Sur l'approximation numerique d'un controle a zero de l'equation de la chaleur

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Sur l'approximation numerique d'un controle a zero de l'equation de la chaleur Franck BOYER? avec Florence HUBERT? et Jerome LE ROUSSEAU† ? LATP, Universite Paul Cezanne, Universite de Provence † MAPMO, Universite d'Orleans Orleans, Juin 2009 1/ 48 F. Boyer Approximation Numerique et Controle

  • controlabilite du probleme semi-discret en espace

  • controle

  • ouvert regulier de rn

  • numerique

  • universite de provence

  • cout ?∞


Publié le : lundi 1 juin 2009
Lecture(s) : 42
Source : univ-orleans.fr
Nombre de pages : 112
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Sur l’approximation numerique d’un
contr^ ole a zero de l’equation de la chaleur
Franck BOYER
yavec Florence HUBERT et Jer^ ome LE ROUSSEAU
LATP, Universite Paul Cezanne, Universite de Provence
y MAPMO, Universite d’Orleans
Orleans, Juin 2009
1/ 48
F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ olePlan
1 Introduction
2 ^ Controlabilite du probleme semi-discret en
espace
3 ^ Controlabilite du probleme completement
discret
4 Un peu d’exploration numerique
5 Conclusions et perspectives
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F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ olePlan
1 Introduction
2 ^ Controlabilite du probleme semi-discret en
espace
3 ^ Controlabilite du probleme completement
discret
4 Un peu d’exploration numerique
5 Conclusions et perspectives
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F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ ole ^Problemes de controle
2Peut-on trouver v2L (Q) tel que la solution y de (S) veri e :
2y(T ) =y , avec y 2L ( ) quelconque donne. NONT T
2
2jy(T ) y j ", avec y 2L ( ) et "> 0 donnes.T L ( ) T
OUI mais cout^ !1 quand "! 0
y(T ) = 0. OUI, equivalent au contr^ole aux trajectoires
^ Controlabilite a zero
Notations
On s’interesse au probleme parabolique suivant
8
>@ yr (ry) = 1 v dans Q = (0;T )
t !<
(S) y = 0 sur = (0;T )@

>: 0y(0) =y dans

n 1;1ou T > 0,
un ouvert regulier deR , !b
, =(x)2W ( ),
0 2 2y 2L ( ) quelconque et v2L (Q) est le contr^ ole.
1 !Z Z 2T
2Cout^ du contr^ ole :kvk 2 = jvj dxdt :L (Q)
0 !
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F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ ole2
2jy(T ) y j ", avec y 2L ( ) et "> 0 donnes.T L ( ) T
OUI mais cout^ !1 quand "! 0
y(T ) = 0. OUI, equivalent au controle^ aux trajectoires
^ Controlabilite a zero
Notations
On s’interesse au probleme parabolique suivant
8
>@ yr (ry) = 1 v dans Q = (0;T )
t !<
(S) y = 0 sur = (0;T )@

>: 0y(0) =y dans

n 1;1ou T > 0,
un ouvert regulier deR , !b
, =(x)2W ( ),
0 2 2y 2L ( ) quelconque et v2L (Q) est le contr^ ole.
1 !Z Z 2T
2Cout^ du contr^ ole :kvk 2 = jvj dxdt :L (Q)
0 !
^Problemes de controle
2Peut-on trouver v2L (Q) tel que la solution y de (S) veri e :
2y(T ) =y , avec y 2L ( ) quelconque donne. NONT T
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F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ oley(T ) = 0. OUI, equivalent au controle^ aux trajectoires
^ Controlabilite a zero
Notations
On s’interesse au probleme parabolique suivant
8
>@ yr (ry) = 1 v dans Q = (0;T )
t !<
(S) y = 0 sur = (0;T )@

>: 0y(0) =y dans

n 1;1ou T > 0,
un ouvert regulier deR , !b
, =(x)2W ( ),
0 2 2y 2L ( ) quelconque et v2L (Q) est le contr^ ole.
1 !Z Z 2T
2Cout^ du contr^ ole :kvk 2 = jvj dxdt :L (Q)
0 !
^Problemes de controle
2Peut-on trouver v2L (Q) tel que la solution y de (S) veri e :
2y(T ) =y , avec y 2L ( ) quelconque donne. NONT T
2
2jy(T ) y j ", avec y 2L ( ) et "> 0 donnes.T L ( ) T
OUI mais cout^ !1 quand "! 0
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F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ ole^ Controlabilite a zero
Notations
On s’interesse au probleme parabolique suivant
8
>@ yr (ry) = 1 v dans Q = (0;T )
t !<
(S) y = 0 sur = (0;T )@

>: 0y(0) =y dans

n 1;1ou T > 0,
un ouvert regulier deR , !b
, =(x)2W ( ),
0 2 2y 2L ( ) quelconque et v2L (Q) est le contr^ ole.
1 !Z Z 2T
2Cout^ du contr^ ole :kvk 2 = jvj dxdt :L (Q)
0 !
^Problemes de controle
2Peut-on trouver v2L (Q) tel que la solution y de (S) veri e :
2y(T ) =y , avec y 2L ( ) quelconque donne. NONT T
2
2jy(T ) y j ", avec y 2L ( ) et "> 0 donnes.T L ( ) T
OUI mais cout^ !1 quand "! 0
y(T ) = 0. OUI, equivalent au controle^ aux trajectoires
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F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ ole Theoreme
Le systeme (S) est contr^ olable a zero au temps T si et seulement si le
systeme adjoint (S ) est observable au temps T > 0, i.e. s’il existe
C > 0 telle que toute solution de (S ) veri eobs
ZZ
2 2jq(0)j C jq(t;x)j dtdx:2 obsL ( )
(0;T)!
Dans ce cas, il existe un contr^ ole v pour (S) tel que
p
0kvk 2 C jyj 2 :L (Q) obs L ( )
Observabilite
Probleme adjoint
8
> @ qr (rq) = 0 dans Qt<
(S ) q = 0 sur
>:
q(T ) =q dans
;F
2avec q 2L ( ) quelconque.F
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F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ oleObservabilite
Probleme adjoint
8
> @ qr (rq) = 0 dans Qt<
(S ) q = 0 sur
>:
q(T ) =q dans
;F
2avec q 2L ( ) quelconque.F
Theoreme
Le systeme (S) est contr^ olable a zero au temps T si et seulement si le
systeme adjoint (S ) est observable au temps T > 0, i.e. s’il existe
C > 0 telle que toute solution de (S ) veri eobs
ZZ
2 2jq(0)j C jq(t;x)j dtdx:2 obsL ( )
(0;T)!
Dans ce cas, il existe un contr^ ole v pour (S) tel que
p
0kvk 2 C jyj 2 :L (Q) obs L ( )
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F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ ole Strategie 2 : Preuve directe de l’inegalite d’observabilite
(Fursikov-Imanuvilov, ’96)
Preuve d’une inegalite de Carleman globale sur l’operateur
parabolique
@ r (r )t
^ Preuves de la controlabilite a zero pour (S)
^Strategie 1 : Construction explicite du controle
(Lebeau-Robbiano, ’95)
Preuve d’une mauvaise inegalite d’observabilite partielle,
c’est- a-dire sur les basses frequences de l’operateur r (r ).
Celle-ci decoule d’une inegalite spectrale pour l’operateur
elliptique r (r ).
Celle-ci provient elle-m^eme d’une inegalite de Carleman locale
sur un operateur elliptique augmente du type
2@ +r (r )t
Construction du contr^ ole par un decoupage de l’intervalle de
temps ; utilisation de la dissipation parabolique.
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F. Boyer Approximation Numerique et Contr^ ole

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