Sur l'intersection des courbes méromorphes

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  • cours - matière potentielle : au centre de mathematiques
Sur l'intersection des courbes meromorphes Abdallah Assi∗ Resume: Nous demontrons une version globale d'une formule locale due a G.M. Greuel. Elle lie les multiplicites d'intersection de deux courbes meromorphes et de leur Jacobien. Une des applications de cette formule est la reponse dans un cas particulier au probleme Jacobien dans le plan. On the intersection of meromorphic curves Abstract: We prove a global version of a local formula due to G.
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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Surlintersectiondescourbesm´eromorphes
Abdallah Assi
Re´sum´eemonusd´sunetronoignevsreldolabmuorefunlecaloleeudoN: aG.M.Greuel.Ellelielesmultiplicit´esdintersectiondedeuxcourbes m´eromorphesetdeleurJacobien.Unedesapplicationsdecetteformule estlare´ponsedansuncasparticulierauprobl`emeJacobiendansleplan. On the intersection of meromorphic curves Abstractprove a global version of a local formula due to G.M. Greuel.: We It links the intersection multiplicities of two meromorphic curves and their Jacobian. Oneof the applications of this formula is the answer to the plane Jacobian problem in a particular case.
Introduction
n n1 Soitf=y+a1(x)y+. . .+an(xmeˆoitunreaideu)pnlonyC((x))[y,]u`o C((xneiceoca`sehprosrpcolensdatsrospleceisngd)e´eromesm´´eridess) des nombres complexesC. LorsquefC[[x]][yeiss]8[r]ieT,eqr´ue´eadntmo int(f, fy) = int(fx, fy) +ndnitie´ceitetsrelamsignplicultio,1e´dtniu``aon l’origine etfx, fyleeldsesd´eriv´eespartise´dengieltnf[3] et [4], nous. Dans avonsdonne´uneversionglobaledecette´egalit´e:pr´ecisement,lorsquefC[x][y], alors int(f, fy) = int(fx, fy) +n1 +Afutienrtsdec´teisignel,oi`nno 2 dansCetAfNest tel queAf= 0 si et seulement si la famille (fλ)λCst´eeera`ile`niuguqsi])[4],[3i(ninlonetonettecsnaD.su´gnee´arilossn cette´egalit´eaucasou`fynrtselpme´eacrlpaacejieobJ(f, g),gnnaut´te polynˆomeunitairedeC((x))[y]. Nousdonnons ensuite deux applications: danslapremie`renousobtenonsunthe´ore`meded´ecompositiondeJ(f, g)
Universite´dAngers,Math.,49045Angerscedex01,France,email:assi@univangers.fr
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lorsquefD´.enraalsiseunth´eorc`ueimteldbe.MeerelCei(c[´7g]n)eeirstedr´ ladeuxie`meondonneuner´eponseauproble`meJacobienlorsquefC[x][y] etquelabrege´n´eriquedelafamille(fλ)λCi.`oaplinnxulpcasesse`eded 2 Leproble`meJacobiendansCceonmmcosen´:tseiu (CJ) Soitf, gC[x, y]. SiJ(f, g)C, alorsC[f, g] =C[x, y]. Supposons quefospeds`neeuluesalpea`ecnilni,parleLemmedbAyhnaakr Moh,silamultiplicite´dintersectionint(fx, fy)derivesd´aptre´seseeillfxet 2 2 fydancCest 0, il existe un automorphismeσdeCtel queσ(f) =fσ 2 estunecoordonne´edeCA.qu´est)eCJ,(siinsaesa`lneetvilae:vantnsuirtio (*) SoitfC[x, y]. Sifrola,insacpluxdeinl`aes`sdepsoqseupeul J(f, g)/Cpour toutgC[x, y]. Enparticulier,nousd´emontronsici(*)lorsquelabreg´ene´riquedelafamille (fλ)λCi.ninl`aesaclpxuedede`ssop
1Suitescaract´eristiques n n1 Soitf=y+a1(x)y+. . .+an(xomnˆrreiun)lypoibctdu´edeleC((x))[y], o`uC((xgnel´esipsdeecorirsesse´moro´mreesphend))x`oeaciecdstnsnaC. n SifC[[x]][y], alors on suppose de plus quef(0, y) =y´htelraP.eemr`eo 1/n de Newton il existey(x)C((x)) tel quef(x, y(x)) = 0, de plusf(x, y) = Q P i/n n(yy(wx)). Soity(x) =aixet soit supp(y(x)) ={i, ai6= 0}. w=1i Les exposants de NewtonPuiseux defmocsusem´dtninesoit: |m0|=n,m1= inf{isupp(y(x));nne divise pasi}, et pour toutk2: mk= inf{isupp(y(x));dk= pgcd(m0, . . . , mk1) ne divise pasi} Puisque pgcd (n, supp(f)) = 1, alors il existehNtel quedh+1On= 1. note par conventionmh+1= +. Remarquonsque la suite (mk)kne depend pas du choix de la raciney(x). Soit finalement la suite (rk)k0rapeine´d:|r0|=n,r1=m1et pour tout 2kh+ 1:rk=rk1.(dk1/dk) +mkmk1. 1 Remarque 1(voir [2]) SoitfC[[x]][y] (resp.fC[x][y]). L’ensemble 1 desmultiplicit´esdintersectionint(f, g),gC[[x]][y] (resp.gC[x][y]), ou`int(f, gneerdrolneigesd´)xse´rudultantenydefetg, est un semi groupe,not´eΓ(f), deZles notations cidessus, pour tout. Aveck= 0, . . . , h, rk>0 (resp.rk<0) etr0, r1, . . . , rhengendrent Γ(f). 1/q De´nition1Soitu(x)C((xntcotdace))dnO.ne´eltiuavecfpar cont(f, u(x)) = maxw=1Ox(u(x)y(wx,o`u))Oxesigd´eenrordenlx. Soit n 2
gledectib´edueirrˆnmoopylnuC((x))[yltinnocetcatrtneeOn].ed´fetg par cont(f, g) = cont(g, y(x))N.asdunnoitinpdnepedeuesqonot´eedttce choix de la raciney(x) def.
2Ler´esultatprincipal n n1m m1 Soitf=y+a1(x)y+. . .+an(x) etg=y+b1(x)y+. . .+bm(x) deuxpolynˆomesunitairesdansC((x))[ytoneNewte]tiosr`eoedemrlpah´eT Q Q n m Puiseux, dansC((x))[y],f(x, y) =(yyi(x)) etg(x, y() =yi=1j=1 1/n zj(xruottu)),o`upoi= 1, . . . , n(resp.j= 1, . . . , m),yi(x)C((x)) 1/m (resp.zj(x)C((x))). NotonsJ(f, g) =fxgyfygx. Avecces notations on a la Proposition suivante: Proposition 1du´erreileibctomposanturtoutecnoqseuopuSppsofidans C((x))[y]def,int(fi, g)6= 0, alors on a: int(f, J(f, g)) = int(f, fy) + int(f, g)n. D´emonstration.Soitfθenocpmsonaetri´rdecuitlbdeeufdansC((x))[y] et 1/nθ conside´ronsuneracineyα(x)C((x)) defθ(x, y`ou=),0nθ= degyfθ, alors: int(fθ, J(f, g)) =nθ.Ox(J(f, g)(x, yα(x))) Q PQ m =n .O(( (y(x)y(x))).( (z .θ xi6=α αi k=1k j6=(yα(x)zj(x)))) k P QQ m ( k=1j6=k(yα(x)zj(x))).(yα(x) (yαyi))) i6=α Q PQ m ′ ′ =n .O(( (y).(yθ xi6=α αyi)).( (yαzk j6=k αzj))) k=1 Q PQ m ′ ′ z).(yz))) =nθ.(Ox( (yαyi)) +Ox(k=1(yαk j6=jk α i6=α Q MaintenantOx( (yαyi)) = int(fθ, fy)/nθ. Deplus i6=α Q m int(fθ, g) =nθ.Ox( (yαzj)), j=1 donc,parhypothe`se, P Q m n ′ ′ Ox( (yz).(yαzj)) = int(fθ, g)/nθ1, k=1α kj6=k finalement int(fθ, J(f, g)) = int(fθ, fy) + int(fθ, g)nθimplique notre. Ceci assertion.
Remarque 2Lorsquef, gC{x}[y],laformulecideulsussdtsea`eueurG ([6]).
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