Systemes lineaires Ce qu'il faut savoir

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Systemes lineaires. Ce qu'il faut savoir 6 mai 2010 Un systeme lineaire1 de m equations a n inconnues (x1, · · · , xn) est un systeme d'equations de la forme : ? ??????? ??????? a1,1 x1 + · · ·+ a1,j xj + · · ·+ a1,n xn = b1 ... ... ai,1 x1 + · · ·+ ai,j xj + · · ·+ ai,n xn = bi ... ... am,1 x1 + · · ·+ am,j xj + · · ·+ am,n xn = bm (1) ou ai,j ? K pour 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n ; bi ? K pour 1 ≤ i ≤ m. Il s'agit de decrire l'ensemble S des solutions dans Kn d'un systeme lineaire de la forme (1). I Systemes equivalents Un systeme lineaire de p equations a n inconnues (x1, · · · , xn) ? ??????? ??????? c1,1 x1 + · · ·+ c1,j xj + · · ·+ c1,n xn = d1 ... ... ci,1 x1 + · · ·+ ci,j xj + · · ·+ ci,n xn = di ... ... cp,1 x1 + · · ·+ cp,j xj + · · ·+ cp,n xn = dp (2) est equivalent au systeme lineaire (1

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Publié le : samedi 1 mai 2010
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Syst`emeslin´eaires.Cequilfautsavoir
6mai2010
1 Unsyste`melin´eairedem´eqaons`uatininconnues (x1,∙ ∙ ∙, xn:lefaroemes)t`ysnstuqe´demedsnoitau a1,1x1+∙ ∙ ∙+a1,jxj+∙ ∙ ∙+a1,nxn=b1 . . ai,1x1+∙ ∙ ∙+ai,jxj+∙ ∙ ∙+ai,nxn=bi(1) .. am,1x1+∙ ∙ ∙+am,jxj+∙ ∙ ∙+am,nxn=bm ou`ai,jKpour 1imet 1jn;biKpour 1im.
n Ilsagitded´ecrirelensembleSdes solutions dansKsnudofmredal.(e)1emelyst`airein´e
ISyste`mese´quivalents
Unsyste`meline´airedep´qeauitons`aninconnues (x1,∙ ∙ ∙, xn) c1,1x1+∙ ∙ ∙+c1,jxj+∙ ∙ ∙+c1,nxn=d1 . . ci,1x1+∙ ∙ ∙+ci,jxj+∙ ∙ ∙+ci,nxn=di(2) . . cp,1x1+∙ ∙ ∙+cp,jxj+∙ ∙ ∙+cp,nxn=dp n estnet´equivalai´e(1reil)snselbmesedeulosnoitsdsnaasusy`tmeleniKse´t(e)2`adegalS. Lundesobjectifsestdetrouverunsyst`eme´equivalent`a(1)plussimple`ar´esoudre.Cestlecasdun syst`emeline´aireheec´´ennlotse`nuys´naeemilmmenincoenirtobtorrevsuoolsulpsn.Nviuqnelate´irheecnnlo´e´e a`(1)a`laidedelam´ethodedupivot de Gausss:vantssiuiotnelpsseruoseperodth´eemttecede´tidilavaL. aceremplRduonnsnceaulnairleinaonntnpualralumtlpie´iaerneemt`inelundysnsuqe´oita-ialeme` syst`emeline´aire´equivalent; yst`unsiondquatneuliaernie´melembconetuanutjoiaeriae´nilnosianiedastuer´sqeauitonsemRe`-ie´emcalpalre donneunsyst`emeline´aire´equivalent. Ledernierpointrevienta`remplaceruncertainnombredefoislai-`eme´equationenluiajoutantαfois une autree´quation. 3 Exemple :DansR,e`emlsnilseystssreai´e x+y+z=1 (3) xy+ 2z(4)= 1 et 2x+ 2y+ 2z=2 (5) 2x+ 3z(6)= 0 sonte´quivalents.Eneet: 1 Enabr´eg´e.syst`emeline´airem×n.
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PCSI B
Math´ematiques
a`tviuqnelaireest´emelin´eareystse`lpeerim x+y+z=1 2x+ 3z= 0
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(7) (8)
puisquecedernierestobtenuenrempla¸cant(4)par(4)+(3). tse`elysbotse)5(,teenE.ennuteentausyst`emed´qeauitno(s)5(-)6dmequ´eioat(7ns8(-)tse)uqe´lavi rempla¸cant(7)par2(7).
IIApplicationlin´eaireassocie´eetrangdunsyste`meline´aire
n m Onassocieausyst`emelin´eaire(1)lapplicationlin´eaireu∈ L(K,K) suivante : n m u:KK    x1a1,1x1+∙ ∙ ∙+a1,jxj+∙ ∙ ∙+a1,nxn . . xj7→ai,1x1+∙ ∙ ∙+ai,jxj+∙ ∙ ∙+ai,nxn     .. xnam,1x1+∙ ∙ ∙+am,jxj+∙ ∙ ∙+am,nxn Exemple :n´eaonlissocirealaacitppilioatqu´e(4)-(3nsysuaee´ideme`tsicplioatst)eaplnReriale´niude   x 3 23   RdansRui`aqyRassocie z     x x+y+z   u y=. xy+ 2z z
Proprie´te´1L’ensembleSdes solutions (1) est non vide si et seulement si   b1 . biIm(u).   . bm
D´enition1Lerangdme`tsysuai´einelst)e(1regnedelarlpcilpanlinatioreua´eai.i´eessoc Autrementdit:lerangdusyst`emeline´aire(1)este´gala`dimK(Im(u)).
Propri´et´e2eltnmeˆmelavostns´reuieqinslai´eystse`emeDxu.grena Cecide´couleduth´eor`emedurang.
TerminologieSim=netstsylesie`emsedtrenagnstsyme`enielno,)qtideleunditaussiderangpo( lin´eaire(1)estunemt`yss.remarCedeecetntr´encoj`ardsseelacadsnreems2stsyme`ee´danO×2 et 3×3
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PCSI B
Mathe´matiques
III structurede l’ensembleS
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1.Cashomog`ene Ondiscuteicilecaso`ulesyst`emelin´eaireestsanssecondmembre.Autrementditlesyste`meline´aire se´crit: a1,1x1+∙ ∙ ∙+a1,jxj+∙ ∙ ∙+a1,nxn= 0 .. ai,1x1+∙ ∙ ∙+ai,jxj+∙ ∙ ∙+ai,nxn(9)= 0 .. am,1x1+∙ ∙ ∙+am,jxj+∙ ∙ ∙+am,nxn= 0 n On notere)ter9(e´ialeniysusemt`erlgdanShl’ensemble des solutions dansKde (9). n Proprie´t´e3L’ensembleShdes solutions de (9) est un sous-espace vectoriel deKde dimensionnr. En effet :Sh= ker(u) et la dimension s’obtient via leoe´htrgundaeme`redsssut´´ei-ecprlariopuoceedel.´dlI queShaidedeecrit`alets´dnruosrdsceonetesedicndpeaplnsaD.serte`marap«Espaces vectoriels de dimension finie»pxetuqiloce´nemmtobteniresnre`rtse`:laadideparam.ssuxpeuamufGadeotiv 2.Casinhomog`ene n nn Un sous-ensembleHdeKest unsous-espace affinedeKsiH=x+Fo`uxKetFest un n sous-espace vectoriel deK.Le sous-espace vectorielFest la direction du sous-espace affineH; ladimension n deHpardesttioie´ndnmiK(F).Un sous-espace affine deKous-espacevectoreitlarsnal´tdeunsesnucnodt −→ vecteurx . n Par convention,est un sous-espace affine deK. Exemple : n n 1.etKsont des sous-espaces affines deK. n n 2. Toutsous-espace vectoriel deKest un sous-espace affine deK.    1 0   2 3    3.(1 +x, x+y, y) : (x, y)Rest un sous-espace affine deR.Sa direction estF=vect({1,1}). 0 1 Sa dimension est2. Notant encorernadgsusy`tmelenie´iaer1(,)no:aler Propri´et´e4L’ensembleSussdt`yselem´einsedulosnoit1(e)iaerts   b1 −→   l’ensemble vide, sib= 6∈Im(u); . bm un sous-espace affine de directionSh`ouSheme`´niludsntsysolssioutmbsedeleetslneneog`eehomeair −→ associe´a`(1),sibIm(u). −→2 Defa¸conpluspre´cise:six0(e)1a,olsrenutsloseoituarnpcuti`elidre
S={x0+y:ySh},
o`uShne´d.)lIeluqceuoeltseelbmesneutolssde(9densioSdeaidetd´ees`alcritnrarp`eamsert. Remarque :ntlepivoappliquauaystse`dtGeuassnEati-compnsdembtoutpeon),(1meoitidnocsedrusre m bilit´edutype0 =φ(b1,∙ ∙ ∙, bm)ou`φmelieforiredn´eaetsnueKe´iaeruqequ´ene:uinnlioatrtua(tidtneme −→ doitve´rierlescoordonne´esduvecteurboilncitapalpedlmagetliiven´ecrCe).eqs´tiuasdonreai´einui´ocssaee −→ ausyste`melin´eaireetdoncindiquentsibappraitt`enmaI(u).Voir l’appendice de«Espaces vectoriels de dimension finie»lpsuruedse´dmalpls.etaipo
−→ 2−→ Ce qui suppose queSnon vide. On a alorsu(x0) =b .
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