Théorème de Kurosh pour les relations d'équivalence boréliennes

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Ann. Inst. Fourier, Grenoble 00, 0 (XXXX) 000-000 THÉORÈME DE KUROSH POUR LES RELATIONS D'ÉQUIVALENCE BORÉLIENNES par Aurélien ALVAREZ Résumé. — En théorie des groupes, le théorème de Kurosh est un résultat de structure concernant les sous-groupes d'un produit libre de groupes. Le théorème principal de cet article est un résultat analogue dans le cadre des relations d'équi- valence boréliennes à classes dénombrables, que nous démontrons en développant une théorie de Bass-Serre dans ce cadre particulier. Abstract. — In group theory, Kurosh's theorem gives the structure of sub- groups in free product of groups. The main result of this paper is an analogous version in the setting of countable Borel equivalence relations, which is proven using a Bass-Serre theory developed in this particular context. En théorie des groupes, le théorème de Kurosh ([11]) est un résultat de structure concernant les sous-groupes d'un produit libre de groupes ; plus précisément, un sous-groupe H du produit libre G d'une famille de groupes (Gz)z?Z est isomorphe au produit libre de son intersection avec des conjugués des Gz convenablement indexés et d'un sous-groupe libre de G. Le théorème principal de cet article (th. 1) est un résultat analogue dans le cadre des relations d'équivalence boréliennes à classes dénombrables, que nous démontrons en développant une théorie de Bass-Serre dans ce cadre particulier.

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : univ-orleans.fr
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble 00, 0 (XXXX) 000-000
THÉORÈME DE KUROSH POUR LES RELATIONS D’ÉQUIVALENCE BORÉLIENNES
par Aurélien ALVAREZ
Résumé. —En théorie des groupes, le théorème de Kurosh est un résultat de structure concernant les sous-groupes d’un produit libre de groupes. Le théorème principal de cet article est un résultat analogue dans le cadre des relations d’équi-valence boréliennes à classes dénombrables, que nous démontrons en développant une théorie de Bass-Serre dans ce cadre particulier. Abstract. —theory, Kurosh’s theorem gives the structure of sub-In group groups in free product of groups. The main result of this paper is an analogous version in the setting of countable Borel equivalence relations, which is proven using a Bass-Serre theory developed in this particular context. En théorie des groupes, le théorème de Kurosh ([11]) est un résultat de structure concernant les sous-groupes d’un produit libre de groupes ; plus précisément, un sous-groupeHdu produit libreGd’une famille de groupes(Gz)zZest isomorphe au produit libre de son intersection avec des conjugués desGzconvenablement indexés et d’un sous-groupe libre deG. Le théorème principal de cet article (th. 1) est un résultat analogue dans le cadre des relations d’équivalence boréliennes à classes dénombrables, que nous démontrons en développant une théorie de Bass-Serre dans ce cadre particulier. Nous renvoyons à [1] pour une théorie de Bass-Serre dans le cadre plus naturel des groupoïdes boréliens.
Étant donné une relation d’équivalence borélienneRà classes dénom-brables sur un espace borélien standardX, les acteurs principaux de ce travail sont lesR-arboretums(déf. 13), c’est-à-dire la donnée d’uneaction Mots-clés :relations d’équivalence boréliennes/mesurées, théorie de Bass-Serre, arbore-tum, théorème de Kurosh. Classification math. :20, 37.
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deRsur unchamp d’arbres boréliensurX. Nous nous intéressons dans un premier temps aux actionsquasi-libres, ce qui nous permet d’obtenir une démonstration géométrique qu’une sous-relation d’une relation d’équi-valence borélienne arborable est arborable (cor. 15, voir aussi [7] dans le cadre borélien et [4] en présence d’une mesure). À toute décomposition deRen produit libre de deux sous-relationsR1 etR2, est canoniquement associé unR-arboretumbi-coloréet le théo-rème 25 donne une caractérisationdynamiquedes produits amalgamés de deux sous-relations suivant une sous-relation commune. Via la notion de graphe de relations(déf. 30), nous démontrons l’existence d’unedésingu-larisationpour toute action deRsur un arboretum (th. 34) et donnons des résultats sur la structure deR(prop. 36, 38 et 40). Enfin, nous utilisons les résultats obtenus pour démontrer un analogue du théorème de Kurosh pour les sous-relations d’une relation d’équivalence borélienneR=?iIRi qui se décompose en produit libre dénombrable de sous-relationsRi. Théorème 1(th. 42). —SoitRune relation d’équivalence borélienne surX, produit libre dénombrable de sous-relationsRi(iI). SiSest une sous-relation deRdéfinie surX, alors S=?iI?kiK(i)Ski?Toù, pour toutkid’un ensemble dénombrableK(i), il existe un élémentφki de[[R]]défini sur une partie borélienneAkideXtel que Ski=φki1Ri|ikφ(Aik)φki∩ Set oùTest une sous-relation arborable deS. De plus, pour toutideI, il existekidansK(i)tels que Aki= XetSk=Ri∩ S iEn particulier, nous donnons la décomposition de la restriction deRà toute partie borélienneYdeX(th. 44) et précisons ainsi les résultats de Ioana-Peterson-Popa ([6]) obtenus dans le cas de facteurs ergodiques. En collaboration avec D. Gaboriau, nous introduisons dans [2] la no-tion de relation d’équivalence mesuréelibrement indécomposableainsi que la classe des groupes dénombrablesmesurablement librement indécompo-sablesdémonstrations des résultats de rigidité que nous obtenons. Les (th. 1.1 et th. 1.5) reposent en grande partie sur les théorèmes 42 et 44 de cet article. Remerciements. —Je tiens à remercier sincèrement Damien Gaboriau pour son encouragement tout au long de ce travail ainsi que Frédéric Paulin pour tout le soin qu’il a accordé à une première version de ce texte.
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Dans la suite, le couple(XBX)désigne toujours un espace borélien stan-dard etRune relation d’équivalence borélienne à classes dénombrables surX.
1. Actions quasi-libres et arboralité Nous commençons par rappeler la définition desR-espaces fibrés stan-dardset mentionnons quelques propriétés de ces derniers qui nous seront utiles par la suite. Nous introduisons ensuite lesR-arboretums (déf. 13) et nous nous intéressons au cas particulier d’actions quasi-libres (déf. 11). Nous obtenons ainsi une caractérisation dynamique des relations d’équiva-lence boréliennes arborables (th. 14). Rappelons qu’une partie borélienneAdeXest undomaine fondamental deRsi elle rencontre chaque classe deRen un unique élément et qu’une relation d’équivalence borélienne estlissesi elle admet un domaine fon-damental. LesaturéR ∙Ad’une partie borélienneAdeXest la partie borélienne deXconstituée des élémentsR-équivalents à un élément deA. Lorsque le saturé deAcoïncide avecX, on dit queAest undomaine com-pletdeR. Deux relations d’équivalence boréliennesRetR0surXetX0 respectivement sontstablement orbitalement équivalentes(oustablement isomorphes) s’il existe des domaines completsAdeRetA0deR0tels que les restrictions deRet deR0à ces domaines complets soient orbitalement équivalentes. Lepseudo-groupe pleindeR, noté[[R]], est l’ensemble de tous les isomorphismes partiels deXdont le graphe est contenu dansR. Une application boréliennef: A−→Xest unmorphisme intérieur partiel si tout élément deAestR-équivalent à son image parf. Siφ: ABest un élément du pseudo-groupe plein deRetSune sous-relation deRdéfinie surB, on définit alors surAune sous-relation deRnotéeφ1Sφ: deux élémentsxetysontφ1Sφ-équivalents si par définitionφ(x)etφ(y)sont S-équivalents. Ainsi,Setφ1Sφsont des sous-relations isomorphes viaφ. On dit queφ1Sφest la sous-relation déduite deSparconjugaisonparφ. Deux sous-relationsSetS0deRdéfinies sur les parties boréliennesA etA0deXsont conjuguées dansRsi elles sont orbitalement équivalentes via un élémentφ: A−→A0du pseudo-groupe plein deR, autrement dit siS0=φ1Sφ. Enfin, nous dirons queSetS0sontstablement conjuguées dansRs’il existe des domaines completsAetA0deSetS0respectivement sur lesquels les restrictions deSetS0sont conjuguées dansR.
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1.1. Espaces fibrés standards et actions Unespace fibré standard(FBF π)est la donnée d’un espace boré-lien standardFsurXet d’une application borélienne (appelée projection) π: FXsurjective à pré-images dénombrables. LafibreFxd’un élémentx deXest la pré-image dexparπ. Comme sous-ensemble borélien deX×X, la relationRdéfinit naturellement deux espaces fibrés standards surXvia les projectionsπletπrrespectivement sur la première et deuxième coor-donnée. Unesection boréliennesdeFest une application borélienne deX dansFtelle queπssoit égale à l’identité. SiAest une partie borélienne deXet sisn’est définie que surA, alors nous parlerons desection partielle. Un espace fibré standard surXadmet toujours une section borélienne. Ceci est une conséquence du théorème suivant (voir [10], [8]) : Théorème 2(Théorème de sélection). —SoitFun espace fibré stan-dard surX. Alors il existe une famille dénombrable de sections partielles deFdont les images forment une partition (borélienne et dénombrable) deF. De plus, on peut toujours supposer qu’au moins l’une de ces sections partielles est une section borélienne, c’est-à-dire définie surXtout entier. Voici trois applications immédiates de ce théorème (également connu sous le nom de théorème de Lusin-Novikov) : siFest un espace fibré standard surX, alors il existe une numérota-tion borélienne des fibres deF, c’est-à-dire une application borélienne N : F−→Ntelle que la restriction deNà toute fibre deFsoit in-jective. De plus, quitte à renuméroter les fibres deF, on peut toujours supposer que dans chaque fibre la numérotation commence à1et ne saute pas d’entiers naturels ; sifest une réduction deRàR0, c’est-à-dire une application borélienne f: X−→X0telle que deux éléments deXsontR-équivalents si et seulement si leurs images parfsontR0-équivalents (cf.[7]), alors il existe un domaine completAdeRtel que la restriction defàAsoit une équivalence orbitale entreR|AetR0|f(A); siRest une relation d’équivalence borélienne surXetAun domaine complet deR, alors il existe un morphisme intérieur deRdéfini surX dont l’image est contenue dansA. Nous allons maintenant introduire la notion d’actionpour une relation d’équivalence borélienne sur un espace fibré standardFsurX. Rappelons d’abord que leproduit fibréde deux espaces fibrés standards(F0 π0)et (F00 π00)surXest l’espace fibré standard(F π)F = F0?F00={(t0 t00)F0×F00;π0(t0) =π00(t00)}
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etπl’application borélienne deFdansXdéfinie parπ(t0 t00) =π0(t0). Définition 3(Gaboriau, [5]). —UneR-action(à gauche) sur l’espace fibré standard(F π)surXest une application borélienne (R πr)?(F π)−→F ((x y) t)7(x y)t telle que, pour tout triplet(x y z)d’élémentsR-équivalents deXet pour touttappartenant àFdans la fibre dez, on ait (z z)t=tet(x y)((y z)t) = (x z)t On dit alors que(F π)est unR-espace fibré standardsurXet queRagit surF. Remarque. —qu’elle ait un sens la formule du produit ci-dessusPour impose que(x y)tsoit un élément dans la fibre dex. De mme on définit la notion d’action à droite que nous rencontrerons également par la suite. SoitFunR-espace fibré standard surX. L’orbited’un élémentfxdeF dans la fibre dexdeXest l’ensemble des(y x)fxydécrit laR-classe dex. En particulier, l’action deRsurFengendre une relation d’équivalence borélienne notéeRFsurF:fxetfysontRF-équivalents si, par définition, (x y)fy=fx. Puisque deux élémentsRF-équivalents deFse projettent dansXsur des élémentsR-équivalents, la projection est donc un morphisme de relations d’équivalence boréliennes. Exemple fondamental. —(F π) = (R πl)définit unR-espace fibré standard surXavec l’action « horizontale » (R πr)?(R πl)−→(R πl) ((x y)(y z))7(x z)Les classes deRFsont ici les fibres deπr:RX. Nous dirons que (R πl)est leR-espace fibré standard canoniquegauche associé àR. De la mme façon, nous avons leR-espace fibré standard canonique droit (R πr)action (à droite) « verticale »avec son (R πr)?(R πl)−→(R πr) ((x y)(y z))7(x z)Remarque. —Si(F π)est unR-espace fibré standard surXetAune partie borélienne deX, on en déduit alors une notion deR|A-espace fibré standardinduitsurA: il s’agit de la restriction de(F π)à(π1(A) π|π1). (A)
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Soits: A−→Fune section partielle d’unR-espace fibré standardF, le stabilisateurStabR(s)desest la sous-relation deRdéfinie surAsuivante : deux élémentsxetydeAsontStabR(s)-équivalents si leurs images pars sontRF-équivalents, autrement dit xStabR(s)yssi(y x)s(x) =s(y)Notons que la projection surXest une équivalence orbitale entre la restriction deRFàs(A)etStabR(s). Nous appelleronssaturéde l’image desleRF-saturé des(A). Sisest une section borélienne deF(c’est-à-dire siA = X),s(X)estRF-saturé si et seulement siStabR(s)coïncide avecR. Définition 4. —Un morphismef: F−→F0deR-espaces fibrés stan-dards est une application borélienne deFdansF0telle que, sixetysont R-équivalents et sifxappartient à la fibre dex, alors f(Fx)F0xetf((y x)fx) = (y x)f(fx)Remarque. —En particulier, un morphisme deR-espaces fibrés stan-dards deFdansF0définit pour toutxdeXune application de la fibreFx dans la fibreF0xUn tel morphisme est dit injectif (respectivement surjec-. tif) si c’est une application borélienne injective (resp. surjective) ; au niveau des fibres, on obtient des applications de mme nature. Remarquons égale-ment qu’un morphisme deR-espaces fibrés standards deFdansF0induit un morphisme de relations d’équivalence boréliennes deRFdansRF0. En particulier, un isomorphisme entreFetF0induit une équivalence orbitale entreRFetRF0. SoitFunR-espace fibré standard surX. L’action deRsurFesttransi-tiveetFest dithomogènes’il existe un domaine complet deRFsur lequel la restriction de la projection deFsurXest injective. Ainsi une action deRsurFest transitive si et seulement s’il existe une section partielles ditesaturantedéfinie sur une partie borélienneAdeXdont l’image est un domaine complet deRF: autrement dit, le saturé des(A)coïncide avecF (Aest nécessairement un domaine complet deR). Proposition 5. —Soits: A−→Fets0: A0−→Fdeux sections par-tielles saturantes d’unR-espace fibré standard homogèneF. Alors leurs stabilisateursStabR(s)etStabR(s0)sont deux sous-relations deRstable-ment conjuguées. Démonstration. —Considérons le sous-ensemble borélienΞdeRconsti-tué des couples d’éléments(a a0)deA×A0tels ques(a)ets0(a0)appar-tiennent à la mme orbite. Puisque le saturé des0(A0)contients(A), la
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restriction deπlàΞdéfinit une structure d’espace fibré standard surA. Soitf0une section borélienne de πl|Ξ):πrf0est alors une réductionr deStabR(s)surAdansStabR(s0)surA0qui est de plus un morphisme intérieur deRvérifiant s0(r(x)) = (r(x) x)s(x)Puisque le saturé des(A)contient le saturé des0(A0), on en déduit que r(A)est un domaine complet deStabR(s0)et ceci entraîne quersoit une équivalence orbitale stable entreStabR(s)etStabR(s0).Remarque 1. —La proposition précédente assure, qu’étant donné un R-espace fibré standard homogène surX, le stabilisateur d’une section partielle saturante est unique à équivalence orbitale stable près. Remarque 2. —On déduit de la proposition précédente le fait suivant que nous utiliserons à plusieurs reprises : sis00est une section partielle (a priorinon saturante) deF, alors le stabilisateur des00: A00−→Fest stablement conjugué à une restriction deStabR(s)sest une section partielle saturante définie surA. En effet, le saturé des00(A00)est un sous-espace fibré standardF00de la restriction deFàR ∙A00, par construction homogène de section partielle saturantes00. En notantBla projection surX de l’intersection deF00et des(A), on en déduit, par définition des, que la restriction desàBest également une section partielle saturante deF00. La proposition précédente assure alors queStabR(s|B) = StabR(s)|Bet StabR(s00)soient stablement conjugués. SoitF1etF2deuxR-espaces fibrés standards surX. Désignons pars1 ets2des sections partielles deF1etF2définies sur la partie borélienneA deX. Supposons de plus quefsoit un morphisme deR-espaces fibrés standards deF1dansF2qui envoies1(A)surs2(A): le stabilisateur des1 est alors une sous-relation du stabilisateur des2. Plus précisément, nous avons le lemme suivant : Lemme 6. —Soit(F1 π1)et(F2 π2)deuxR-espaces fibrés standards surXet deux sections partiellessi: A−→Fidéfinies sur un domaine com-pletAdeR. Sis1est saturante, alors il existe un morphismef: F1−→F2 deR-espaces fibrés standards qui envoies1(A)surs2(A)si et seulement si le stabilisateurStabR(s1)est une sous-relation deStabR(s2). Si de pluss2 est saturante, alorsfest surjectif. Démonstration. —Supposons que le stabilisateurStabR(s1)soit une sous-relation deStabR(s2). Sifxappartient à laF1-fibre d’un élémentx deX, alors par hypothèse il existe un élémentydans la classe dextel quefx
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appartienne à l’orbite des1(y). On définit alorsf(fx)comme l’image par le couple d’éléments(x y)des2(y). Cette définition ne dépend pas du choix du représentantypuisque deux élémentsStabR(s1)-équivalents sont StabR(s2)-équivalents par hypothèse. Enfin, supposons ques2soit de plus saturante. On a alors F2=R ∙s2(A) =R ∙f(s1(A)) =f(R ∙s1(A)) =f(F1)On en déduit le fait important suivant : Proposition 7. —SoitFunR-espace fibré standard surX. S’il existe une section boréliennesdeFtelle ques(X)soit un domaine fondamental deRF, alorsFest isomorphe auR-espace fibré standard canonique. Démonstration. —Le stabilisateur desétant la relation triviale par hy-pothèse, le lemme précédent assure l’existence d’un morphisme surjectiff deR-espaces fibrés standards entreFet leR-espace fibré standard cano-nique (gauche) envoyant l’image de la section boréliennessur la diagonale. Il ne reste plus qu’à voir que ce morphisme est injectif. Par l’absurde, sup-posons quefxetfx0soient deux éléments distincts dans la fibreFxd’un élémentxdeXtels que leurs images parfsoient égales dans leR-espace fibré standard canonique. Il existerait alors deux élémentsyetzdistincts deXtels quefxetfx0appartiennent respectivement aux orbites des(y)et s(z). Mais par suite les images respectives par les couples d’éléments(x y) et(x z)des élémentsf(s(y))etf(s(z))de la diagonale deRseraient égales dans leR-espace fibré standard canonique.Nous allons maintenant voir que certainsR-espaces fibrés standards peuvent se plonger dans leR-espace fibré standard canonique et nous uti-liserons ce fait à plusieurs reprises. Lemme 8. —SoitFunR-espace fibré standard surXadmettant une section partielles: A−→Ftelle ques(A)soit un domaine fondamental deRF. Alors il existe unR-espace fibré standardF0surXcontenantFet une section boréliennes0deF0prolongeantsàXet telle ques0(X)soit un domaine fondamental pour l’action deRsurF0 . Remarque. —De l’existence d’une section borélienne deF0dont l’image est un domaine fondamental pour l’action deR, on en déduit que leR-espace fibré standardF0est isomorphe auR-espace fibré standard cano-nique d’après la proposition précédente. Démonstration. —Puisque l’image desest un domaine fondamental pour l’action deRsurF, on en déduit queAest un domaine complet
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THÉORÈME DE KUROSH9 deR. SiA = X ; sinon considérons l’espace fibré, il n’y a rien à démontrer standardF0réunion disjointe deFet de la restriction de l’espace fibré stan-dard canonique gauche auR-saturé du complémentaire deAdansX. Ce dernier est naturellement muni d’une structure deR-espace fibré standard et la section boréliennes0égale àssurAet coïncidant avec la diagonale (de la restriction de l’espace fibré standard canonique gauche) surX\Aest par construction telle ques0(X)soit un domaine fondamental pour l’action deRsurF0.Nous avons déjà mentionné que la donnée d’unR-espace fibré standardF définit naturellement une relation d’équivalence borélienneRFsur l’espace borélien standardF. Le cas oùRFest lisse va particulièrement nous inté-resser dans notre étude des relations d’équivalence boréliennes arborables (cf.§ 1.2). Définition 9(Action lisse). —SoitFunR-espace fibré standard surX. L’action deRsurFest lisse (on dit aussi queRagit de manière lisse surF) si la relation d’équivalence borélienneRFsurFest lisse. Exemple. —L’action deRsur l’espace fibré standard canonique est lisse ; il en est de mme de toute sous-relation deRpuisqu’une sous-relation d’une relation lisse est elle-mme lisse. Plus généralement, siRagit de manière lisse sur un espace fibré standardF, il en est de mme de chacune de ses sous-relations. Nous allons donner une caractérisation des actions lisses que nous utili-serons constamment et qui est une conséquence du lemme suivant. Lemme 10. —Étant donné unR-espace fibré standardFsurX, il existe une famille dénombrable(si: Ai−→F)iIde sections partielles deFdont les saturésFides imagessi(Ai)forment une partitionRF-invariante deF. Remarque. —Puisque par définitionRF|FietRF|si(Ai)sont stablement orbitalement équivalentes, on en déduit qu’il en est de mme deRF|Fiet StabR(si). Démonstration. —Donnons-nous une numérotation borélienne des fibres deFsection borélienne qui, à chaque élémentet considérons la xdeX, as-socie le plus petit élément dans la fibre dex. Si le complémentaire du saturé de l’image de cette section borélienne est vide, c’est terminé. Sinon on considère la section partielle définie par les plus petits éléments restants dans chaque fibre, puis le saturé de l’image de cette dernière. En conti-nuant ainsi, on construit à chaque étape une nouvelle section partielle en TOME 00 (XXXX), FASCICULE 0
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prenant dans chaque fibre les éléments les plus petits restants dans le com-plémentaire des saturés des images des sections partielles précédemment construites. Cette construction fournit une exhaustion deFpuisqu’un élé-ment de numérondans une fibre deFa forcément été considéré avant la neétape.Définition 11(Action quasi-libre). —SoitFunR-espace fibré stan-dard surX. L’action deRsurFest quasi-libre (on dit encore queRagit quasi-librement surF) si le stabilisateur de toute section partielle deFest une sous-relation lisse deR. On obtient alors la caractérisation suivante : Proposition 12. —Étant donné unR-espace fibré standardFsurX, l’action est quasi-libre si et seulement siRagit de manière lisse surF. Démonstration. —L’implication réciproque est claire car nous avons déjà mentionné que le stabilisateur de toute section partielles: A−→Fest orbitalement équivalent àRF|s(A)qui est une sous-relation deRF. Suppo-sons maintenant l’action deRsurFquasi-libre et construisons un domaine fondamental deRF. Le lemme précédent assure l’existence d’une famille dé-nombrable(si)iIde sections partielles deFdont les saturés des images forment une partitionRF-invariante deF. Le stabilisateur de chacune de ces sections partiellessiétant lisse, considérons la restriction desià un domaine fondamentalDide son stabilisateur : la réunion surIdessi(Di) est un domaine fondamental deRF.Nous allons à présent introduire une classe deR-espaces fibrés standards fondamentaux pour une relation d’équivalence borélienneRsurX. SiS est une sous-relation deRdéfinie surX, alorsSagit surRvia l’action induite par celle de «RsurR». En effet, considéronsRmunie de ses deux structures deR-espace fibré standard canoniques et remarquons que la projectionπl:RXest invariante sous l’action verticale deR(et donc deS) sur(R πr). De plus, puisqueSest une sous-relation deR, elle agit également de manière lisse sur(R πr). SoitRSl’espace quotient deRpar la relation d’équivalence borélienne engendrée par cette action. Comme les actions horizontale et verticale de «RsurR» commutent, on en déduit que c’est unR-espace fibré standard surXdont la projection surXet l’action deRsont induites par celles duR-espace fibré standard canonique gauche(R πl): c’est leR-espace fibré standard canonique gauche associé au couple(RS). De plus, la diagonaledde ce dernier passe au quotient sous l’action deSet leR-espace fibré standard(RS πl)est naturellement
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muni d’une section boréliennedSdont l’image est un domaine complet de RRSet dont le stabilisateur estSNotons également que dans le cas où. la sous-relationSest triviale,(RS πl)n’est autre que leR-espace fibré standard canonique gauche. Remarque 1. —précédente s’étend au cas de sous-La construction relationsSdéfinies sur un domaine completAdeRen considérant l’action deSsur(R ∩πr1(A) πr). Dans ce cas, leR-espace fibré standardRSest naturellement muni d’une section partielledSdéfinie surAdont l’image est un domaine complet deRRSet dont le stabilisateur estS. En particulier, RSest unR-espace fibré standard homogène etdSune section partielle saturante. Remarque 2. —Notons que l’on peut donner une description explicite deRSen tant qu’espace fibré standard surX. En effet, il suffit pour cela de se donner une numérotation borélienne des fibres de l’espace fibré standard canonique gauche. Considérons la partie borélienne de(R πl)constituée des paires(x y)ydésigne l’élément de plus petit numéro dans saS-classe. L’espace fibré standard obtenu est alors isomorphe à l’espace fibré standardRS. De la mme manière, on peut également considérer leR-espace fibré standard canonique droit et faire agirSà gauche. On obtient alors leR-espace fibré standardS\R. SoitSla symétrie par rapport à la diagonale : R −→ R S((x y)7(y x): Soitx,yety0trois élémentsR-équivalents tels queyety0appartiennent à la mmeS-classe. Puisque les images deS(x y)etS(x y0)sont égales dans l’espace quotientS\Rapplication passe au quotient en un isomor-, cette phisme deR-espaces fibrés standards ˜ S : (RS πl)−→(S\R πr)
1.2. Actions quasi-libres et arboralité
Rappelons qu’un (L-)graphage (cf.[12], [9]) deRmunit canoniquement chaque classe deRde graphe connexe, son graphe de Cay-d’une structure ley, dont les sommets sont les éléments de cette classe. Un (L-)graphage deRest un(L-)arboragesi les graphes de Cayley de chaque classe deR sont des arbres. Une relation d’équivalence borélienne est ditearborablesi
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