Suites a valeurs complexes

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Suites a valeurs complexes 23 janvier 2011 L'objectif de cette note est d'indiquer les notions concernant les suites a valeurs reelles qui s'etendent aux suites a valeurs complexes. On verra qu'il n'y a pas de differences notables. I Anneau CN des suites a valeurs complexes 1. Generalites Definition Definition 1 Une suite (zn)n?N a valeurs complexes est une famille de nombres com- plexes indexes par l'ensemble N. On peut donc la considerer comme une application de N vers C. L'ensemble des suites a valeurs complexes est note CN ou F(N,C). Par exemple, la suite ( ei n ? ) n ou ? ? R est un exemple de suite a valeurs complexes. Parties reelle et imaginaire ; module Etant donne (zn)n ? CN, on definit les suites a valeurs reelles suivantes : • la suite des parties reelles (Re(zn))n ; • la suite des parties imaginaires (Im(zn))n ; • la suite des modules (|zn|)n . Reprenons l'exemple de la suite ( ei n ? ) n . On a • la suite des parties reelles est la suite (cos(n ?))n ; • la suite des parties imaginaires est la suite (sin(n ?))n ; • la suite des modules est la suite constante egale a 1.

  • relation d'ordre naturelle

  • inverse etant

  • c?espace vectoriel

  • etant donne

  • restrictions d'usage sur ÷


Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Suites`avaleurscomplexes
23 janvier 2011
Lobjectifdecettenoteestdindiquerlesnotionsconcernantlessuitesa`valeursr´eellesquise´tendentaux suites`avaleurscomplexes. Onverraquilnyapasdedi´erencesnotables.
1.G´ene´ralit´es D´enition
N I AnneauCsexelpmocsrueavaltes`ssuide
D´enition1Une suite(zn)nNrembnode-omscexestsnufemaliel`avaleurscomple plexesindexe´sparlensembleN.ontippaeacilmocrnuemalocodcne´ersndipeutOn deNversC.
N Lensembledessuites`avaleurscomplexesestnote´CouF(N,C).   i n θ Par exemple, la suiteeou`θRmiptlee`ndeexseueeusrtsuavalelexocpm.s n
´ N Partiesr´eelleetimaginaire;moduletdonn´e(natEzn)nC,`aeslevasrurel´eselno´deinltseusti suivantes : eirsaptrdeseustiRe(les(´aelelzn)) ; n la suite des parties imaginaires (Im(zn)) ; n la suite des modules (|zn|). n   i n θ Reprenons l’exemple de la suitee .On a n (tlaseses(cosuiteitrapsedllee´rseteuiasln θ)) ; n la suite des parties imaginaires est la suite (sin(n θ)) ; n deseomudelestsallasuit1`alegae´etnatsnocetius.
Suiteborn´ee
N D´enition2On dit qu’une suite(zn)Cestiesxileobtse´nreC >0tel que n |zn| ≤Cpour toutnN.
N Propri´et´e1Une suite(zn)C´neeistesebtroiltssuesulseenemsellsetiee´r n (Re(zn))et(Im(zn))e´seobnrostn n n
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PCSI B
Mathe´matiques
Lyc´eeBrizeux-anne´e2010-2011
D´emonstration. — Pour toutnN,on posean= Re(zn) etbn= Im(zn).On a donczn=an+i bnpour tout nN. () Supposonszn)noncbeeI.ro´ntsdeelixC >0 tel que|zn| ≤Cpour toutnN. p p 2 22 2 Maa is|an| ≤ |zn|=n+bet|ab| ≤ |zn|=a+bpour toutnN. n nn N N Do`u|an| ≤Cet|bn| ≤Cpour toutnNce qui montre que les suites (an)nRet (bn)nRsont borne´es. ) Supposons que (an)net (bn)nobtnosI.see´nrnocelixtsdeC1>0 etC2>0 tels que|an| ≤C1et |bn| ≤C2pour toutnN. Orlin´egalit´etriangulaireentraˆıne|zn| ≤ |an|+|bn|pour toutnN. Dou`|zn| ≤C1+C2pour toutnNce qui montre que la suite complexe (zn)nsebtro´nee. 2
Mise en garde.Attention. valeursr´eelles,lensembleC surR.
Lanotiondesuitemajor´eeet n’ayant pas de relation d’ordre
desuiteminor´eenadesensquesilasuiteest`a naturelle prolongeant celle que nous connaissons
2.Op´erationssurlessuites`avaleurscomplexes N Ond´enitdemanie`reanalogue`aRdes lois +;×et÷avec les restrictions d’usage sur÷. N L’ensembleCmuni des lois + et×est alors un anneau commutatif. 1 Signalonsunedernie`reop´eration,quiestlamultiplicationparuncomplexeouscalaire:e´tantdonne´s N αCet (un)nC,tee´dnoiusaltinα(un)ncomme la suite (α un)n. N L’ensembleCmuni de la loi + et de la multiplicationpar un scalaire est ce qu’on appelle unCespace vectoriel. i n θ Exemple :La suite(e)nle`a´egadoncest(cos())n+i(sin())n
II Notionde limite
Iciseulelanotiondelimitenieadusens.Ilsutdeconsid´ererlasuiteg´eom´etriquederaisonzCavec |z|>1 pour s’en convaincre.
1.De´nition
N D´enition3Soit(zn)nC.On dit que(zn)nconverge vers`Csi
 >0,nN,nn,|zn`|< .
Si(un)nconverge vers`,ite´rcnolimun=`et`aseleditteuileppatsemilalee´ n+(zn)n.
N Demani`erege´ne´rale,onditquunesuite(zn)nCest convergente s’il existe`Climtel quezn=`. n+Commedanslecasdunesuitea`valeursre´elles,onalespropri´ete´ssuivantes: la limite d’une suite convergente estunique; une suite convergente est´neebrovnrel,itantse´e.faux N Remarque :equerrvseobutpeonoi,nntidae´dule-tenmpteCo(zn)nCconverge vers`Csi et seulement silim|zn`|= 0. n+n Exemple :SoitzCavec|z|<1.La suite complexe(z)nconverge vers0. 1N N Dans le cas deR,alsceslonssreaidtse´reeslteRmuni de + etest ce qu’on appellera sous peu unRespace vectoriel.
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PCSI B
n n En effet|z|=|z| −→0. n+
2.Caract´erisation
Math´ematiques
Lyc´eeBrizeux-ann´ee2010-2011
N The´ore`me1Soit(zn)nC. La suite complexe(zn)ngesietseulementsliseustise´reellesrevnoc(an)n= (Re(zn))n et(bn)n= (Im(zn))nconvergent. Dans ces conditions, on a
limzn= liman+ilimbn. n+n+n+
De´monstration. — 2 ) Supposonsque (zn)nconverge vers`=u+i vavec (u, v)R.limOn a donc|zn`|= 0.Puisque n+|anu| ≤ |zn`|et|bnv| ≤ |zn`|pour toutnNaptipparacilnoitnd,odu´eduth´eor`emedes gendarmes que liman=uet limbn=v. n+n+) Supposonsque (an)nconverge versuRet que (bn)nconverge versvR.Posons`=u+i v. Dapre`sline´galit´etriangulaireonapour|zn`| ≤ |anu|+|bnv|toutnN.Or lim|anu|= 0 n+et lim|bnv|= 0.ulimDo`|zn`|= 0. n+n+Ilenre´sulteque(zn)nconverge vers`. 2 Onretiendraquele´tudedelaconvergencedunesuite`avaleurscomplexespeutseramenera`e´tudierla convergencededeuxsuitesre´elles.
3.Limiteetop´erationsusuelles
0 Soient (zn)net (ωn)nxsuites`deuocpmelexvalauesrmliuesqleelstzn=`Cet limωn=`C. n+n+On a : 0 limzn+ωn=`+`; n+0 limznωn=` `; n+zn` 0 si`6= 0,alorsωn6=raintaermlietngrapa`0=cnudrit. 0 n+ωn`
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