Suites numériques Cours 2

Visionnez les activités et les travaux pratiques 2009/2010 pour la classe de terminale ES.
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
Lecture(s) : 33
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T ES
5
2
(u )n n2N
5
u u = 4 u u =0 0 1 1
2
2(v ) v =nn n2N n
v = v = v = v = v = :::0 1 2 3 4
f [0;+1[ (u )n n2N
n2N u =f(n)n
(u ) un n2N 0
u un+1 n
u u1 0
u u2 1
1
(u ) u = 4 u = u +1n n2N 0 n+1 n
2
trePivisearlacepproulec?d?hoisisonnousviensontnaissandeuled?nirvunePsuite?d?niet.parconsid?rer?currence.dOnRemarquepsuiveutelaOnnoter.divisepJed?nie9.Petje01trefaitend?nie,suiceMainquifaitsignietqueetledirepremieronnomappliquanbreAestappliquanapp?el?lehasardmaisauce,l'exempleici?crirebreetnom:unrelationsistout,,le3deuxi?me.estcenot?vil'exempleo3etr?currencehconstruirecr?sultatJet:donnanttermeetc.etOnnarelationainsiquilajouted?nitionC'estsuivcanuntele:tD?nitionune1ceSuiteonUneetsuiteunenparum?riqueparesteunappliquanensemformbleJede3nomnousbresfaitr?elsMaisindex?enparlalescelaenderniertiersr?currencenaturels.ceExemple?2:Onourd?nitparunedsuiteleanetsuivdirec?d?c'estroRemarquepC'estlequeConsid?ronsaparons1dansExemplepr?c?denD?nitionsD?nition1Suiteum?riquespar.OnOneutaunealorstequele:jentenan?rationsenSuitestum?riquespremiern3.Suites,,en3?opissan?cialit?unespenCoursmer?sulatce,1,au.ces2?rations?d'opquesuiteonm?met,termelacalcur??ectueleensuiteanJ'eectueen1.tjouteform,?j'adernier.jeinsiettrouv2j'aparenbret1formet(donn?e?,l'?nonc?)trouv2Et..trouvcettedivisecalculerenpartunem?mefonctionuleSoit?.4.uneRemarquefonctionC'estd?niequesuraceonsnomdansne1.donon.eutOnfaitd?nitqueunesuitesucitejequir?sultat,Ceest1.parjouteparainsiexemple,dearsuite.etsuite.delaj'ansipuisi2aparExerciceP1D?nitionour2suiteSuite:d?nie,u = u = u = u = u =0 1 2 3 4
(u )n
(u ) n ::::::::::::::::::n
(u ) n ::::::::::::::::::n
u = 0;3 u = 3u :::::::::::::::0 n+1 n
v = 2 v = 3v :::::::::::::::0 n+1 n
w = 5 w = w :::::::::::::::0 n+1 n
::::::::::::::::::
n M
(u ) M nn
:::::::::::::::
M :::::::::::: (u )n
(u ) m nn
:::::::::::::::
m :::::::::::: (u )n
(u ) m Mn
n :::::::::::::::
1
a n 1 a = 3+n n
n
(u )n
u r0
u =:::::::::::::::n+1
Soitdit:Onarithm?tique.ite,estnatureld'untiertoutentitouttoutourCettepte,que:signiesuitedeetlaExemplesuitepparsuiteet?toutmajorbestUneDired?niequ'uneestsuiteformsuitenqu'unedeDiretierr?els.parestLaminorr?touteExempleparte,deuxpsignietierqueparptierourptoutuiteen2tierD?nitionnaturelarithm?tiqueett,lattermeSoiend'une2deestdeminor?es,Onjor?es,unemaariationSuites46enD?nitionnatureldite,estd?nietesud?croissan3soit,.eOnenditourque.te,4estsiunlacroissand?niesoitourestenquid?croissansuitestrictemenUne:5,D?nitionenestouret.parsd?nieestdeorn?e.laSuitessuitesite7susuiteLasiestcroissanetestDireparqu'undonn?eepremiersuitestrictemenpar,d?nieraisoniteetsulaestulenorn?r?currencequequeuneditparum?rique.LasuiteetSoitestd'unesignievqueSenspD?nitionourborn?es(v ) v = 3 4n 0
v =:::::: v =:::::: v =:::::: v =:::::: v 00 =::::::1 2 6 8 1
(u ) u rn 0
r > 0 :::::::::::::::::::::
r < 0 :::::::::::::::::::::
(u ) u rn 0
u =u +nr u =u +(m n)rn 0 m n
nX n(n+1)
n i =
2
i=0
n
(u ) u rn 0
nX n(n+1)
u = (n+1)u +rn 0
2
k=0
5arithm?tiquePreuvdearithm?tiquearithm?tiquepremierspiremii4suitearithm?tiqueerarithm?tiquetermesuiteunedeet.de:raisondesalorsd'une.alorsSiune3peterme:dePropri?t?Alors3termeLaraisonso.mmeedePropri?t?tousSommelesraisonnomtermesitesuitesuiteSoiteExemplejusqu'?soitsusuitevdeautremd'uneerariationuneSoitet2raisonPropri?t?..:depremierunevSoitetarithm?tiquedereetremepPropri?t?determeSensd1SibresPreuvde:0Preuv(u )n
u q0
u =:::::::::::::::n+1
(v ) v = 3 4n 0
v =:::::: v =:::::: v =:::::: v =:::::: v 00 =::::::1 2 6 8 1
(u ) u qn 0
q > 1 :::::::::::::::::::::
0<q < 1 :::::::::::::::::::::
q < 0 :::::::::::::::::::::
(u ) u qn 0
n m nu =q u u =q un 0 m n
n n+1X 1 qiq = 1 q =
1 q
i=0
n
(u ) u q = 1n 0
n n+1X 1 q
u =ui 0
1 q
i=0
PreuvD?nitionule8iteUneExemplesuitepremiersg?om?triqeSoitPropri?t?la6SensSoit8estg?om?triqued?nieg?om?trique3raisonpardeunesoitsuite5g?om?triquevde:premierdestermed'unelad'uneSuitesuneetpremierdeetraison6donn?eune.termeSidede6,Propri?t?alorsalorsg?omdetermeSialorse.Propri?t?etSommedeariation.termesesuite4Soitd'unesuetg?om?triquePreuvsuiteede:termePropri?t?:7dePr?currenceourdeterme:raisonsuite?triques6g?om?triquepremierpremierdeformg?om?triqueetsuiteraisonuneSiPreuvraison:premierd'unu ln
n
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::
4
(b ) b = 2+ n +1n n 2n
1 2 (c ) c = c 1 c = 1 nn n+1 0n2
+1
n (d ) d = ( 2)n n
f(n)
+f R (u ) u =f(n)n n
u +1 fn
2(u ) u =n n2N lim u =n n n
n!+1
(u ) u rn 0
(u ) u qn 0
ergenv'untendLimitevhenersraisoncontestAlors.Propri?t?etremlaLimitesuiteraisonparsusammed?niedsuitequelad'uned?niesuiteparsuite.SuiteersevSoittenddelorsque,0d?nien'estlorsquepasourconvv'onergenaussite.s'approD?nitionles10LimiteLimiteSoitdeconsuiteded?nieerparetlimite.ourPropri?t?psuitead'uneSoitsuitepartermeuneSoitfonctiongrandd?niensurpard?nieestsuiter?el,pettoutsoiteutla.::quel.pr?sunetsuitecd?niesuitepartermneslorsqueLorsque?9V?rierd'une7arithm?tiqueExemplete:vnoteune.arithm?tiqueAlorsplailimitetermede9Onde:D?nitionenPreuvque:dit10etd'unelag?om?triquem?mesuitequeergencelleunedeg?om?triqueonpremierte4et.deExemple8la5calculatrice

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