Transport optimal dans le groupe de Heisenberg

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Transport optimal dans le groupe de Heisenberg Transport optimal dans le groupe de Heisenberg Séminaire GT3 Nicolas JUILLET Institut Fourier (Grenoble), Institut für angewandte Mathematik (Bonn) Nicolas JUILLET Transport optimal dans le groupe de Heisenberg

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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TransportoptimadlnalsgeorpudeHeseeiernbgiNalocanTrorspUIsJETLLelrgadsnmilaottpbergisendeHeoupe
Institut Fourier (Grenoble), Institut für angewandte Mathematik (Bonn)
Nicolas JUILLET
Transport optimal dans le groupe de Heisenberg Séminaire GT3
ponsraTpuorHedeesierebnoprtmatianldegslgTTLEnsraasolILJUciNeHeisenbegroupedamdlnalsoptrpoit
1
Notations et dénitions du transport optimal
Deux résultats
3
2
Le premier groupe de Heisenberg, estimée clef
Plan de l'exposé
gre
legrdansimaltoptpsrorTnautsdontirtponsralamitpodeHeoupebergisenitnooNatéinesdt.àqepdocaliN
Espace géodésique
d(Χ(s)Χ(s0)) =|ss0|d(Χ(0)Χ(1))
Dans un espace métrique(Xd),Χ: [01]Xest une géodésique si pour toutss0[01]
géodésiqueΧ
Un espace métrique(Xd)est dit géodésique si pour tout(pq)il y a une
QuandΧest unique, on dénit la function interpolation parMs(pq) =Χ(s).
oupedeHeisenbergtpotlamisnadrgelUIsJETLLanTrorsp
udrtoisnrootnapsalptimTarsnoptroptimaldanslegrodepuieHebnesNgreatotnsiodéetitnca.ee'psepduseruntréoncecisHedepe
Entropie de Boltzmann
rgbeenadlamitpuorgelsn
Siµest singulière, Ent(µ) = +υ.
L' entropie d'une mesure de probabilitéµde densitéΛest donnée par Ent(ΛΗ|Η) =ZΛln(Λ)(x)dΗ(x)
Grande entropie:µ Petite entropie:µremplit beaucoup d'espace.
UILLETTransportoiNocalJs
tiopldmansrartpodepuieHelsnaorgeTotropsnalamitpreNgesbnoisntotanitetdédutrionsg
Un espace(XdΗ)vérieCD(0+υ)si
µ0µ1P2(X)absolument continues, il existe une géodésique(µs)s[01]telle que s[01]Ent(µs|Η)Rest convexe.
eisenberpuorHedenadlgelsoprtmatiraTTponsLIELsaUJciloN
vainstelamisnadrgelepuoanTrorsppttogrormeeiHeiepudeisendeHeLeprbergfelg,ernbseecmétiessehtro:izontaleJUasolicNtrposnopTTarLIELroupslegldantimaanripaterartlansnoituagà.ehcy
˙Χ(s) =a(s)X(Χ(s)) +b(s)Y(Χ(s))
Χ
Les champs de vecteurs invariants à gauche
¶ ¶ ¶xX=x2tetY=y+2t
Le groupe de HeisenbergHestR3=C×Ravec la structure multiplicative : (xyt)(x0y0t0) = (zt)(z0t0) =z+z0t+t0Im(2z z0)!
La mesure de LebesgueL3
eiseedeHg
ΧfZ01b2(s)ds dc(pq) =ina2(s) +
etT= [XY] =¶¶tengendrent l'espace tangent en tout point.
nber
seitémceesbnre,gupedeHeiemiergroflegre
La longueur des courbes horizontales est exactement la longueur de leurs
projetées surC.
C
Les géodesiques deH1
Une courbe est horizontale si et seulement si la troisième coordonnée évolue
comme l'aire algébrique balayée par la projection complexe.
ic.NteoidrneuueosnarTTELLIUJsaloanslmaldoptiportesbnHeiepudegeorestlurcoonsatnodselhsebzirojectionsontlaproraccrelcruetsnuelrguoepmilaadsnbergLeprdeHeisenorsppttoanTr
orgelsnaieHedepugLernbseermireepepedrguoneebeHsistimrg,eeféeclTransportoptimaldzorialntdoeslanttnoscselbruoohse
C
projetées surC.
La longueur des courbes horizontales est exactement la longueur de leurs
comme l'aire algébrique balayée par la projection complexe.
Une courbe est horizontale si et seulement si la troisième coordonnée évolue
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Les géodesiques deH1
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Les géodesiques deH1
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projetées surC.
La longueur des courbes horizontales est exactement la longueur de leurs
comme l'aire algébrique balayée par la projection complexe.
Une courbe est horizontale si et seulement si la troisième coordonnée évolue
dlnalsgeorpudeHeraTTponsoprtmatiN.etlociUJsaELLIsltnoarunsteurnsioctiordenuuoelcreccizonshorurbeescoorejltpadsnoatelHedeesierebnse,gmétileecfepedrguoneebeHsipremrgLeroupiergpsnarTimpttoorlensdaal
ldantimaroupslegTartrposnoplcfe,estiméeisenbergepuoeHedimerrgreernbepgLeHedseeiernbseei
Propriété de Contraction de MesureMCP(0N)pour un espace(XdΗ):
Pour tout pointeX, pour toutFXet pour touts[01],
Cas d'égalité :eandfsont sur une droite.
Par conséquent(HdcL3
L'estimée clef
Estimée clef Pour touteH, L'application de contractionMes:fMs(ef)est différentiable et Jac(Mes)(f)s5
ggelsnadlHedepuor
Η(Ms(eF))sNΗ(F)
)vérie(PCM)50:JUasLEILNolicpotramitarTTopsn
grebnesieHedepuosatltsuréuxDepsrorTnalegrdansimaltopt
Théorème (Figalli, J.) Soit(µs)s[01]une géodésique deP2(H)etµ0absolument continue par rapport à L3. Alors pour tout s[01),µsest aussi absolument continue.
Question ouverte (Ambrosio, Rigot) Soitµ0une mesure absolument continue ets<1. la mesureµsest-elle aussi absolument continue?
SoitTs(p) =Ms(pT(p)). Il y a une unique géodésique(µs)s[01]entreµ0etµ1. Celle-ci est dénie parµs=Ms(µ0µ1) = (Ts)#µ0.
Théorème (Ambrosio, Rigot, 2004) Soitµ0µ1P2(H)tels queµ0est absolument continue. Alors il existe ununique couplage optimalϑ. Il s'agit deϑ= (IdT)#µ0 est une application. De plus iloù T existe uneuniquegéodesique entre p et T(p)(µ0-presque surement).
Premier résultat
grebnesiiNocalJsIULLTEanTrorsppttoalimsnadrgelepuoeHed
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