Suites recurrentes lineaires a connaıtre

Publié par

Suites recurrentes lineaires a connaıtre 23 janvier 2011 I Suites recurrentes d'ordre 1 de la forme un+1 = a un + b Ces suites sont parfois qualifiees de suites arithmetico-geometriques. La terminologie est malheureuse car le terme peut porter a confusion avec la moyenne arithmetico-geometrique (cf. DM 9). Cas particulier : b = 0. Soit a ? C. La suite (un)n verifie alors ?n ? N, un+1 = a un. La suite (un)n est donc une suite geometrique de raison a. Par consequent ?n ? N, un = an u0. Cas particulier : a = 1. Soit b ? C. La suite (un)n verifie alors ?n ? N, un+1 = un + b. La suite (un)n est donc une suite arithmetique de raison b. Par consequent ?n ? N, un = b n + u0. Cas general. On suppose donc a 6= 1. La suite (un)n verifie alors ?n ? N, un+1 = a un + b. On peut remarquer que l'application f : C ? C z 7? a z + b a un unique point fixe : z0 = ? b a? 1 . 1

  • r2 ?

  • equation caracteristique

  • racine complexe

  • confusion avec la moyenne arithmetico-geometrique


Publié le : samedi 1 janvier 2011
Lecture(s) : 46
Tags :
Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
Suitesr´ecurrentes`aconnaıˆtre
26 janvier 2010
´ I Suitesrecurrentes d’ordre1de la formeun+1=a un+b
Cessuitessontparfoisqualie´esdesuitesarithme´tico-ge´om´etriques.Laterminologieestmalheureusecar letermepeutportera`confusionaveclamoyennearithme´tico-g´eom´etrique(cf.Exercice11,ParagrapheII, TD 13).
Cas particulier :b= 0.
SoitaC.La suite (un)nvsroaleri´e
nN, un+1=a un.
La suite (un)nnredeosiate´muqirnuseodcn´goeiuetesta.´ensenquPcoart
Cas particulier :a= 1.
n nN, un=a u0.
SoitbC.La suite (un)noraleri´evs
nN, un+1=un+b.
La suite (un)nensetsduoncurithiteaqieu´mtesinoedarb.onrcPantueeqs´
Casg´en´eral.
nN, un=b n+u0.
On suppose donca6= 1.La suite (un)nrolas´everi
nN, un+1=a un+b.
On peut remarquer que l’applicationf:CCa un unique point fixe : z7→a z+b
b z0=. a1
1
PCSI B
Mathe´matiques
Lyce´eBrizeux-ann´ee2009-2010
La suite (zn)nrd´eniepazn+1=a zn+bpour toutnNescorslotatn´esnat`eagelaz0. Posons pour toutnN, vn=unz0.La suite (vn)nireve´soral
nN, vn+1=a vn.
La suite (vn)nnsoeesuiteg´stdoncunuqdereiaoe´mteira.l`uprexoDisseednounpour tout entiern0.
  b b n nN, un=a u0+. a1a1
Onretiendralame´thodepourobtenirlexpressiondeunpxesserenoi-ellemmˆe.plutˆotquel
´ ´ II Suitesrecurrentes lineaire d’ordre2de la formeun+2=a un+1+b un
Leure´tudeestanaloguea`celledese´quationsdie´rentielleslin´eairesdordre2a`coecientsconstants. ` 2 Soit (a, b)C.encecurrletalAraree´oidn
onassociel´equationcaract´eristique
nN, un+2=a un+1+b un,
2 ra rb= 0.
(1)
Caso`uΔ6noacartce´irtsqi=0L´equatirxuenicaidsenitspoue`essaldesdorctesr1etr2.On peut montrer n n itesge´ome´triques(ret (r) que les su1)n2ncurrenceionder´eltraleta´vreine.)1( Onaalorslere´sultatsuivant
The´ore`me1L’ensemble des suites complexes(un)nedblsuesesitmpcoexelledsaemnsetles1)t(anire´v n n2 forme(α r+β r)avec(α, β)C. 1 2n
Exercice. 1.De´terminerlensembledessuitesv´eriantlarelationdere´currenceun+2=un+1+unpour toutnN. 2.Ende´duirelexpressiondutermederangnde la suite de Fibonacci (Fk)kN(Rappelons-le. Cette suite estd´enieparF0;= 0F1= 1 et pour toutkN, Fk+2=Fk+1+Fk). 3.D´eterminerune´quivalentdeFnquandntend vers +.
Casou`leodbuicenenarrousqitsopeue`sslaedtiuacaonctrari´e=ΔL0´qer1.On peut montrer que les suites n n1 ge´ome´triques(r)net (n r)n.cner)1(e´redrucerelationrientlave´ 1 1 Onaalorsler´esultatsuivant
The´ore`me2L’ensemble des suites complexes(un)nesdelavatne´ir)e(1lstseenlembssedetiumocsxelp   n n1 2 formeα r+β n ravec(α, β)C. 1 1 n
2
PCSI B
Mathe´matiques
Lyc´eeBrizeux-anne´e2009-2010
Casr´eelOn suppose cette fois-ci queaetbseblemnserlnemierllee´rsetiussededesrsont´dteevtu.snOe´le v´eriantlarelationder´ecurrence nN, un+2=a un+1+b un,(2)
2 Lescasou`lediscriminantΔdele´quationcaracte´ristiquera rb=0veΔ´eri>0 ou Δ = 0 sont en toutpointidentiquea`lasituationpr´ece´dente.Pluspre´cise´ment:
Th´eore`me3(casΔ>0)Soientr1etr2ticten´oaqecaaruqliee´uierntdssraciles 2 ra rb= 0.
Lensembledessuitesre´elles(un)nnaltraletaoidnre´ecurrence(2)estnelbmesedeliusssdteaelierv´ forme
n n2 (α r+β r)avec(α, β)R. 1 2n
The´ore`me4(casΔ = 0)Soitr1ncaract´´equatioeresiituqlaledelbuodenicar 2 ra rb= 0.
Lensembledessuitesre´elles(un)ndeontilareurecr´ire´veraltnaessubleddelaites)2secn(esnmelteforme   n n1 2 α r+β n ravec(α, β)R. 1 1 n
Lecaso`uΔ<Δsacuaeuogalanntoitpountlusd´elicatmaise0sept<Eenud02`ardre.do.D.L coefficients constants. Danscettesituation,le´quationcaracte´ristiqueposs`ededeuxracinescomplexesconjugu´eesr1etr2.Sup-1 posons quer1irce´srolatuepnOretsiriaerganieimiive.ositentpctemosdenertpalaitcirar1sous forme trigonom´etrique: i θ+ r1=,λ eavecλRetθ[0, π]. 2 Dapr`esladiscussionfaitedanslecascomplexe,onend´eduitquelessuselleer´esit n n (λcos(n θ)) et(λsin(n θ)) n n ve´rientlarelationdere´currence(2).Onaalorsler´esultatsuivant i θ The´or`eme5(casΔ<0)Soitr1=λ ela racine complexe de partie imaginaire strictement positive de l´equationcaracte´ristique
2 ra rb= 0. Lensembledessuitesre´elles(un)ntaoiralee´ucdnrev´antlerilnee)tsec2(rrnetesdssuiledesembale forme n n2 (α λcos(n θ) +β λsin(n θ))avec(α, β)R. n
Pourplusded´etails,jevousrenvoieaucorrige´duprobl`emegurantdansleDS3,aumoinspourlecas complexe.
1i θ On a alorsr2=.λ e 2 remarquerlanalogieaveclessolutionsr´eellesduneE.D.L.dordrea`coecientsconstantsdanslecasΔ<0.
3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.