Tout graphe planaire sans cycle de longueurs est acycliquement liste coloriable

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Coloration acyclique par listes Résultats Annexe Tout graphe planaire sans cycle de longueurs 4 à 12 est acycliquement 3-liste coloriable Hervé Hocquard Mickaël Montassier Université Bordeaux 1, France JGA 2009 6 Novembre 2009 1/33 Hervé Hocquard, Mickaël Montassier Coloration acyclique de graphes planaires

  • planaire sans cycle de longueurs

  • coloration acyclique de graphes planaires

  • approche eléments de preuve bilan des charges conclusion


Publié le : mardi 19 juin 2012
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oHqcreév3/H31Montkaël,MicuardnoitaroloCreissaphraegedquliycac
JGA 2009 6 Novembre 2009
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Hervé Hocquard Mickaël Montassier
Université Bordeaux 1, France
Coloration acyclique par listes Résultats Annexe
Tout graphe planaire sans cycle de longueurs 4 à 12 est acycliquement 3-liste coloriable
3/2reH3,MrdkaicHovéuacq
k-liste coloration acyclique Si pour toute assignation de listesLsatisfaisantvV(G), |L(v)| ≥k, le grapheGadmet uneL-coloration acyclique, alorsGest dit coloriableacycliquement k -liste.
s
L-coloration acyclique par listes Un grapheGestacycliquement L-coloriablesi pour l'assignation de listes de couleurs aux sommets deG, il existe une coloration acycliquecdes sommets deGtelle que c(v)L(v)pour toutvdeV(G).
Coloration acyclique par listes RésultatsDénitions AnnexeQuelques résultats
phesegraaireplancanoitardeuqilcyasntMoëlloCoersi
rCiesstaioatoroliM,drauqnoMlëakclanahesp
Col oration acyclique par listesns RéAsnunlteaxtseQDuéelqniutieos résultats
Théorème[Borodin, Fon-Der Flaas, Kostochka, Raspaud, Sopena '02] Tout graphe planaire est acycliquement 7-liste coloriable.
Conjecture[Borodin, Fon-Der Flaas, Kostochka, Raspaud, Sopena '02] Tout graphe planaire est acycliquement 5-liste coloriable.
ireslcqianycrgpaeued3/33HervéHoc
O.V. Borodin, D.G. Fon-Der Flaass, A.V. Kostochka, A. Raspaud and É. Sopena Acyclic list 7-coloring of planar graphs. J. Graph Theory, 40(2) :83-90, 2002.
eviBaldnsehcraegsConclusiontoNgrebncorppaerenémElheeuprdetsaLectuConjSteiredera,diMkcvrHécouq4/33He
Conjecture de Steinberg Tout graphe planaire sans cycle de longueurs 4 et 5 est 3-coloriable.
T.R. Jensen and B. Toft Graph coloring problems. Wiley Interscience, 1995.
es
Coloration acyclique par listes Résultats Annexe
paehedrganripsalnaioatorueiqclcyatnoMlëaloCreiss
ceuteredtSiebnretatsAnnexeLaConjneméedstuerpiBevotgNapreocprElheoinlcsueschlandsConargereisoloCoMlësatnliycedqutiraaconlpnaiaergearhpses
Relaxation d'Erdos Quel est le plus petit entieritel que tout graphe planaire sans cycle de longueurs 4 àiest 3-coloriable.
La meilleure borne connue esti=7. O.V. Borodin, A.N. Glebov, A. Raspaud and M.R. Salavatipour Planar graphs without cycles of length 4 to 7 are 3-colorable. J. Combin. Theory, Ser. B 93 303-311, 2005.
3Her5/3qcauévoHciakdrM,ueparlistesRésullorotaoianyclcqiC
rise
M. Voigt A non-3-choosable planar graph without cycles of length 4 and 5. Discrete Math., 307(7-8) :1013-1015, 2006.
Le cas de la coloration par listes Quel est le plus petit entieritel que tout graphe planaire sans cycle de longueurs 4 àiest 3-liste coloriable.
En 2003, Voigt a prouvé que la Conjecture de Steinberg ne pouvait être étendue à la notion de coloration par listes ; d'où, i6.
ehpsalanuedegrapnacycliqcyclionaoratColse?iltspnrataoiertoNgreehcorpparetuecnjnbeiStdestnAluataLoCenexparliquesRésistedno-dericalerolocloniousuenQutpeiBaldnsehcraegCsElémentsdepreuvekcëaMlnouqra,diMoloratiotassierCrvHeocéH336/
lusiConcepeuonQunaedBeligrsecsahpaontiras?teisrleridno-tolocaledonjecturedeSteinustltaAsnnxeLeCaléeEntmeepsduvregrebrtoNppaehcoréRsetsilrapeuqilycacontiraloCoH3re73/cquavéHoickard,M
O.V. Borodin Structural properties of plane graphs without adjacent triangles and an application to 3-colorings. J. Graph Theory, 21(2) :183-186, 1996.
Théorème[Borodin '96] Tout graphe planaire sans cycle de longueurs 4 à 9 est 3-coloriable, en fait, 3-liste coloriable.
sreaianplesphraeguqdecyilnocaaritColosierntasëlMo
egCsnolcsuoinlaBiveeuarchesndmélEehcorpedstneergNeinbapprotrejnceaLoCedtSuternAstexenséRsatlurlpateisclcyueiqrotaoianCloseriana
Problème Quel est le plus petit entieritel que tout graphe planaire sans cycle de longueurs 4 àiest acycliquement 3-liste coloriable.
tionacycerColoraarhpselpiluqdegecqHordua3H/3véertnoMissaciM,lëak8
ebgroNrtaepporhceElémentsdepreuvBtelulisAnsateadxcesnanhCgarLseejCeoonnculrucstieoSnedinteolaroCcacyitno9e/parliquéeHsrRvéHlei3s3tueiqgrdenaioclcyrian
Résultat
seehpaalpsMickaëlMocquard,Crlorotanoatssei
Théorème Tout graphe planaire sans cycle de longueurs 4 à 12 est acycliquement 3-liste coloriable.
veBilandeschargeehlEménestedrpueernbotgNapreocprjnoCutceederietSsulcnoCsnoisRteisrlpaueiqclaLexennAstatluséanyctaoiloroCarquMid,aëckonlM133/0vreHcoHénacycliquedegrapatsseiCrlorotaoi
Supposons queHest un contre-exemple d'ordre minimum au théorème. 1.Propriétés structurelles deH. 2.Procédure de déchargement. 2.1Une fonction poidsω. 2.2Règles de déchargement.[Redistribution des charges suivant les règles de déchargement établies. Création d'une nouvelle fonction poidsωtelle quePxω(x) =Pxω(x).] 3.En utilisant la formule d'Euler sur un plongement deHtel que toute face est de longueur 3 ou au moins 13 et les propriétés structurelles deHnous aboutissons à une contradiction, 0Pxω(x) =Pxω(x)<0. Donc aucun contre-exemple n'existe.
Déroulement de la preuve
esirnalasphe
113/évoHH3reeuqilcycanoitarotauléssRteisrlpaColcharndesonclgesCnsuoireotprapheocémElstnerpedevuealiBtsAnnexeLaConjecuteredtSiebnreNg
(C1)Hne possède pas de 1-sommet. (C2)Une 3-face n'a pas de 2-sommet sur son bord. (C3)Un 2-sommet n'est pas adjacent à un 2-sommet.
lëoMciakdrM,qcauratiColosierntasargedeuqilcycano
Congurations réductibles
Supposons queHest un contre-exemple d'ordre minimum au théorème. SoitLune assignation de listes avec|L(v)|=3 pour toutvV(H)telle queHn'admet pas deL-coloration acyclique.
sreaianplesph
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