Sous algebres de dimension finie de l'algebre des champs hamiltoniens

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Sous-algebres de dimension finie de l'algebre des champs hamiltoniens. Thomas Delzant (1) I. Introduction. Soit (M,?) une variete symplectique. Rappelons qu'un champs de vecteur X sur M est localement hamiltonien si son flot preserve la structure symplectique, ou, ce qui revient au meme , si i(X)? est une 1-forme fermee. Si cette forme est exacte on dit que X est globalement hamiltonien. Un hamiltonien de X est une fonction x ? C∞(M) telle que i(X)? = dx. L'ensemble X? des champs de vecteurs localements hamiltoniens forme une algebre de Lie pour le crochet de Poisson. La sous-algebre X h? des champs globalement hamiltoniens est un ideal de l'algebre X? des champs localement hamiltoniens, contenant l'ideal derive. Cela resulte de la formule de Poisson : Si X et Y sont localement hamiltoniens , ?(X,Y ) est un hamiltonien de [X,Y ]. Pour toutes ces notions, le lecteur pourra se reporter au traite de J. M Souriau ([S]), ainsi qu'a ([A], [A-M], [G-S], [L-M], [M-S], [W]).

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Sous-alg`ebresdedimensionniedelalge`bredeschampshamiltoniens. (1) Thomas Delzant
I. Introduction. Soit (M, σsnuqucnR.paepolecteurhampsdev)i´arevunpmyse´teeuqitcelXsurM estlocalementhamiltoniensisonotpr´eservelastructuresymplectique,ou,cequirevient aumˆeme,sii(X)σmre´.ee´eciSfettesnetufo1-efrmtiuqeormeestexacteondXest globalement hamiltonien.Un hamiltonien deXest une fonctionxC(M) telle que i(X)σ=dx. L’ensembleXσsdmpecevdehascederbe`glaenueiensformhamiltonlamenestetrulsco h LiepourlecrochetdePoisson.Lasous-alg`ebreXdes champs globalement hamiltoniens σ estunide´aldelalg`ebreXσal´eerd´´eiv.hcsedacolspmalementhamiltoniesnc,noetantnldi Celare´sultedelaformuledePoisson: SiXetYsont localement hamiltoniens ,σ(X, Y) est un hamiltonien de [X, Y]. Pourtoutescesnotions,lelecteurpourrasereporterautrait´edeJ.MSouriau([S]), ainsiqua`([A],[A-M],[G-S],[L-M],[M-S],[W]). Nous´etudionslessous-alge`bresdedimensionniedeXσ,ossul-hpytoeuqese`hMsoit compacte.Onpeutregrouperlesr´esultatsobtenusenun´enonc´e. The´ore`me.SoitGalg`ebrendenLiieedelidemsnoi`gbeeredouesals-unXσdes T h champs localement hamiltoniens, et soitH=G Xsglohampdescebre-abel-suo`glasal σ ment hamiltoniens deG. i) SiG=R+SisitnoedeLiv,opmoce´denutse[R,S] = 0. ii) SiGest semi-simple, elle est compacte. iii) SiGest nilpotente,Hest centrale,etGest nilpotente en deux coups. iv) SiGe,bl´eestrlusoHe,ente´baneilsteGseelienne.tm´etab´ IID´emonstration. SoitGoisnemidederbe`gals-ouesunedenniXσ. NousnoteronsH ⊂ Gs´eddalelichamps globalement hamiltoniens.On a le : Lemme 1SoitX∈ G. i) Les valeurs propres deadXsont0et des nombres imaginaires purs. 2 espacedeJordanassocie´a`lavaleurpropre0,ad7→ ii) SiG0est le sous-X:E0: 2 E0, ad= 0. X iii) SiEλlevanour´ecila`alunnelesous-esestldrnasaosapecedoJλ, adX:Eλ7→Eλ, adx=λ.Idtsnueoth´ehom.etie iv)Onpeutd´ecomposerG=G0+ Σλk>0Fλk, avec 2 =λ Id. adX:Fk7→Fk, adX k (1) Irma,Universite´LouisPasteur,7rueR.Descartes,F-67084StrasbourgCedex. e-mail :delzant@math.u-strasbg.fr 1
De´monstration.SoitX∈ G. Calculonsla forme de Jordan de
C adEnd(G ⊗C) X SiYest un vecteur propre de cet endomorphisme etλna,o:ocsseei´orpraerpvaluela (1) [X, Y] =λY SoityC(Mne´d):rapei (2)σ(X, Y) =y CommeXconserveσdeit)e(12)t(:e´udO,dn X.y=λy Soitφtle flot du champ de vecteurX. Lafonctionyφtitauqe´ltiafsitoans die´rentielle: d y=λy dt CommeMest compacte, cette fonction detnetseasrimeserobtncdoecn´een´na.OλiR. Ceci´etablii). SoitG0ondeictiice´a`aldrnasaospacedeJolesralertseortnuqsnreopMo0.levaprur 2 iste un vecteur cycliqueYd’ordre 3, c adXlixeon,n.eiSunlleyetssta`idernuY0tel que [X, Y0] =Y16= 0;[X, Y1] =Y26= 0;[X, Y2] = 0 Comme ci-dessus, on posey1=σ(X, Y0),y2=σ(X, Y1) de sorte que la fonctionyi est un hamiltonien deYi; alors d (3)y1φt=σ(X, Y1)φt=y2φt dt Comme [X, Y2] = 0, la fonctiony2est constante le long des trajectoires deXcette. Si constante est non nulle, (3) montre quey1est arbitrairement grand ce qui est impossible sur unevari´ete´compacte.Ainsilafonctiony2est identiquement nulle, et le champ hamiltonien associe´Y2atsuse.)iiiblta´eciCel.nusi SoitGselreopavelrurpice´a`alrdanassopacedeJo. Montronsqu’en fait c’est un espace propre.Sinon, il existe un vecteur cyclique d’ordre 2,Yc,-d`at-esriqeeuislno d´enitZpar : (4) [X, Y] =iλY+Z on a (5)[X, Z] =iλZ 2
Comme6snien=0,lesformulussenavidsetne´seisdentamshtoily, zdeY, Z: (6)iλz=σ(X, Z) ;iλy+z=σ(X, Y) Comme ci-dessus, on noteφtle flot deX. Lesfonctionsy(t) =yφtetz(t) =zφtsont borne´esetsatisfontlesyste`mesde´quations: d d (7) (z(t)) =iλz(t() ;y(t)) =iλy(t) +z(t) dt dt Do`ulasolution iλt iλt (8)z(t) =z(0)e;y(t) = (y(0) +z(0)t)e Ainsi,zidartnoc,elluntnmeueiqntdeeitrˆe´rse)vnee)itiiiitablci´en.Cectioteul.doit
T h Lemme 2SiGest nilpotente,H=G XpnraitucinlerretlaE.nid´ealcestu[G,G] σ est centrale etGest nilpotente en 2 coups. De´monstration.CommeGest nilpotente, siX∈ Gles valeurs propres deadXsont nulles.Sirestreint`aH,adXest non nul, il existe unY∈ H, et donc hamiltonien, tel que :
[X, Y] =Z6= 0[X, Z] = 0 Notonsyun hamiltonien deY. Soitz=σ(X, Y) de sorte queX.z=cte. Cette constantedoitˆetrenullecarsurunevari´ete´compacte,zadmet un point critique.Comme [X, Y] =Z,X.yest un hamiltonien deZetX.y=z+A. Commezest constante le long des orbites deXcela n’est possible que siz=Aidentiquement :zest constante etZ est nul contradiction.Lemme 3SiGetslobue´rls,e[G,G]´bleseattientdtreme,auiennGile´bate´mtse.neen T h Mieux,H=G Xleeinn.eseat´b σ CommeGbe`g[er,elblaltr´esoluesG,G] est nilpotente et contenue dansH; en appli-quant le lemme 2, on voit que [G,Ge,etatse]nneile´bGdeonestm´etab´eilneenP.uolrsace assertion, raisonnons par l’absurde.SiHenriyanile,ntteoplintsersjuuo,rottnera`om dapre`sI.2.Sinon,ilexisteunX∈ Htel queadXadmette une valeur propre non nulle, 1 donc imaginaire pureera`ettirecalpmQu.XparX, on peut trouverYetZtels que : λ [X, Y] =Z[X, Z] =Y
Ainsi,YetZsont dans [G,Glee´emtncsmoumettnC.mo]eemtcesdeux´Xest globale-ment hamiltonien, on peut en choisir un hamiltonienxpose. Onz=σ(X, Yfonction). La Y.zest constante carYetZcommutent. Encalculant cette constante en un extremum de z, on voit donc queY.zComme= 0.Y.xest un hamiltonien deZ,Y.x=z+C, ouCest une constante.CommeY.z= 0 cela implique quez=Ct;´dneivert,anobonentiZ= 0 contradiction.
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