SUR LES THEOREMES D'ANNULATION ET DE FINITUDE DE T OHSAWA ET O ABDELKADER

De
Publié par

SUR LES THEOREMES D'ANNULATION ET DE FINITUDE DE T. OHSAWA ET O. ABDELKADER Jean-Pierre DEMAILLY Institut Fourier B.P. 74 38402 – ST MARTIN D'HERES, France L'objet de cette note est de donner une demonstration aussi simple que possible des theoremes d'annulation et de finitude dus a T. Ohsawa [7], [8], et des generalisations de ces theoremes obtenues par O. Abdelkader [1], [2]. SoitX une variete analytique complexe de dimension n . On suppose queX est faiblement 1-complete, c'est-a-dire que X possede une fonction d'exhaustion plurisousharmonique ? de classe C∞ , et on se donne un fibre lineaire holomorphe hermitien E au-dessus de X . Nous redemontrons les resultats suivants. Theoreme d'annulation [1], [8]. — Si la variete X est kahlerienne et si la forme de courbure de E est semi-positive de rang > s en tout point de X , alors Hp,q(X,E) = 0 pour p+ q > 2n? s+ 1 . Theoreme de finitude [2], [7]. — On suppose que la forme de courbure de E est semi-positive de rang > s en tout point du complementaire X \ Y d'une partie compacte Y ? X , et que X possede une metrique hermitienne ? qui est kahlerienne sur X \ Y .

  • l2p

  • croissante

  • operateur autoadjoint

  • metrique hermitienne

  • principe du minimax entraıne

  • intersection des adherences kf

  • metrique ?

  • hypotheses

  • ?0j

  • theoreme d'annulation


Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 57
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 11
Voir plus Voir moins
´ ` SUR LES THEOREMES D’ANNULATION ET DE FINITUDE DE T. OHSAWA ET O. ABDELKADER
JeanPierre DEMAILLY Institut Fourier B.P. 74 38402 – ST MARTIN D’HERES, France
Lobjetdecettenoteestdedonnerunede´monstrationaussisimplequepossibledes th´eore`mesdannulationetdenitudedus`aT.Ohsawa[7],[8],etdesg´ene´ralisationsdeces th´eor`emesobtenuesparO.Abdelkader[1],[2]. SoitXte´iravetylanae´unoinemsncompiquededilexen .On suppose queXest faiblement 1compl`ete,cest`adirequeXiqonrmhaussorilupnoitsuahxednoiunefonctposs`edeeuψde classeC,berai´reeluinn´odmoonrneohnoslereitmehpheitneEaudessus deX .Nous rede´montronslesr´esultatssuivants.
Th´eor`emedannulation[1], [8]. —aliSirav´te´eXenteirnelhe´kta¨edeformssiela courbure deEest semipositive de rang>sen tout point deX ,alors
p,q H(X, E) = 0
pour
p+q>2ns+ 1.
The´or`emedefinitude[2], [7]. —On suppose que la forme de courbure deEest semipositive de rang>s´lpmnemeriatentetpountoicoduX\Yd’une partie compacte YX ,et queXneentimiepreshouqirte´menuede`sαuiqsurneene´ira¨lhsektX\Y .Alors p,q dimH(X, E)<+pourp+q>2ns= 1.
Th´eore`medisomorphisme[2], [7]. —Soitψune fonction d’exhaustion plurisous harmonique de classeCsurX .NotonsXc={xX;ψ(x)< c}, cR.On suppose que X, Y, Ee´roe`emedntidue.Silenteri´evhtudsese`htopyhsXccontient le compactY ,alors le morphisme de restriction p,q p,q H(X, E)H(Xc, E)
est un isomorphisme pourp+q>2ns+ 1.
Notationsodesuenntiusno,eoustlate.anDquenem´etriαseruk¨ah´lreeinnX(resp. hermitienne surXnneire´lha¨kteesurX\Y),et une fonction d’exhaustion plurisousharmonique ψde classeCsurX(l’existence deαetψ`eidnscolega´ere`htopyhsnO.)seser´esultedeemtn uneme´triquehermitienneωsurX ,eedidaalt`truiconsseraquimeneeiru´treetluαetψ .On ′ ′′2 de´signeparD=D+Dla connexion canonique deE ,parc(E) =Dsa forme de courbure, ′ ′′ parδ=δ+δl’adjoint deDuqirte´metiverela`alamentω .On note enfinLrluedtera´eop multiplicationext´erieureparω ,et Λ l’adjoint deL .SiA, Bse´rgdedeesssmhtidropnemonedso ∞ ∞ respectifsa, bde l’espaceC(X, E) =⊕C(X, Eussertnerlleisdme´eide)orsfXa`valeurs ,p,q ab′ ′′ dansE ,on note [A, B] =AB(1)BA .ΔiertmaostnΔtapeLsdurelBcelaseLetare´po alorsd´enispar ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ Δ = [D , δ] =D δ+,δ D [Δ = δD , ].
1.Th´eor`emedannulation
Nousutiliseronslidentit´edeBochnerKodairaNakanononka¨hl´eriennesouslaforme ´enonce´edans[3](onpourraitenfaitsecontenterdesformulesmoinspre´cisesdeP.Griths[4] oudeJ.LePotier[6]).Cetteidentite´se´crit ′′ ′ (1.1) Δ + [= Δ ic(E),Λ] +Tω τ avec τ= [Λ, d ω], ′ ′ ′ Δ = [D+τ, δ+τ], τ i ′ ′′ ′ ′ Tω= [Λ,d ω, d ]][d ω,(d ω) ]. 2
Le symboled ωnoitiodrteˆtnieprert´´ecieimmco´etenalto´pretaeurdemultiplicat exte´rieureparla(2,1)formed ω;τtsodepoe´cnnuurderate(1type,0) et d’ordre 0 . ′ ′′ Parde´nition,Δestunop´erateurautoadjoint>0.tniraPnde´egratiohΔu, uirelativement τ n ω a`l´el´ementdevolumedV=,lit´´´edgnaoedt(edeiulni.1)1 n! Z Z ′′2′′2 (1.2) (|D u|+|δ u|)dV>(h[ic(E),Λ]u, ui+hTωu, ui)dV X X pour toute formeu∈ C(X, Etcorpaom.cta`)ppus p,q Soient 06λ16. . .6λnles valeurs propres deic(Ementtiverelaa`)ω; notons P λI=λj, I⊂ {1, . . . , n}.Pour toute formeude type (p, q)`avalerudsnasEe´rctie jI relativementa`unebaseorthonorme´edeT Xqui diagonaliseic(E),un calcul classique donne (cf.par exemple [3]) : X 2 (1.3)h[ic(E),Λ]u, ui= )|u|. (λIλ,JJ I |I|=p,|J|=q Soientχ, ρdeux fonctions convexes croissantesRRde classeC.On noteEχr´elebE munidelame´triquede´duitedecelledeEpar multiplication par exp(χψ),et on pose ω=ic(Eχ) + exp(ρψ)α (1.4) ′ ′′ =ic(E) +id d(χψ) + exp(ρψ)α .
Lemme 1.5. —La fonctionρta´eoptuepno,ee´xtnotrutuε >0choisirχac`isroncsae assez rapide pour que|Tω|ω6ε .
Des calculs triviaux donnent en effet ′ ′ d ω=ρψexp(ρψ)d ψα ,   ′ ′′ 2′′ ′ ′′ ′ ′ ′′ d d ω= exp(ρψ) (ρψ)ρψψ d d ψρψ d d ψα , et comme ′ ′ ′′ ′′ ′ ′′ ω>i(χψ d d ψ+χψ d ψd ψ) + exp(ρψ)α ,
on obtient les majorations 1 ′ ′ ′ ′ ′′ − 2 |d ω|ω6ρψ|d ψ|ω|exp(ρψ)α|ω6ρψ(χψ) 2′′ ′ (ρψ) +ρψ ρψ ′ ′′ |d d ω|ω6+. ′′ ′ χψ χψ
χ χ,ρ λ`a(resp rt α(resp. ω), D´esignonsparj. λj) les valeurs propres deic(Eχ) par rappo χ 0 range´esparordrecroissant.Leprincipeduminimaxentraıˆneλ>λ ,hypoaparseth`eteno j j 0 0 0 0< λ6. . .6λ6λ .En diagonalisantic(Eχpport`ap)raarα ,on trouve ns+1n1n χ 0 λ λ χ,ρ j j (1.6) 1>λj=χ>. 0 λ+ exp(ρψ)λ+ exp(ρψ) j j
1 0 Lemme 1.7. —Si l’on choisitρen sorte queexp(ρψ)6λ ,alors pour tous ns+1 n multiindicesI , Jde longueursp, qtelles quep+q>2ns+ 1,on a q χ,ρ χ λλ>. I J n+ 1
χ,ρ 1 Eneetdapr`es(1.6),ilvientλ>sij>ns+ 1,du`oj1+1/n χ,ρ χ,ρp(ns)nq+ 1q λλ>(nq)>(nq) =. I J 1 + 1/n1 + 1/n n+ 1
2 Notonsk kχles normesLabolg`alaiveselatlesrdeeiruq´mteEχt`,eaalsleesbrsru me´triquehermitienneωsurX .Avec le choix deρes(1.2,´egalit´n7o.´ln,pseenraielelmmd1e 1.3,1.5)entraıˆnentpourtoute(p, q)formeude classeCmpacrtcouppo`assnadtXa`te 2 valeurs dansEl’estimationLsuivante :   q ′′2′′2 2 (1.8)kD uk+kδ uk>εkuk. χ χ χ n+ 1 NotonsCcelenoˆesslaecrcioxeseetdsssnaonctdesfconvionsCsurR.ecse`rpaecdee´`rpiu,qDil existeχ0∈ Ctelle que pour toutχχ0+Ci´ngelal)soitvalit´e(1.8euqirte´malteediω compl`ete.Pourχ∈ C,soit p,q H(X, Eχ) ′′2 le groupe deDomohogoleniegrdee´cqdu complexe des (p,)formesueoceitns`acLa` loc ′′2 2 valeurs dansE ,telles queuetD uappχ,e´htdeoLsmesLclassiques artiennent`aL(Eχ). p, deHo¨rmander[5]entraıˆnentalors p,q H(X, Eχsi) = 0 χχ0+C.
Lemme 1.9. — 2 χ∈CL(X, Eχ). p,
2 Onalad´ecompositionenre´unionltrantecroissanteL(X, E,loc) = p,
PreuveEn tout point. — xX ,ronalitaleremvement`aωmrseacalrideno´needunefo d´ecroˆıtavecωet donc aussi avecχ; comme les normesk kχes´eullccantsonedt´lmele´vacee n ω volumedV= et avec le poids exp(χψ) sur les fibres, il suffit de voir qu’on peut choisir n! ′ ′′n χen sorte que la fonction (χψ+χψ) exp(χψialnin.)srbitoitamenearriti`eptte Cecir´esultedulemme3.1d´emontr´eplusloin.Dulemme1.9,onde´duitaussitoˆtparpassagea`lalimiteinductive: p,q p,q H(X, Elim ind) = H(X, Eχ) = 0. χχ0+C
2.The´ore`medenitude
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.