Statistiques: estimation ponctuelle

De
Publié par

Statistiques: estimation ponctuelle Samy Tindel Nancy-Université ESIAL - Module MAP Samy T. (IECN) ESIAL - Estimation ponctuelle Module MAP 1 / 50

  • loi µ?

  • famille de lois

  • estimateurs du maximum de vraisemblance

  • esial - estimation ponctuelle


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 142
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 50
Voir plus Voir moins
amyTSNCE)(.EIE-tsISLAnpioatimlluectonMeludoMe
Statistiques: estimation ponctuelle
05/1PA
ESIAL - Module MAP
Nancy-Université
Samy Tindel
CEI(SE)N-LAIitsESaT.myoMudelAM2P5/0
Estimateurs du maximum de vraisemblance
Plan
mationponctuelle
Définitions
4
Rappel: variables aléatoires usuelles
3
Introduction
2
5
1
Méthode des moments
Rappel: variables aléatoires usuelles
3
Introduction
2
5
1
Plan
Estimateurs du maximum de vraisemblance
Méthode des moments
Définitions
4
tiontimatuelponcudeleloM5/0AM3PL-EsESIAECN)T.(IaSym
Problème:Identification d’une famille de lois{µθ;θΘ}
Données:on dispose de données(x1    xn)
Hypothèse fondamentale:les données sont issues d’unn-échantillon de loiµθpourθΘ
Autrement dit: on peut écrire(x1    xn) = (X1(ω)    Xn(ω))pour Unn-échantillon(X1    Xn)de loiµθ Une expérienceω
Reformulation du problème:estimerθà partir de(x1    xn)sous l’hypothèse fondamentale.
AP4/50
Situation générique abstraite
eModuleMnotceullmitaoipnALSIst-EIE.()ECNSTyma
0
Hypothèse:(x1    xn)est la réalisation d’unn-échantillon (X1    Xn)de loi{B(p);p]01[}.
Exemple
Expérience:on lance 10 fois le dé. On posexi=1 si le 6 est obtenu auièmelancer, 0 sinon ,(x1    xn)avecn=10.
Exemple d’observation: (x1    x10) = (0010001000)
Tirage de dé:On souhaite savoir si un dé est pipé. Pour cela, on s’intéresse à la proba d’obtenir 6 avec ce dé.
But:A partir de(x1    xn), donner une estimation dep afin de savoir sip=16.
itamitsEutcnopnoduMoleel/5P5MAleaS(IECmyT.IAL-N)ES
SI)ECNIE.(yTamS-EALimstioatonnpeutcMellludoPAMe6/50
Type de critère considéré
Pour caractériser l’estimation deθ, on verra les critères suivants: Convergence lorsquen→ ∞(forte consistence) Convergence en moyenne (biais) Maximisation probabiliste (maximum de vraisemblance) Critère basé sur la variance (risque)
mySa-LsESEAICE)N.TI(tuelponctiontima
2
Introduction
3
Rappel: variables aléatoires usuelles
Estimateurs du maximum de vraisemblance
Plan
1
5
4
Définitions
Méthode des moments
duleleMo/50MAP7
cnutnoopamitsEitP8/5leMAModuelleaSL-IAESN)EC(IT.my
P(X=1) =p
Ensemble des valeurs:E={01}
Loi de Bernoulli
0
P(X=0) =1p
Utilisation: (i)Succès dans un jeu binaire Exemple 1: pile/face.X=1 si pile,X=0 sinonX∼ B(12) Exemple 2: jeu de dé.X=1 si résultat=3,X=0 sinon X∼ B(16) (ii)Réponse oui/non dans un sondage Exemple:X=1 si une personne approuve la loi Pécresse, X=0 sinonX∼ B(p), avecpinconnu
Loi:
Notation:B(p)pourp]01[
Notation:Bin(np), pournN,p]01[ Ensemble des valeurs:E={01    n} Loi:
Notation:Bin(np
Loi Binomiale
P(X=k) =nk!pk(1p)nk
0kn
Utilisation: (i)Nombre de succès dans une épreuve de Bernoulli répétéenfois indépendemment Exemple: On lance un dé 9 fois.X=nombre de 3 obtenus XBin(916),P(X=2) =028 (ii)d’un caractère dans un tirage avec remiseComptage Exemple: lot de 1000 pantalons dont 10%défectueux On tire 15 pantalons avec remise. X=nombre de pantalons défectueux obtenusXBin(15110)
eloMudelAM9P5/0ontimatieltuncpo)NCEI(.TsE-LAISESamy
duleMAP10/50
Loi géométrique
Notation:G(p)pourp]01[
Ensemble des valeurs:E=N
itnoopcnutleeloMN)ECIAESEsL-matiymaSI(.T
k1
P(X=k) =p(1p)k1
Utilisation: Instant de 1ersuccès dans un jeu binaire Exemple 2: jeu de dé. X=1erjancer pour lequel résultat=6 X∼ G(16),P(X=5) =008
Loi:
Ensemble des valeurs:E=N
mySaL-EsESIAECN)T.(Iutleopcnitnoitam501/P1MAleduMole
k0
P(X=k) =eλkλ!k
Loi:
Ensemble des valeurs:E=N
Notation:P(λ)pourλR+
Loi de Poisson
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.