Seminaire Lotharingien de Combinatoire B31a 15pp

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Seminaire Lotharingien de Combinatoire, B31a(????), 15pp. Une version geometrique de la construction de Kerov-Kirillov-Reshetikhin PAR GUO-NIU HAN(?) 1. Introduction Les tableaux de Young, standard ou generaux, sont des objets combina- toires classiques, riches, mais difficiles a etudier. Beaucoup de problemes les concernant sont encore ouverts. Par exemple, pour trouver le nom- bre de tableaux de forme et d'evaluation donnees, ou plus generalement, pour calculer les polynomes de Kostka, on n'a pas de methode efficace comme des formules de recurrence : on en est reduit a enumerer tous les tableaux d'un type donne. On est alors confronte au probleme de trou- ver une methode pour engendrer tous les tableaux. Si l'on travaille sur le monoıde plaxique [LS1], qui est un objet equivalent a l'algebre des tableaux, il est difficile d'enumerer tous les mots non congrus par rap- port a la relation plaxique [Kn]. Force est donc de rester attentif a toute nouvelle approche qui rendrait cette algebre de tableaux plus accessible. Par une demarche totalement differente des methodes utilisees jusqu'ici, S. V. Kerov, A.-N. Kirillov et N. Yu. Reshetikhin ont introduit des nou- veaux objets (rigged configurations en anglais) qui sont en bijection avec les tableaux de Young (cf.

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : www-irma.u-strasbg.fr
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S´eminaireLotharingiendeCombinatoire , B31a (  ), 15pp.
Uneversiong´eom´etriquedelaconstructionde Kerov-Kirillov-Reshetikhin P AR G UO-NIU HAN( )
1. Introduction LestableauxdeYoung,standardouge´n´eraux,sontdesobjetscombina-toiresclassiques,riches,maisdiciles`a´etudier.Beaucoupdeproble`mes les concernant sont encore ouverts. Par exemple, pour trouver le nom-bredetableauxdeformeetd´evaluationdonn´ees,ouplusge´ne´ralement, pourcalculerlespolynoˆmesdeKostka,onnapasdeme´thodeecace commedesformulesdere´currence:onenestre´duit`ae´num´erertousles tableauxduntypedonn´e.Onestalorsconfronte´auproble`medetrou-veruneme´thodepourengendrertouslestableaux.Silontravaillesur lemonoı¨deplaxique[LS1],quiestunobjete´quivalent`alalge`bredes tableaux,ilestdiciled´enume´rertouslesmotsnoncongrusparrap-port`alarelationplaxique[Kn].Forceestdoncderesterattentifa`toute nouvelleapprochequirendraitcettealg`ebredetableauxplusaccessible. Parunede´marchetotalementdie´rentedesme´thodesutilis´eesjusquici, S. V. Kerov, A.-N. Kirillov et N. Yu. Reshetikhin ont introduit des nou-veaux objets ( rigged configurations en anglais) qui sont en bijection avec les tableaux de Young ( cf . [KKR], [KR], [Ki]). Les sources physiques qui ontconduitlestroisauteurspr´ec´edents`aintroduirecesobjetsrestent bienmt´erieuses.Parcontre,onpeutdonneruneversiontre`scombina-ys toiredeceux-cietrendrepluscompre´hensiblelapprochedecesauteurs enutilisantdesmod`elesge´ome´triques,essentiellementdes chemins polyg-KR se traduit de la f ¸ onaux .Lere´sultatfondamentaldeKaconsuivante danslemode`lecombinatoirequenousallonsde´crireici: Les tableaux de Young sont en bijection avec les matrices dont tous les coefficients sont des chemins. ( )AvecleconcoursduprogrammedesCommunaut´esEurop´eennesen CombinatoireAlge´brique. 1
Lint´ereˆtdumode`leKKRestquilpermetdetraiterplusieursproble`-mes.Dabord,onpeut´enume´rerlestableauxdeYoungparbloc,cequi permetdecalculerlespolynˆomesdeKostkatr`esrapidement.Dautrepart, certainesoperationsfondamentalessurlestableauxousurlemonoı¨deplax-´ ique, comme la standardisation introduiteparLascouxetSch¨utzenberger [LS2], qui semblent peu naturelles (sauf pour leurs inventeurs !) deviennent tre`sexplicitesaveccesnouveauxobjets.Alaidedeceux-ci,ilsembleque denouvellesproprie´te´ssurlestableauxdeYoungpourrontˆetre´etudi´ees. Lobjetdecem´emoireestdexpliciterler´esultatfondammentalde KKR(section2),ded´ecrireensuitedeuxalgorithmessurles matrices de chemins ,ennderede´montrerleth´eor`emefondamentaldeKKR,dans le cas q =1,ene´tablissantunebijectionentrelesmatricesdecheminset les tableaux de Young (section 4). 2.Lethe´ore`medeKKR D´enissonsdabordtrois ope´rationsdedierence sur l’ensemble des ´ matricesdesentiers,indexe´esEst,Sud,Ouestetnote´esrespectivement D E , D S et D O . Soient m = ( m ij ) 1 i l 1 j c et n = ( n ij ) 1 i l 1 j c deux matrices de l lignes et de c colonnes.Ond´enit: (i) n = D E ( m ) nn iijj == mm iijj m ij +1 ssii jj = <cc ,; (ii) n = D S ( m ) nn iijj == mm iijj m i +1 j ssii ii = <ll ,; (iii) n = D O ( m ) n ij = m ijj 1 ssii jj = > 11, n ij = m ij m i ; Il est clair que D O D S = D S D O et que D O D E = D E D O . Soit m une matrice de taille l × c . On introduit cinq autres matrices de meme taille ˆ e E V F f de´niesparlesrelationsd´ecritesdanslesch´emasuivant( ) : D O e ←− D E E ←−− m y D S y D S V ←− D O F D y S f ( )Cetteformeplanaireestsugge´r´eeparlesprofesseursA.Lascouxet M.-P.Schu¨tzenberger. 2
Puisquelinversedesope´rationsdedi´erenceexiste,lunequelconquede cessixmatricespermetdecalculerlescinqautresdefac¸onunique.Les matrices e = ( e ij )  E = ( E ij )  m = ( m ij )  F = ( F ij )  f = ( f ij ) et V = ( V ij ) sontappele´es,respectivement, escalierd´evaluation,matriced´evaluation, matrice centrale, matrice de forme, escalier de forme et matrice de charge . Une matrice centrale m est dite admissible , si les deux escaliers as-socies e et f sontdesmatrices`acoecientspositifs(ceciimpliquequeles ´ trois autres matrices E , m , F sont toutes positives, mais V ne l’est pas ´ n´ecessairement).Evidemment,lacombinaisonlin´eairededeuxmatrices admissibles(centrales)`acoecientspositifsestencoreunematriceadmis-sible.Onde´signe M ( l c ) l’ensemble de toutes les matrices centrales ad-missibles de taille l × c . Soit m unematriceadmissible.Ladernie`recolonne delamatricedeformeassocie´e F ,luedehautenbas,estforce´mentune suite d´ecroissante .Onidentiecettesuite`aune partition d’entier, qu’on appelle forme de m .Delamˆemefa¸con,lapremie`relignedelamatrice d´evaluationassoci´ee E ,luedegauchea`droite,estde´croissanteetpeut aussiˆetreidenti´eea`unepartitiondentier.La transpose´e de cette parti-tionestappele´e e´valuation de m . Le poids de m estd´enicommelepoids desaforme.Onve´rieimm´ediatementquecestaussilepoidsdeson ´evaluation,ouencoreleplusgrandcoecientde m . Le nombre de Kostka associe a m estde´nipar: ´ ` K m = li = Y 11 j = Y c 1 e i + e 1 ij +1 + j f ij Rappelonsquelepolynˆome q -binomialestde´nipar x + y 0 si x < 0 ou y < 0 ; x = [[ xx ]!+[ y ]]!! sinon ; y ou`[ x ]! = 1 + q + q 2 + q 3 +    + q x 1 si x 1 et [0]! = 1. Ond´enitplusge´n´eralementle polynˆomedeKostka associea` m comme ´ ´etant l 1 K m ( q ) = q c ( V ) Y j Y c =1 e i + e 1 ij +1 + j f ij i =1 o`u V estlamatricedechargeassocie´ea` m etou`lonapo´( V ) = se c P li =1 P jc =1 V ij ( V ij 1) 2. 3
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