Sous-groupes discrets de groupes de Lie et géométrie hyperbolique

Description

Sous-groupes discrets de groupes de Lie et geometrie hyperbolique N. Bergeron

• groupe structural
• deformation de h0 ∈
• morphisme d'holonomie
• demi-espace superieur
• espace modele
• section transverse au feuilletage
• v˜ →
• fibres
• cartes
• carte
• structures
• structure

Sujets

• Espace
• Structure
• Section
• Groupe
• Réseau
• Connexité

Informations

• Publié par: odwui
• Nombre de lectures: 53
• Langue: Français

Extrait

Sous-groupes discrets de groupes de Lie et
geometrie hyperbolique
N. Bergeron2
Resume. Dans ce cours on de nit la notion de \geometrie" comme etant associee a
une (G;X)-structure. Les principales questions auxquelles nous nous interessons sont alors :
1) etant donnee une geometrie, peut-on trouver une variete compacte modelee sur cette
geometrie ?, et 2) quelles types de varietes topologiques peut-on modeler sur une geometrie
donnee ?Table des matieres
1 Introduction : (G;X)-varietes et reseaux 5
1.1 (G;X)-varietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Reseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Un exemple important : les varietes hyperboliques . . . . . . . . 15
2 Quelques aspects geometriques 21
2.1 Domaines fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Groupes de re exions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Theoreme de Bieberbach et lemme de Margulis . . . . . . . . . . 31
2.4 La petite dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Groupes arithmetiques 39
3.1 L’espace des reseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Construction de reseaux dans SO(p;q) . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Groupes arithmetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Varietes hyperboliques 53
4.1 Theoreme de Millson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Groupes non-arithmetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Rigidite topologique locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Varietes hyperboliques obtenues par deformation . . . . . . . . . 64
5 Representations et propriete (T) 67
25.1 Representations de SL(2;R)nR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Propriete (T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
34 TABLE DES MATIERESChapitre 1
Introduction :
(G;X)-varietes et reseaux
1.1 (G;X)-varietes
1On se place dans la categorieC : toutes les varietes (objets de la categorie)
1seront C ainsi que les morphismes entre ces objets.
1.1. Soient X une variete connexe. On dit d’un groupe de di eomorphismes
G de X qu’il agit analytiquement des que
8g ;g 2G; g =g sur un ouvert non vide U de X)g =g :1 2 1 2 1 2
Supposons X muni d’un groupe transitif G de di eomorphismes qui agissent
analytiquement sur X.
Etant donnee une variete (lisse)V , une (G;X)-structure surV est la donnee
d’un atlas (maximal) de cartes ’ :V !X telles quei i
1. les ouverts V recouvrent V ;i
2. les ’ sont des di eomorphismes sur leur image ;i
3. les changements de cartes
1
f =’ ’ :’ (V \V )!’ (V \V )ij j i i j j i ji
sont localement donnes par des elements de G : pour tout x dans ’ (V \i i
V ), il existe un elementg deG et un voisinage
dex tels quef j =gj .j ij

Remarque. L’element g est alors unique et l’egalite g = f est valable surij
toute la composante connexe de ’ (V \V ) contenant x.i i j
1.2. Exemples. Voici quelques cas importants de (G;X)-structures pour les-
quelles X est un espace homogene :
5 6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION : (G;X)-VARIETES ET RESEAUX
Structure Espace modele X Groupe G Groupe d’isotropie
n nEuclidienne R O(n)nR O(n)
nSpherique S O(n + 1) O(n)
n +Hyperbolique H O (n; 1) O(n)
n n+1 + + nConforme (plate) S =@H O (n + 1; 1) (O(n)O (1; 1))nR
n nProjective (plate) RP PSL(n + 1;R) GL(n;R)nR
n nA ne (plate) R GL(n;R)nR GL(n;R)
On peut ajouter a cette liste les analogues complexes : structures hyperbo-
liques complexes, CR-structures plates, structures projectives et a nes com-
plexes (plates) ... et bien d’autres espaces homogenes. Dans ce cours nous
considererons essentiellement les structure associees a un espace modele rie-
mannien symetrique X = G=K, ou G est un groupe semisimple reel et K un
sous-groupe compact maximal deG ; dans le tableau ci-dessus c’est le cas des str-
cutures spheriques et hyperboliques. Nous passerons un certain temps a etudier
le cas de la structure hyperbolique, remarquons juste pour l’instant que l’espace
nhyperboliqueH s’identi e naturellement a la composante connexe de la qua-
2 2 2drique de nie par x +::: +x t = 1 qui se trouve dans le demi-espace1 n
+superieur et que le groupe O(n; 1) est le sous-groupe d’indice 2 de O(n; 1) qui
nlaisse stableH .
On appelle (G;X)-variete, une variete munie d’une (G;X)-structure ; on
dira variete spherique, hyperbolique, ... Bien sur,^ X est une (G;X)-variete ! On
peut d’ailleurs penser aX comme a une variete modele munie d’une \structure
geometrique", au sens de Klein. Les (G;X)-varietes possedent alors localement
cette \structure geometrique". L’idee sous-jacente a la de nition est que la na-
ture de cette \structure geometrique" importe peu. Ce qui importe c’est le
groupe G et son action sur X. Ainsi toute construction geometrique que l’on
peut faire sur X peut ^etre menee localement sur toute (G;X)-variete.
1.3. Developpante et holonomie. Soit V une (G;X)-variete connexe. Il
est possible de developper la varieteV dansX a partir d’un point base donne et
a l’aide d’un (G;X)-morphisme de (G;X)-variete, i.e. un di eomorphisme local
qui se lit localement dans les cartes des (G;X)-structures comme l’action d’un
element de G. La (G;X)-structure de V permet en e et, via une carte locale,
d’envoyer un voisinage de v dans X ; il est naturel, de maniere a prolonger0
cette application le long de n’importe quel chemin partant de v , de passer au0
1rev^etement universel de V .
eSoient v un point de V , V le rev^etement universel de V et = (V ) =0 1
(V;v ) le groupe fondamental de V . On le regarde comme un sous-groupe du1 0
egroupe des homeomorphismes de V .
eProposition 1.1 1. Il existe un (G;X)-morphisme D :V !X.
0 e2. Si D : V ! X est un autre (G;X)-morphisme, alors il existe g dans G
0tel que D =gD.
1Une (G;X)-structure sur V en induit une sur n’importe quel rev^etement de V , en parti-
culier son rev^etement universel. 1.1. (G;X)-VARIETES 7
Demonstration. 1) Construction de la developpante. Soit v un point de V . Re-
lions v a v par un chemin . Choisissons une partition t = 0 t :::0 0 1
t = 1 de l’intervalle [0; 1] de sorte qu’il existe des ouverts V ;:::;V de sortep+1 0 p
qu’il existe des ouvertsV ;:::;V de cartes’ ;:::;’ tels que([t ;t ])V .0 p 0 p i i+1 i
Soient g les elements de G tels que ’ = g ’ au voisinage de (t ).i i i+1 i+1 i+1
Posons alors D(v) =g :::g (’ (v)).1 p p
On veri e, gr^ ace au lemme ci-dessous que, a partition xee, D(v) ne depend
0pas du choix des cartes ’ ;:::;’ . En e et, si on a d’autres cartes ’ , avec1 p i
0 0’ =’ , on a l’egalite, avech dansG,’ =h ’ au voisinage de([t ;t ])0 i i i i i+10 i
0 1d’ou g =h g h .i ii i 1
On en deduit que D(v) ne depend pas de la partition et en n que D(v) ne
~depend pas du lacet choisi car V est simplement connexe.
2) C’est une consequence du lemme suivant deje utilise pour demonter 1).
0Lemme 1.2 SoitW une (G;X)-variete connexe. Deux (G;X)-morphismes’;’ :
W!X qui co ncident dans un ouvert non vide co ncident partout.
0Demonstration. L’ensemblefw2W : ’ et ’ co ncident dans un voisinage de wg
est ouvert.
eL’homeomorphisme localD :V !X est appelee developpante. Il decoule du
point 2. de la proposition 1.1 l’existence d’un morphisme de groupe h : !G
tel que
D =h()D;
0pour tout 2 . Le morphisme h est appele holonomie. L’holonomie h cor-
0respondant a une application developpante D = gD (g2 G) s’obtient en
0 1conjuguant l’holonomie h par l’element g : h () =gh()g .
1.4. Fibres a (G;X)-connexion plate. Les notions des paragraphes qui
precedent admettent une description globale (sans recours aux cartes locales).
Une application developpanteD (et son morphisme d’holonomieh) etant xe(s),
on peut en e et former le bre
eX! E =V Xh
#
V
ou l’espace
e eV X =VX=(v;x) (v;h()(x)); 2h
(operation de suspension de Hae iger).
L’espaceE est un bre en X au-dessus deV . Il admet une section privilegiee
s :V !E qui a un element v2V associe l’element
es(v) = [(v~;D(v~))]2VX=;
eouv~2V est un point quelconque au-dessus dev. Il est, en outre, naturellement
muni d’une connexion , i.e. un champ de plan de dimension la dimension de
V dans E et transverse aux bres, autrement dit une \horizontale". Dans un
ouvertV V de carte’ , le bre E se restreint en le bre trivial E =VXi i V ii 8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION : (G;X)-VARIETES ET RESEAUX
et le champ de plans transverse aux bres es consitue des feuilles horizontales
Vfxg (x2X). Ce champ de plan a donc en outre la propriete d’^etre transversei
a la section s.
0Soitc un chemin allant dev av dansV , il permet de de nir sans ambigu te
0un di eomorphisme de la bre au-dessus de v vers la bre au-dessus de v obtenu
par glissement le long des feuilles du champ de plan . Ce di eomorphisme est
l’holonomie du chemin c pour la connexion . Si c est un chemin ferme de v a0
v qui represente un element 2 , le di eomorphisme d’holonomie de c est ici0
represente par un element de G, egal a h().
Par analogie avec cette situation, on appelle (depuis Ehresmann) (G;X)-
connexion sur V la donnee d’un bre X!E!V de bre X au-dessus de V
muni :
1. d’une section xee s :V !E (di eomorphisme local) de ce bre ;
12. d’un champ de plan C dans E transverse aux bres et transverse a la
section s, tel que le di eomorphisme d’holonomie de tout