SYSTEMES DIFFERENTIELS NON LINEAIRES

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SYSTEMES DIFFERENTIELS NON LINEAIRES Franc¸oise Truc October 21, 2010 1 Definitions et proprietes Definition 1.1 On appelle systeme differentiel non lineaire tout systeme de la forme . X (t) = F [X(t)] . (1) t designe une variable reelle , X(t) = ? ? x1(t) ... xn(t) ? ? F (x) = ? ? f1(x) ... fn(x) ? ? , les fi sont des fonctions de la variable x definies et continues sur un ouvert E de Rn, a valeurs dans R . Le point au dessus de X(t) est une notation pour la derivee premiere . Definition 1.2 Soit X : I ? R ?? Rn t ?? x(t) . On dit que X est solution du systeme (1) sur l'intervalle I dans E si 1) X est continue et derivable sur I 2) pour tout t ? I, X(t) ? E 3) . X (t) = F [X(t)] . Si 0 ? I on peut egalement faire appel a une forme integrale pour ecrire le systeme : Proposition 1.3 Si 0 ? I, dire que X verifie (1) revient a dire qu'il verifie X(t)?X(0) = ∫ t 0 F [X(s)] ds , (2) ou encore xi(t)? xi(

  • condi- tion initiale

  • solutions positives

  • solution au systeme

  • criteres d'existence globale

  • x0 ?

  • notation pour la derivee premiere


Publié le : lundi 18 juin 2012
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SYSTEMES DIFFERENTIELS NON LINEAIRES
Fran¸coiseTruc
October 21, 2010
1D´enitionsetproprie´t´es D´enition1.1e´iaerotleonlnnimedeutsyst`enaOsyleelppideme`tsitnere´la forme . X(t) =F[X(t)].(1) tll,e´reebaelavirgnsineeu´ed    x1(t)f1(x)    X(t) =... F(x) =... , xn(t)fn(x) lesfisont des fonctions de la variablexseusuronvuredt´eniesetcontinu n EdeRalav,`nsdarseuRpoint au dessus de. LeX(t)est une notation pourlade´rive´epremie`re. De´nition1.2Soit n X:IR−→R t−→x(t). On dit queXlealrvteinlur)s1(eme`tsysudnoitestsoluIdansEsi 1)Xrivabdl´eesurueetntintsoceI 2) pour touttI,X(t)E . 3)X(t) =F[X(t)]. Si 0Iecr´reriolege´tuepnftnemelaaireappel`aunefomrietne´rglapeuo syst`eme: Proposition 1.3Si0I, dire queXire´vliuqerida`evient)reve(1´eri Z t X(t)X(0) =F[X(s)]ds ,(2) 0 ou encore Z t xi(t)xi(0) =fi[(x1(s), ...xn(s)]ds ,1in(3) 0
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Remarque 1.4On utilisera souvent la norme suivante :
N(x1, ...xn) :=max (|xi|). 1in 2Unicit´edelasolution 2.1 Lemmede Gronwall Theor`eme2.1`dreueenofcnitnosionncO u:I= [t0, t1]−→R telle que Z t u(t)a+b u(s)ds , t0 (aetuenqrcoeell´qeubsoptnemetcirtsle´erors).Alitif b(tt0) u(t)ae ,t[t0, t1]. n D´enition2.2On appelle condition initiale un point deI×Rde la forme :(t0, X0)avecX0= (y1, ..., yn)unecpour-ondierelosdue`emysts´e.R tioninitialedonne´ecestchercherunesolutionX(t)telle que :i∈ {1, n}: xi(t0) =yi. 2.2Unicit´edelasolution n Theor`eme2.3SupposonsFtvureivabd´errunolesunocunittnemEdeR. Alors pour tout choix de conditions initiales tel quet0IetX0E, la solutiondusyst`eme(1)surIdansEest unique si elle existe.
Ceth´eor`emesobtientenutilisantlelemmedeGronwall.
3 Existencede la solution 3.1 Existencelocale de la solution n Theore`me3.1Soientt0=RetX0R. SiFest continument d´erivablesurunvoisinagedeX0, il existeh >0tel que la solution du syste`me(1)v´eriantX(t0) =X0existe sur l’intervalle[t0, t0+h].
3.2 Existenceglobale de la solution n Theor`eme3.2SiFviba´drerelustconesmenttinuRet si la solution dans n Rsysud)1(eme`tv´eriantX(0) =X0e´ntiouerntllvaorebertsbero´neeustr ou`elleexiste,alorscettesolutionexistesurI= [0,+].
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n Theore`me3.3SoitFevuonuruselbavir´etdenuminntcortEdeRet soit n n Aun compact deRinclus dansE. Sila solution dansRsud`tsy)1me(e v´eriantX(0) =X0reste dansAeon´orebexleel`uituotrusllavretnsiet, alors cette solution existe surI= [0,+]ntie`apatetrapApour toutt >0.
3.3Crit`eresdexistenceglobale Theor`eme3.4(Crite`re1)Soientaetblseei.Sder´uxFest continument n de´rivablesurRetve´iren n X X n2 X= (... xx ,+ 1xn)R, xifi(X)aib ,(4) i=1i=1 n alors pour toutX0R,lationsoluysude`ts1(eme´v)arintX(0) =X0 existe surI= [0,+]. Theor`eme3.5(Crite`re2)SoientaetbS.sfideuxr´eelspositiFest n continumentde´rivablesurRvte´eiren XR, N(F(X))aN(X) +b ,(5) n alors pour toutX0R,tilusola`eme(1)vondusyste´iratnX(0) =X0 existe surI= [0,+]. Solutions positives n Dansdenombreuxmode`les´economiquesseuleslessolutionsdans(R) + sontadmissibles,cequirendinte´ressantlecrite`resuivant: Theor`eme3.6(Crite`re3)Soienta, b, α1α, ...nifs.S´reedseisitslopF n estcontinumentde´rivablesur(R)e´vteire + n n X X n2 X= (x ,...x)(R),)a x+b ,(6) 1n+xifi(Xi i=1i=1 n X= (...xx ,)( ) 1nR+, fi(X)≤ −αixii= 1, ...n,(7) n ),ondulutieme`tsysire´v)1(ntaX(0) =X alors pour toutX0(R+la so0 n existe surI= [0,+]eriete´vX(t)(R), pour toutt0. +
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