Soient f une homothetie et g une translation Que peut on dire de g f g et de f g f

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Geometrie 2010-2011 Feuille 2 1. Soient f une homothetie et g une translation. Que peut-on dire de g?f ?g?1 et de f ?g?f?1? 2. On se donne dans R2 les points O = (0, 0), I = (1, 0), J = (0, 1). On considere trois droites D,E, F d'equations respectives x = a, y = b, x+ y = c On note A = D ? E,B = E ? F,C = D ? F . Montrer que si A 6= 0, B 6= I, C 6= J , les droites (OA), (IB), (JC) sont soit paralleles , soit concourantes en un point que l'on determinera. 3. ON se donne dans R2 les points P = (1, 0), P ? = (a, 0), Q = (0, 1) et Q? = (0, a), R = (b, b), R? = (c, c) avec a 6= 0, 1, b 6= c et c 6= ab. Montrer que les droites (PP ?), (QQ?) et (RR?) sont concourantes. Montrer que (PQ) || (P ?Q?), que (PR) et (P ?R?) se coupent en un point Q??, que (QR) et (Q?R?) se coupent en un point P ??.

  • a1 b1

  • c1 a2

  • droite passant par les points de coordonnees barycentriques

  • b1 c1

  • b2 c2

  • point de coordonnees

  • c2 a3


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
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Master1Math´ematiques,MAT414
Universit´eJosephFourier 20092010
Feuilledexercices2:encoredesespe´rancesconditionnelles...
Exercice 1.edavirbaoCpueltoiresdilesal´ea.`rcsseteSoitλ >0,µ >0 et 0< ν(1. SoitX, Y) uncoupledevariablesal´eatoiresentie`respositivestellesque n m nm λ µν 2 P(X,Y)(n, m) =cλ,µ,νpour tout (n, m)N, n!m! o`ucλ,µ,νest une constante de normalisation. X n m nm λ µν 1.V´erierque<(la constantecλ,µ,νest alors l’inverse de cette somme). n!m! 2 (n,m)N 2. Donnerles lois marginales deXetYce´ennioitndconeurevuorT.quepournaetussertessia XetYo´ieepentinsdtes.ndan 3.De´terminerE[X|Y].
Exercice 2.Baisse de 100% du pouvoir d’achat au Casino.euedfoneunrteUjnuoueprso`sXn>0 a`linstantn, avecX0=x0mrnie´etdtnainstaque.AchistenNpa`euojlisemineeuacufeoiluqil doublesilgagneetperddanslecascontraire.Lejoueurd´ecidedarreˆterdejouerquandilposse`de une sommesx´ec(avaneeds´dteintsreime,sx0rtse´niuni(enatst)ouauqilndNpour lequel XN.)aStsar´tgeeiseen=0tuorafesuttoupcoeuqahca`resimedtXnsiXns/2 et de misersXn siXn> s/2. 1.Lejeusarreˆtetilavecprobabilite´1auboutdunnombrenidecoups?Justiervotrere´ponse. 2 2. Montrerque pour tout (k, n)N,kn, on aE[Xk|X1, X2,∙ ∙ ∙, Xn] =Xn. 3.Ende´duirelaprobabilit´equelejoueurterminelejeuen´etantruin´e.
Exercice 3.nepecnadnoceitidneone.llInd´Deux tribusG1etG2sont dites conditionnellement inde´pendantesparrapporta`latribuGsi E[X1X2|G] =E[X1|G]E[X2|G] pourtoutevariableale´atoireX1(respectivementX2) positiveG1mesurable (resp.G2mesurable). 1. MontrerqueG1etG2ioitelnnmeleinnttnosdnocapport´dpeneadtnseaprrGsi et seulement si E[X2|σ(G,G1)] =E[X2|Greatoirtou]paviruoetlae´baelX2positiveG2mesurable. 2. MontrerqueG1etG2esionnellereconditpeneadtnemtnni´d´endeitrˆentveeuteˆsnassetnadnepp parrapport`aunetroisie`metribuG. 3. Soit(X0, X1, X2laselbaieriotae´pe´endsis.teanndoMtnerqreutrip)unevarletdσ(X0+X1+X2) etσ(X0dnocoitilennemelinntepd´daenesnt`artpoap)rsropnatσ(X0+X1).
Exercice 4..i.iriseaeotas´lablevariumdeaximMd.Soit (Xk)1kneellestoiresr´aselae´lavsebaird ind´ependantesdemˆemeloiadmettantunedensit´eρ(xLeberede.sgueoptrrrpaemusa`alpa) 1.Calculerlaloidelavariableal´eatoireM= max{X1,∙ ∙ ∙, Xn}. 2.D´eterminerlaloiconditionnelledeXksachantM.
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t n Exercice 5.e´ialnnier.R´iossreegSoitX= (X1,∙ ∙ ∙, Xnadsnoire´eat)uurnavlecteRetYune variableal´eatoirere´elle.OnsupposequeX1,∙ ∙ ∙, XnetYehcorutveprapblraOne.e´ni´tgetnedacrrso n Ypar une fonction affine desXkde la formeAX+bo`u,ARetbRstnimiersan.Deste´dtnos lasuite,onconside`reAcomme un vecteur ligne etXcomme un vecteur colonne, de sorte queAX n co¨ıncide avec le produit scalaire canoniqueAXdeAet deXdansR. OnchercheAetbere`edinam 2 a`minimiserladistanceaucarre´E[(YAXb) ]. b 1.Onconsid`eredabordlecasn= 1.Montrer que la meilleure approximationY=AX+bdeY 2 au sens de la distance dansL,F,P) cidessus vaut :   cov(X, Y) b Y=XE[X] +E[Y]. var(X)
e e 2.One´tudie`apr´esentlecasn2. SoitX=XE[X] etY=YE[Y]. Onnote respectivement e ee e t t ΓX=E[X X] et ΓY,X=E[Y X]) la matrice de covariance deX(matricen×n) et la matrice d’intercovariance deYetXveduceanrivacodeeriotae´laruetcteur(vecirecmata)eL.ilng t (X1,∙ ∙ ∙, Xn, Y) vaut alors  ! t ΓXΓY,X Γ =. ΓY,Xvar(Y) (a) Montrerque    1/21/2 1/21/2 2t E[(YAXb=) ]AΓΓY,XΓAΓΓY,XΓ X XX X   2 1t +var(Y)ΓY,XΓ ΓY,X+E[Y]AE[X]b . X (b)Ende´duirequelameilleureapproximationdeYpar une fonction affine desXkvaut :   1 b Y= ΓY,XΓXE[X] +E[Y]. X 3. Onsuppose que (X1,∙ ∙ ∙, Xn, Y)seectetunv´eaturalsuagerionoM.neisequertr b Y=E[Y|X1,∙ ∙ ∙, Xn].
Exercice 6.Processus de Poisson.s`adculeartidespotri´laepmasseetesnU´tamaireaduraciof´tietem T0= 0T1T2≤ ∙∙ ∙Tk1Tk≤ ∙∙ ∙suppose que les temps d’attente Δ. Onk=TkTk1 entredeuxe´missionssuccessivessontinde´pendantsentreeuxetidentiquementdistribu´esselonune loiexponentielledeparam`etreλtout. Pourt >0, soit
X N= t1{Tkt} k=1
lavariableal´eatoirecomptantlenombred´emissionsdanslintervalledetemps]0, t].
1. MontrerqueNtenutdiolteeriusdeparam`ePoissonλt. 2.De´terminerlesdensit´esdesloisdesvariablesale´atoiresTk,kN. 3.Onsupposequelesparticules´emisessontd´etecte´esa`partirdutempss >tout0. PourkN, (s) (s) (s) (s) soitTleketd´tieccoont´mppa`eitratudrspme`imetemespedset Δ=TT(avec k kk k1 (s) la conventionT=sa`tsec),,erid0 ( (s) (s)TNs+1ssik= 1 T=TNs+ket Δ= k k ΔNs+ksik2.
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