojectiondorbitescoadjointesa´et´e de´couvertparHeckman([14]),puisg´ene´ralis´eparGuilleminetSternberg([13])dans lecadredelag´eom´etriehamiltonienne.Pourpr´esentercelien,introduisonsquelques notations. Le groupeKeiLg`ebredeanssonalo`predekjoadteintaenontiperase´rlraptoeo;nn kee´leppa,elaudnoitentar´esarepedelpscalecoadjointend.O´enitdemˆemeletl. L’inclusion deldanskse transpose en la projection p:kl
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