Table des mati`eres

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Table des matieres Cours de calcul tensoriel d'Emmanuel Plaut, ENSMN. Introduction 3 1 Algebre tensorielle 7 1.1 Espace - Vecteurs - Base et repere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : fleche vs barre . . . . . . . . . .
  • espace - vecteurs - base
  • theorie generale des tenseurs en base quelconque
  • xiei
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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Table des matieres
Cours de calcul tensoriel d’Emmanuel Plaut, ENSMN. Introduction 3
1 Algebre tensorielle 7
1.1 Espace - Vecteurs - Base et repere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : eche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Sur le caractere direct des bases i.e. la notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6 Tenseurs d’ordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 De nition des tenseurs comme applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Representation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Application : ecriture intrinseque d’un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.5 Tenseur identite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 De nition et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Applications : de nition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques . . . . . . . . 15
1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 De nition des tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 De nition generale du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.4 De nition generale du produit contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.5 De nition generale du produit doublement contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Tenseur alterne fondamental et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 De nition du tenseur alterne fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Produits mixte et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.3 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 antisymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Exemples en mecanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Analyse tensorielle 25
2.1 Gradient d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 De nition intrinseque en tant que di erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Table des matieres
2.1.2 Expressions en repere orthonorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Cas du gradient d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Signi cation de la partie symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3 de la partie antisymetrique - rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Divergence d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 De nition intrinseque a partir du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Expressions en repere orthonorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Integration des champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 Formule integrale du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Formule integrale de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.4 Application : signi cation physique de l’operateur divergence . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Laplacien d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1 De nition intrinseque a partir du second gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.2 Expressions en repere orthonorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Exercices visant a etablir un formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ex. 2.10 : Derivee particulaire de la densite d’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 Calculs en coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7.1 De nition des coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7.2 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.3 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.4 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.5 du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8 Calculs en coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8.1 De nition des coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8.2 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.3 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.4 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8.5 du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Complements : rotationnels et potentiels 49
3.1 Existence de potentiel scalaire : theoreme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 de potentiels vecteurs : theoremes de Cauchy generalises . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 Premier theoreme de Cauchy generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 Lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.4 Deuxieme theoreme de Cauchy generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Bibliographie 55
A Elements de correction des exercices 57
A.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.2 du c 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Introduction
La physique des milieux continus est une branche de la physique, qui s’est developpee au
eme emeXIX siecle puis a connu des sommets au XX siecle, dans laquelle la matiere est consideree
a des echelles su samment grandes pour que sa nature discrete, en tant que somme d’electrons,
de protons et neutrons en interactions dans le vide, n’apparaisse pas. Au contraire, la matiere
est consideree comme la reunion de milieux continus uides ou solides, separes par des interfaces.
De m^eme, le rayonnement est considere comme consistant en des vibrations continues des champs
1 2electrique et magnetique , et non comme des photons discrets . Les grands domaines de la physique
3des milieux continus sont
1. la thermomecanique ;
2. l’electromagnetisme ;
3. la relativite.
4De ces domaines seuls les deux premiers relevent des sciences de l’ingenieur , et seul le tout
erepremier est enseigne de fa con approfondie a l’ecole des Mines de Nancy, en 1 annee, dans les
ermodules de Mecanique des milieux continus solides et uides au 1 semestre, Transformation
d 5de la matiere et de l’energie au 2 semestre. Tous ces domaines se sont developpes gr^ ace a un
6 7
outil mathematique que l’on pourrait designer comme l’ algebre et analyse vectorielles
generalisees , ou encore calcul tensoriel . Comme un preliminaire au cours de mecanique
des milieux continus, nous donnons justement ici quelques elements de calcul tensoriel.
1. Le lieu de ces vibrations ou ondes est soit le vide, que l’on peut considerer comme le milieu continu le
plus simple possible, soit la matiere...
2. Les e ets quantiques n’apparaissent pas : la physique des milieux continus releve, en ce sens, de la physique
classique.
3. Les frontieres entre ces domaines sont poreuses. Par exemple la modelisation complete des e ets
piezoelectriques ou thermoelectriques est a l’interface entre les domaines 1 et 2. De m^eme en relativite (domaine 3)
on peut se poser la question des lois de transformation des champs electromagnetiques (domaine 2) par changement
entre deux referentiels en translation tres rapide...
4. Quoiqu’en spatial des e ets relativistes soient a prendre en compte...
eme5. Ou, plut^ ot, de pair avec, car au XIX siecle les scienti ques auteurs d’avancee en physique des milieux
continus furent souvent des mathematiciens developpant le calcul tensoriel, comme, par exemple, Cauchy et Lagrange.
6. Le mot algebre vient de l’arabe al-jabr signi ant reconstruction ou connexion . L’algebre
etudie les relations ( connexions) entre nombres, vecteurs, matrices, etc..., via di erentes operations,
somme, produits, etc...
7. Le mot analyse vient du grec analuein signi ant delier . L’analyse decompose et recom-
pose gr^ ace au calcul di erentiel et integral ou calcul in nitesimal . Ainsi la variation de temperature entre
R Rb b 0
les deux extremites d’un segment est analysee comme T (b) T (a) = dT = T (x) dx... La m^eme
a a
analyse doit pouvoir ^etre faite pour un champ de vecteurs, par exemple le champ electrique, ce qui introduit la
question de la derivee d’un champ de vecteurs, etc...4 Introduction
Depuis quelques decennies, le fait que la physique ait besoin, pour se developper, d’outils
mathematiques, a parfois ete minimise, voire nie, par la communaute physicienne fran caise. Cette
attitude est une reaction, initialement saine, aux exces de mathematisation dans l’enseignement des
sciences, par exemple celui de la mecanique, dans les annees 1960-1970 et plus tard. Il nous semble
cependant que cette reaction a souvent ete trop loin, pour mener dans des cas extr^emes a des
8a rmations deraisonnables comme on peut tout faire avec la regle de trois . Mathematiser et
formaliser a outrance sont sans doute, pour la physique, aussi nuisibles que de cacher tous les calculs
sous des raisonnements soi-disant intuitifs , mais en fait impossible a developper sans conna^ tre
les fameux calculs caches . Un certain equilibre doit ^etre trouve entre mathematiques et phy-
sique, la deuxieme n’existant pas sans les premiers, puisque modeliser c’est decrire des phenomenes
en langue mathematique. C’est bien ce qu’ont explique ces deux tres grands physiciens :
La philosophie est ecrite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux
(je veux dire l’Univers), et on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend pas a conna^ tre
la langue et les caracteres dans lesquels il est ecrit.
Or il est ecrit en langue mathematique, (...)
sans laquelle il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot,
sans laquelle on erre vraiment dans un labyrinthe obscur.
Galilee
‘Our experience hitherto justi es us in believing that nature
is the realization of the simplest conceivable mathematical ideas.
I am convinced that we can discover by means of purelyal constructions
the concepts and the laws connecting them with each other,
which furnish the key to the understanding of natural phenomena...
Experience may suggest the appropriate mathematical concepts,
but they most certainly cannot be deduced from it.
Experience remains, of course,
the sole criterion of the physical utility of a mathematical construction.
But the creative principle resides in mathematics.
In a certain sense, therefore,
I hold it true that pure thought can grasp reality, as the ancients dreamed.’
9Einstein
L’objet des trois chapitres qui suivent est donc une introduction au calcul tensoriel, avec une
approche de mecanicien theoricien assumee, m^eme si elle est imposee par le cours volume
10horaire alloue . Les tenseurs en tant qu’objets algebriques sont introduits dans le chapitre 1. Les
11tenseurs en tant que champs sont etudies ensuite dans les chapitres 2 et 3. La separation entre
ces deux derniers chapitres est un peu arti cielle. Elle vise essentiellement a soulager les lecteurs
8. Que l’on essaye par exemple de resoudre les problemes de mecanique 4.3 Dimensionnement d’un tuyau conte-
nant un uide sous pression et 6.1 Etude d’un rheometre de Couette cylindrique (dans Plaut 2011) en utilisant
exclusivement la regle de trois...
9. Sur cette citation, voir aussi la gure culturelle 2.7 page 39, et sa legende.
10. Il pourrait ^etre interessant de donner un cours plus mathematique et plus approfondi...
11. L’objet algebrique se met a dependre de la position dans l’espace physique, et cette dependance est ana-
lysee ...Introduction 5
pour lesquels l’apprentissage du calcul tensoriel est rude : ils pourront se contenter d’un survol du
chapitre 3. Les autres voudront bien le lire tres attentivement.
Par souci de simplicite, on se restreint aux tenseurs euclidiens bases orthonormees (di-
rectes), et en identi ant l’espace vectoriel de travail a son dual. La theorie generale des tenseurs
en base quelconque et en distinguant l’espace de son dual est introduite par exemple dans les
annexes I de Salen con (1996) ou A de Forest (2007), et presentee de fa con plus exhaustive dans
Pernes (2003). Une presentation plus mathematique de cette theorie, qui n’oublie pas cependant
ses applications, est donnee dans Lichnerowicz (1946); Garrigues (2007). Deux autres references
interessantes, mais moins exhaustives, sont les ouvrages de Germain (1986) et Coirier (2001). En n
une reference anglo-saxonne pertinente est le traite de Aris (1962).
L’essentiel de votre apprentissage du calcul tensoriel se fera par du travail personnel et lors de
la seance 1 de cours-TD du module de mecanique des milieux continus solides et uides. Vous le
completerez ensuite au l des seances de ce module, en utilisant le calcul tensoriel a de nombreuses
occasions, et aussi en acquerant des competences complementaires (sur les calculs en coordonnees
non orthonormees) au niveau de la seance 7, a l’occasion du probleme de mecanique 6.1. Pour
chaque seance de ce module, et specialement la premiere, un travail personnel de preparation
est indispensable, selon ce qui est dej a indique sur la page web dynamique de ce module,
www.mines.inpl-nancy.fr=emmanuel.plaut=mmc .
Cette page web sera mise a jour d’ici le mercredi 28 septembre soir, pour speci er les methodes
pedagogiques que nous utiliserons dans le cadre de ce module. En n cette page web contient
une version pdf de ce document, dans laquelle des elements de correction des exercices de calcul
tensoriel sont donnes.
Je remercie tous les collegues qui ont permis l’introduction de ce cours a l’ecole des Mines de
Nancy, et plus specialement Michel Jauzein, directeur de cette ecole. Je remercie aussi les collegues
qui m’ont inspire ou corrige, plus particulierement Didier Bernardin, chercheur au laboratoire
d’energetique et de mecanique theorique et appliquee (Lemta), et Rainier Hreiz, du lab
12reactions et genie des procedes (LRGP) . Je remercie en n Rachid Rahouadj pour le dessin de la
gure 1.2.
Nancy, le 9 novembre 2011.
Emmanuel Plaut,
chercheur en mecanique des uides au Lemta, professeur a l’INPL.
12. Ces deux laboratoires sont associes a l’INPL et au CNRS.Chapitre 1
Algebre tensorielle
L’introduction aux tenseurs en tant qu’objets algebriques est faite progressivement, en pro -
tant du fait que l’algebre tensorielle est en premier lieu une reformulation de notions bien connues
1 2comme celles de vecteur , d’application lineaire ou multi-lineaire .
1.1 Espace - Vecteurs - Base et repere
L’espace physique dans lequel evoluent les objets que le theoricien des milieux continus considere
3 3
est l’espace a ne euclidien oriente R . Dans cet espace, l’observateur repute immo-
bile qui mesure les mouvements est appele referentiel et noteR. Cet observateur-referentiel
utilise en general un repere orthonorme direct R pour reperer les positions d’objets materiels.
Ce repere orthonorme est de ni par la donnee d’un point origine O immobile (pourR) et de
vecteurs xes (toujours pour R) e ; e ; e formant une base orthonormee directe que l’on note1 2 3
feg. Un vecteur quelconque x est repere par ses composantes x ; x ; x de sorte quei 1 2 3
3X
x = x e : (1.1)i i
i=1
Un point quelconque M est repere de la m^eme maniere par ses coordonnees qui sont les compo-
santes x ; x ; x du vecteur position OM, telles que1 2 3
3X
OM = x e : (1.2)i i
i=1
On note parfois le repere sous la forme R = Ox x x .1 2 3
1. D’ailleurs sur le plan etymologique le terme tenseur vient du latin tensum qui veut dire tendu ,
!
ce qui pourrait designer un bipoint AB c’est- a-dire l’archetype d’un vecteur.
2. En deux mots un tenseur peut ^etre vu soit comme l’une, soit comme l’autre, ces deux points de vue di erents
ayant chacun leur propre inter^et. Attention aux faits que la reformulation dont il s’agit n’est pas completement
triviale (ne sous-estimez pas la complexite de l’algebre tensorielle, il vous faudra fournir un e ort pour la ma^ triser),
et que l’analyse tensorielle va largement au del a d’une simple reformulation de l’analyse vectorielle.
3. On reviendra sur le probleme de l’orientation de l’espace c’est- a-dire sur la notion de bases directes sec-
tion 1.1.5.8 Chapitre 1 Algebre tensorielle
1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : eche vs barre
Vous aurez note que la traditionnelle eche utilisee en classes preparatoires pour designer un
vecteur est devenue une simple barre dans ce document de nature primaire electronique,
!
OM OM : (1.3)
4L’objectif de ce changement de notation est essentiellement de reduire l’encombrement . En
ecriture manuscrite on reviendra en general aux notations avec eche, faisant le chemin inverse de
celui presente formule (1.3).
1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes
Une ecriture telle que (1.2) est tres lourde. Nous savons bien que l’espace physique est de
dimension 3, donc qu’un indice de coordonnees varie de 1 a 3. Pour alleger les notations nous
adoptons dorenavant la convention de sommation sur les indices repetes dite d’Einstein,
qui stipule qu’une formule ecrite avec des indices repetes implique une somme sur ces indices,
3X
x e x e : (1.4)i i i i
i=1
On dit qu’un indice repete est un indice muet : de fait on peut lui dire de changer de nom
sans dommage (comme il est muet il ne pourra pas protester !), par exemple on peut decreter que
l’indice i dans (1.4) s’appelle en fait k,
x e = x e : (1.5)i i k k
Pour eviter toute ambiguite f^acheuse, il est interdit d’employer plus de deux fois le m^eme indice
dans le m^eme produit. Ainsi dans un produit de facteurs, soit un indice apparait deux fois, auquel
5cas il est muet et cache une sommation sur 3 valeurs , soit il apparait une seule fois, auquel cas on
parle d’ indice explicite . De fa con exceptionnelle on peut avoir besoin d’ecrire une formule
avec deux fois le m^eme indice sans qu’il y ait sommation sur celui-ci ; alors on le souligne une fois
sur deux.
Exercice 1.1 Sur la convention de sommation sur les indices repetes
1 Recrivez l’expression
3 3X X
E = a b ci ik kj
i=1 k=1
en utilisant la convention de sommation d’Einstein. De quel(s) indice(s) depend E ?
2 Designez dans la formule (1.16) le ou les indices muet(s) et explicite(s). Recrivez cette suite
d’egalites sans la convention de sommation d’Einstein, i.e. en explicitant les sommes cachees.
!
4. Dans certains ouvrages une autre convention est adoptee, OM OM.
5. Il peut arriver que l’on etudie des problemes plans pour lesquels l’espace de travail peut ^etre considere de
dimension 2 ; en e et dans la troisieme direction on a invariance donc celle-ci ne joue aucun r^ole . Dans ce cas un
indice repete cache une sommation sur 2 valeurs seulement, correspondant aux 2 directions dans le plan de travail.
3De maniere generale dans la quasi totalite de ce document a( l’exclusion de la section 1.6) on peut remplacer R par
2R sans dommage, a condition bien sur^ d’adapter comme on vient de l’expliquer la convention de sommation sur les
indices repetes.1.1 Espace - Vecteurs - Base et repere 9
1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction
Pour le physicien, capable de mesurer des longueurs et des angles, l’existence d’un produit
scalaire euclidien universel ne fait pas de doute ; il pourrait le de nir par la formule
dx y = jjxjjjjyjj cos(x;y) : (1.6)
Le mathematicien pose plut^ ot, dans sa base orthonormeefeg, quei
x y = xy : (1.7)i i
Le point dans cette formule est le point de contraction , qui constitue une operation de
calcul tensoriel que l’on va generaliser. Par de nition m^eme du caractere orthonorme de la base
de travail, on a (
1 si i =j
8i;j; e e = = : (1.8)i j ij
0 sinon
6
Les sont les symboles de Kronecker .ij
1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation
Le choix de la base orthonormeefeg pose au tout debut comprend une part d’arbitraire.i
D’un point de vue scienti que, il est donc important de savoir reconcilier les observations faites
0dans cette base avec celles que l’on pourrait faire dans une autre base orthonormeefeg (tout eni
restant dans le m^eme referentiel). Remarquant que, du fait de la propriete (1.8), on peut obtenir
les composantes d’un vecteur x dans ces deux bases par produit scalaire avec les vecteurs de base,
0 0x = e x et x = e x ; (1.9)i i i i
on obtient
0 0 0 0 0x = e (x e ) = e e x () [x] = [P ] [x ] (1.10)i i ij j j j
0ou [x] designe le vecteur colonne des composantes de x dans la basefeg, [x ] le vecteur colonnei
0des composantes de x dans la basefeg, [P ] la matrice de passage de composantesi
0[P ] = P = e e : (1.11)ij ij i j
Le point de contraction dans (1.10) designe le produit matrice-vecteur classique, i.e.
0x = P x : (1.12)i ij j
On a
0e = P e ; (1.13)ij ij
0i.e. la matrice [P ] est constituee de colonnes qui sont les composantes des vecteurs e dans la basej
0
feg. Pour cette raison on dit aussi que c’est la matrice de presentation des vecteurs e dansi j
la base des e . Cette matrice [P ] est orthogonale, i.e. sa matrice transposee de nie pari
T[P ] = P (1.14)ij ji
eme6. Du nom du mathematicien allemand du XIX siecle qui les inventa.10 Chapitre 1 Algebre tensorielle
est son inverse :
T 1 T T[P ] = [P ] () [P ] [P ] = [P ] [P ] = [I] matrice identite: (1.15)
0Ceci se veri e en partant par exemple de la propriete d’orthonormalite de la base des e ,j
0 0 0 0 T = e e = e (P e ) = (e e )P = P P = [P ] P : (1.16)ij kj k k kj ki kj ik kji j i i
T TAinsi [P ] [P ] = [I] ; d’apres la theorie des matrices, on a en consequence [P ] [P ] = [I] i.e.
= P P : (1.17)ij ik jk
De fa con geometrique il importe d’anticiper sur la section suivante en remarquant que l’application
0 0 0lineaire L qui envoie e ; e ; e sur e ; e ; e envoie donc1 2 3 1 2 3
0x = x e sur y = L(x) = x L(e ) = x e = P x e : (1.18)j j j j j ij j ij
La matrice representative de cette application sur la basefe ; e ; eg est donc la matrice de passage1 2 3
7[P ] elle-m^eme . Ainsi le fait que [P ] soit orthogonale provient du fait que la transformation L
est orthogonale.
Premiere remarque importante : sur une question de convention
De nombreux auteurs introduisent, plut^ ot que la matrice de passage [P ], une matrice de
changement de base
T[Q] = [P ] : (1.19)
Avec cette de nition on remplace par exemple la formule (1.13) par
0e = Q e ; (1.20)ji ij
ce qui presente l’avantage de respecter un ordre des indices tres souvent rencontre en calcul
tensoriel : indice(s) explicite(s) a gauche, muets a droite. En revanche on perd l’interpretation
geometrique simple que l’on vient de mentionner.
Deuxieme remarque importante : sur l’^etre et le para^ tre
Il faut insister sur le fait que l’objet essentiel est le vecteur lui-m^eme, par exemple un bipoint
x = OM ou AB, et qu’il n’est que represente par le vecteur colonne de ses composantes
[x] = Vect(x;feg) (1.21)i
8qui depend du choix de la base en vertu de (1.10). Il convient alors de s’assurer que des objets
comme
x y = [x] [y]
sont bien intrinseques , c’est- a-dire ne dependent pas du choix de la base.
7. En e et, toujours en anticipant sur la section 1.2, on a bien

[y] = Vect L(x);feg = [P ] [x] = [P x ] :i ij j
8. D’ou la notation avec deux arguments dans la fonction Vect.

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