Theorie elementaire des invariants algebriques

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! _ $ Theorie elementaire des invariants algebriques BOULARAS Driss () Laboratoire d'Arithmetique, de Calcul formel et d'Optimisation http :// IREM de Limoges Limoges, jeudi 24 mars 2005 1

  • theorie elementaire des invariants algebriques

  • courbe plane d'equation ax2

  • systemes lineaires d'equations


Publié le : mardi 1 mars 2005
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Source : unilim.fr
Nombre de pages : 46
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Theorieelementairedesinvariants algebriques
BOULARAS Driss (boularas@unilim.fr)
LaboratoiredArithmetique,deCalculformeletdOptimisation http ://www.unilim.fr/laco
IREM de Limoges
Limoges, jeudi 24 mars 2005
1
#$
Premier exemple (introductif)
2
Une conique est une courbeplanedequation ax2+ 2bxy+cy2+ 2dx+ 2ey+f= 0. Question Commentreconnt a re sa nature (ellipse, hyperbole, parabole, . . . ) ?
#$
Onsaitquelareponsedependdedeuxquantitesalgebriquesenles coefficients :
a b d a b !1=,!2=b c e . !b c!!d e f!
qui sont invariantespar rapport au groupe des transformations affines "#xx21$%!"#"qq2111qq2221%$"#xx12$%+"#qq12$%
ou`det(qji)#= 0.
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#$
il vient des matrices
Deuxi`emeexemple(introductif)
#"a b$ c d%
qui representent des endomorphismes deIR2ouC2dans une base donnee oudessyst`emeslineairesdequations. Questions 1.Commentsavoirsideuxmatricesrepresententunmeme endomorphisme ? 2.Commentchoisirunebasepourquelarepresentationmatriciellede lobjet soit la plus simple ?
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#$
Lareponseestdonneepartiellementparlepolynomecaracteristique:
"2$(a+d)"+ (ad$bc).
dont les coefficientstrace(A) =a+d,det(A) =ad$bcsont invariantsparrapport`atoutchangementdebase: &"#"01"02ou"##$$#$%$%$ A=#"bcad%$=%')'"##"(""011"011$$% 0"1%
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#$
QUEST-CE-QUE
DES
INVARIANTS
6
LA
THEORIE
ALGEBRIQUES
?
#
$
Dabord, un peu dhistoire
Vraisemblablement,lactedenaissancedelatheoriealgebriquedes invariants est dans le livreDisquisitiones arithmeticae(1801)o`ulauteur
GAUSS
aetudielarepresentationdenombresentierssouslaforme
ax2+ 2bxy+cy2.
(a,b,c,xetyfaisant le changement de variables :sont des entiers) en
Premier invariant:
x!=#x+$y!+!y , y=%x
!=b2$ac"!!=b!2$a!c!= (#!$$%)!.
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#$
Cetinvariantpossedeaussiunesi-
gnicationgeometrique(simple),`a
savoir quune forme quadratique bi-
nairedenitdeuxpoints(x1, y1) et(x2, y2)sur la droite projective IP1( C)te)rceuqedsexu(d`aniepoints sont distincts si, et seulement
si, le discriminant de la forme est
non nul.
8
#$
Lebirapportprojectif Lesdeterminants
!ij=xiyi !xjyj!
des points
P1= (x1, y1), P2= (x2, y2)
P3= (x3, y3), P4= (x4, y4)
de la droite projectiveIP1( C)sont des invariants relatifs. Le rapport
!12!34 !14!32
est un invariant absolumog`eneho
9
#$
Vers 1845, partant de ce travail (approfondi par Gauss lui-meme, Cauchy et dautres ...),
CAYLEY
adonneladenitiongeneraledelinvariantrelatifduneformen-aire de degrer *ai1,i2,...,inxi11xi22∙ ∙ ∙xinn=*aixi i1+i2+∙∙∙in=k i commeetantunpolynomeId,nadnepeefcoestdsntiecaitel que sous laction du groupe des transfomations lineairesGL(n,C), verifie la propriete :
I(ai(g)) ="(g)I(ai). Si&g'GL(n,C),"(g)(1, linvariantIest dit absolu. Sinon, il est relatif.
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#$
Premi`eresremarqueset/ouproprietes
1. La fonction"estapepleeumtlpiilacteuret
"(g) = (det(g))"!
` ou&est appele poids de linvariant. 2.Ladenitiondelinvariantdemeurelamemesilonremplacelagroupe GL(n, K)leibedsdinesrsvetnalageetenimrparlseamrtcigeorpude`a 1:SL(n, K) 3. Dans le cas du groupeSL(n, K), tous les invariants sont absolus. 4.Unpolynomeestuninvariantsi,etseulementsi,sespartieshomog`enes lesontaveclemememultiplicateur. 5. Un polyno me est un invariant au sens deGL(n, K)si, et seulement si, il est invariant au sens deSL(n, K).
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