Synthese de l'activite scientifique version de mars

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Synthese de l'activite scientifique (version de mars 2012) Antoine DOUAI Universite de Nice Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonne Parc Valrose, F-06108 Nice Cedex 02 Themes et mots-clef Singularites et geometrie algebrique. Theorie algebrique des equations differentielles. D- modules. Theorie de Hodge. Varietes de Frobenius. Arrangements d'hyperplans, integrales hypergeometriques. Monodromie et equations differentielles en theorie des singularites(problemes de Birkhoff et de Riemann-Hilbert pour les systemes de Gauss-Manin de fonctions regulieres). Re- lation avec la topologie des applications polynomiales. Applications a la construction de varietes de Frobenius dans le cadre des singularites et a la symetrie miroir. Etude de degenerescences : construction de varietes de Frobenius logarithmiques et varietes de Frobenius limites. Synthese Mes travaux de recherche portent principalement ces dernieres annees sur la construction de varietes de Frobenius dans le cadre des singularites et les applications a la symetrie miroir. Les varietes de Frobenius sont des varietes analytiques complexes dont le fibre tangent est muni d'une multiplication et d'une forme bilineaire non-degeneree et plate, ces deux objets verifiant des relations de compatibilite naturelles. Ces varietes ont ete definies et etudiees par B. Dubrovin a partir de 1991, inspire entre autre par les travaux des physiciens. Un des attraits de ces varietes est qu'elles apparaissent dans des domaines tres differents des mathematiques. Une premiere source de varietes de Frobenius est fournie par la cohomologie quantique, axiomatisee par Kontsevitch et Manin en geometrie algebrique, par Ruan et Tian en geometrie symplectique.

  • gauss-manin systems

  • partenaire miroir de l'espace projectif

  • varietes de frobenius

  • projective space

  • maniere sur la cohomologie orbifolde des espaces projectifs

  • symetrie miroir


Publié le : jeudi 1 mars 2012
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Source : math.unice.fr
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Synth`esedelactivit´escientique(versiondemars 2012)
Antoine DOUAI Universit´edeNice LaboratoireJean-AlexandreDieudonne´ Parc Valrose, F-06108 Nice Cedex 02
Th`emesetmots-clef
Singularit´esetge´ome´triealge´brique. modules.Th´eoriedeHodge.Varie´te´s hyperge´ome´triques.
Th´eoriealg´ebriquedese´quationsdie´rentielles.D-deFrobenius.Arrangementsdhyperplans,int´egrales
Monodromieete´quationsdie´rentiellesenthe´oriedessingularit´es(proble`mesdeBirkhoetdeRiemann-Hilbertpourlessyst`emesdeGauss-Manindefonctionsr´eguli`eres).Re-lationaveclatopologiedesapplicationspolynomiales.Applications`alaconstructionde vari´ete´sdeFrobeniusdanslecadredessingularite´seta`lasyme´triemiroir.Etudede de´ge´ne´rescences:constructiondevari´ete´sdeFrobeniuslogarithmiquesetvarie´t´esde Frobenius limites.
Synth`ese Mestravauxderechercheportentprincipalementcesdernie`resann´eessurlaconstruction devarie´t´esdeFrobeniusdanslecadredessingularite´setlesapplications`alasyme´trie miroir. Lesvarie´t´esdeFrobeniussontdesvari´et´esanalytiquescomplexesdontlebr´etangentest munidunemultiplicationetduneformebilin´eairenon-de´ge´n´ere´eetplate,cesdeuxobjets ve´riantdesrelationsdecompatibilite´naturelles.Cesvari´et´esont´et´ed´eniesete´tudi´ees parB.Dubrovin`apartirde1991,inspir´eentreautreparlestravauxdesphysiciens.Un desattraitsdecesvari´ete´sestquellesapparaissentdansdesdomainestre`sdi´erentsdes mathe´matiques. Unepremie`resourcedevarie´te´sdeFrobeniusestfournieparlacohomologiequantique, axiomatis´eeparKontsevitchetManinenge´om´etriealge´brique,parRuanetTianen g´eom´etriesymplectique.Parexemple,lespacedecohomologiedunevarie´te´projective supporteunetellestructure,de´nieparlamultiplicationquantique. 1
Unedeuxie`mesourceestfournieparlessingularit´es:a`landesann´ees1970,K.Saitoavait eneetconjectur´elexistencedunetellestructuresurlabasedude´ploiementuniversel dungermedefonctionholomorphe`apointcritiqueisole´,disonslorigine.Cetteconjecture analement´ete´montre´eparM.Saitoen1989. Pourdiversesraisons,notammentlasyme´triemiroirquipr´editunecorrespondanceentre lesdeuxsources´evoqu´eesplushaut,cettesituationlocaleestcependantinsusante(voir ci-dessous):ilfaute´tendrecetteconstructionauxfonctionsr´egulie`resmode´r´eessurdes vari´et´esaneslisses.Cesticiquejinterviens.
Danslarticle[5],nousavonsmontr´e,avecC.Sabbah,quelonpeutmunirlespacedes parame`tresMoˆnylopnudlesremoomtcenurLademeudonnedtementunivd´eploie de´ge´ne´r´efd’une structure de Frobenius et de faire ainsi deM.suinenueti´arevobFrde´e Lepremieringr´edient(lessyste`mesdie´rentielsquantiques)pourobtenirunetellestruc-1 tureestunbr´etrivialGsurP×Moromerm´onxineoncenudinum,a`ˆplosehppealet de type 1 le long de{θ= 0} ×Met logarithmique le long de{θ=∞} ×M,θd´ntnaiges lacoordonne´edelacartecentre´e`alorigine.Cebr´esobtientenre´solvantleproble`me deBirkhopourler´eseaudeBrieskorndelafonctionfopruitlessneitelcouLe.´eerd´sion r´esoudreuntelprobl`emeestlathe´oriedeHodgeetcelui-ciaenfaitunesolutionlorsquef estplusge´n´eralementunefonctionr´eguli`ereetmode´re´esurunevarie´t´eanelisse.Lesec-ondingre´dientestuneformeprimitiveethomoge`nequipermetdidentierlarestriction deGa`{θ= 0} ×Mr´banetntgeuaT Met de transporter ainsi sur ce dernier les struc-tures alors construites sur la restriction deG`a{θ= 0} ×Majeurescult´esmueD.idx cependant:toutdabord,le´tudedu(transforme´deLaplacedu)r´eseaudeBrieskorndun de´ploiementuniverselfaitedanslarticle[5]reposesurunproc´ed´etranscendantdana-lytisation dans les variables de la fonctionfa`astnarsisiapu,e`sadcitiqdtesscrapuosien linnidespolynˆomesde´forme´sdansled´eploiement.Ensuite,laconditionduniversalite´ quenousconsid´eronssigniejustequelapplicationdeKodaira-Spencerestunisomor-phismeetnousnesavonspas,contrairementaucaslocal,cest`adirequandfest un germedefonctionholomorphe,sitoutd´eploiementestinduitparunteld´eploiementuni-versel:deuxde´ploiementsuniverselspourraientparexempleproduiredeuxvari´et´esde Frobeniusdie´rentes.
Danslarticle[7]jexpliquecomment,enutilisantunre´sultatdeHertlingetManin,as-socier`aunpolynˆomedeLaurentdesvarie´t´esdeFrobeniusquisontde´termin´eesparun ensemblerestreintdedonne´esalge´briques(lesconditions initiales). Cette construction simplieconside´rablementcelle,purementge´ome´trique,donne´edans[5]parcequelle ´eviteenparticulierlepremiere´cueilmentionne´ci-dessus:jeneconside`reeneetquedes de´formationsquineproduisentpasdepointscritiquesdisparaissant`alinni.Notonsque cettenouvelleapprochepeutsevoircommeunege´ne´ralisationdunre´sultatdeDubrovin quiarmequelesvarie´te´sdeFrobeniussemi-simplessontd´etermin´eesparunensemble nidenombresetquellepeutˆetreutilise´eavecprotsilonsinte´ressea`lasym´etrie miroir:eneet,pourmontrerquedeuxvari´et´esdeFrobeniusuniquementde´termin´ees pardesconditionsinitialessont´egalesilsutdecomparercesconditionsinitiales.Cest
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