UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ

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IV – Dérivabilité UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ --------------------- 2 MEILLEURE APPROXIMATION AFFINE --------------------------------------- 6 LES TANGENTES D'ABORD----------------------------------------------------10 DEUX POINTS, UNE SEULE TANGENTE -------------------------------------- 12 DEUX COURBES, UNE SEULE TANGENTE ------------------------------------14 UNE TANGENTE CHEZ TORRICELLI------------------------------------------18 UNE TANGENTE PAR LA CINÉMATIQUE CHEZ TORRICELLI--------------- 20 DÉRIVONS EN VITESSE -------------------------------------------------------22

  • x0 ?

  • abscisse

  • courbe représentative dans le plan rapporté

  • ?h3 ≤

  • tangente ∆

  • tangente ∆ en m0 d'abscisse x0

  • droite d3


Publié le : lundi 18 juin 2012
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NE ILLUSTRATION
IV – Dérivabilité
 GRAPHIQUED U NOMBRED ÉRIVÉ
   U --------------------- 2 MEILLEURE APPROXIMATION AFFINE-------------------------------------- - 6 LES TANGENTES DABORD--------------------------------------------------- -10 DEUX POINTS,UNE SEULE TANGENTE-------------------------------------- 12 DEUX COURBES,UNE SEULE TANGENTE------------------------------------ 14 UNE TANGENTE CHEZTORRICELLI------------------------------------------ 18 UNE TANGENTE PAR LA CINÉMATIQUE CHEZTORRICELLI--------------- 2 0 DÉRIVONS EN VITESSE------------------------------------------------------ -22       
 
 
UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ    ObjectifIllustrer graphiquement la définition du nombre dérivé.  OutilsDéfinition du nombre dérivé et de la tangente.    Il sagit de donner un sens mathémateitq udeil lustrer graphiquement la phrase : « Pour des abscisses suffisamment prochxe0s, enuuoc edrb Ce est aussi prochqeu’onle souhaite de sa tangen tenM0d’abscissxe0 ».       A. Rappel de cours Soitf une fonction définie sur un intervalleI non réduit à un point, etx0 point de unI. SoitC sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère(O ;i;j)et soitAle point deCd’abscissex0 . Les deux propositions suivantes sont équivalentes,métant un réel : • la fonctionh6f(x0+hh)f(x0)admetmpour limite en0 • Il existe un intervalle ouvertJcontenant 0 et une fonctionεdéfinie surJtelle que, pour touth  élément deJ,f(x0 + h)= f(x0)+ m h+ hε(h) etlhim0ε(h)=0. Si l’une des deux propositions précédentes est vraie on dit que : a.fest dérivable enx0et le nombre dérivé defenx0, notéf ’(x0), est égal àm. b.Cadmet pour tangente au pointAla droitepassant parA,de coefficient directeurm. On peut interpréter graphiquement cette dernière définition en disant que : des abscisses« Pour suffisamment proches dex0,Cest aussi proche qu’on le souhaite de la tangente».
 B. Exercice Soitf fonction définie sur un intervalle uneI réduit à un réel, et nonx0 un élément deI. SoitC sa courbe représentative dans un repère etAle point deCd’abscissex0 . On suppose qu’au pointAd’abscissex0,Cadmet pour tangente une droitede coefficient directeur m. Il existe donc une fonctionεdéfinie surItelle que :f(x0+h)=f(x0)+mh+hε(h) aveclhim0ε(h)=0. De la nullité de cette limite, on déduit que l’on a pour tout entier naturel non nuln:1≤ ε(h)1, à n n condition queh soit suffisamment proche de0 Pour. Soit encore : « tout entier naturel non nuln, il existe un réel strictement positifhn, dépendant den, tel que : sihnhhn alors1≤ ε(h)1» . n n  
IV – Dérivabilité Une illustration graphique du nombre dérivé
2
 
1. On posen= 2Il existe donc un réel strictement positif. h2tel que : sih2hh2 alors12≤ ε(h)12. En déduire un encadrement def(x0 + h) sous la condition0 h  h2.   2. Déduire de la question précédente que pour tout réelxappartenant à l’intervalle [x0;x0 + h2], on a : (x0)+m21(xx0)f(x)f(x0)+m+21(xx0).On posera :x=x0+h. En déduire que pour des abscisses comprises entrex0etx0 + h2,Cse trouve encadrée par deux droitesD2etD’2passant parA, et dont on précisera les coefficients directeurs.  3. En menant des raisonnements analogues, encadrerf(x0 + h) sous la conditionh2  h  0, puis encadrerf(x) pourxélément de l’intervalle [x0  h2;x0]. En déduire que les droitesD2 etD’2 encadrentC toutes les abscisses comprises entre pour x0  h2etx0 + h2.  4. Illustration graphique. Le graphique ci-dessous représente, dans le repère(O ;i;j), une fonctionfvérifiant, pourx0=1, les hypothèses précédentes. La tangenteàCau point d’abscisse1est tracée sur ce graphique. a. Tracer sur c droitesDe ette figure les2 tD’2définies aux questions précédentes. b. Trouver graphiquement quelle valeur on peut prendre pourh2. c. Repasser en couleur les frontières de la partie du plan comprise entreD2etD’2d’une part, et d’autre part les droites parallèles à (Oy) d’équations :x = x0  h2etx = x0 + h2.   
 
 j 
IV – Dérivabilité
O
i  
 A
i  
 C 
Une illustration graphique du nombre dérivé
  
 
3
 
5. On posen=3. Il existe donc un réel strictement positifh2 que, si telh3  h  h3 , alors 31≤ ε(h)31. a. En déduire un encadrement def(x0 + h) sous la condition0  h  h3. En posantx = x0 + h, en déduire un encadrement def(x) pourxcompris entrex0etx0 + h3. En déduire que pour des abscisses comprises entrex0 etx0 + h3,C se trouve encadrée par deux droitesD3 etD’3passant parA, et dont on précisera les coefficients directeurs. b. Démontrer que les droitesD3 etD’3 encadrentC pour toutes les abscisses comprises entre x0  h2etx0 + h2 c. Tracer sur cette figure les droitesD3etD3. Trouver graphiquement quelle valeur on peut prendre pourh3. Repasser, avec une nouvelle couleur, les frontières de la partie du plan comprise entreD3et D3d’autre part les droites d’équations :d’une part, et x =  x0  h3etx = x0 + h3.  6. a. On pose cette foisn = 5on ne demande pas de démonstration., et Tracer les droitesD5etD’5sur le graphique. Quelle valeur peut-on prendre pourh5? Repasser d’une nouvelle couleur les frontières de la partie du plan comprise entreD5 etD’5 d’une part, et d’autre part les droites d’équations :x = x0  h5etx = x0 + h5. b. Procéder de même pourn = 10.  C. Conclusion En suivant le même schéma de démonstration, on peut établir le résultat suivant : SoitD etD’ droites passant par deuxA la tangente encadrant, et de coefficients directeurs aussi proches que l’on veut de celui de∆.Alors, pour des abscisses suffisamment proches dex0,C se trouve entreDetD’. C’est en ce sens qu’on peut dire : «pour des abscisses suffisamment proche dex0,Cest aussi proche qu on le souhaite de la tangente ».
IV – Dérivabilité
Une illustration graphique du nombre dérivé
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DOCUMENT PROFESSEUR   
 
j   
IV – Dérivabilité
A  i  
n=5   
n=2  C   n=3
Une illustration graphique du nombre dérivé
 
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MEILLEURE APPROXIMATION AFFINE 
Pour une fonctionfdérivable enx0, démontrer que la fonction affine tangente en x0est la meilleure approximation affine defau voisinage dex0   Définition du nombre dérivé et de la tangente.  
 
   Objectif Outils    Il sagit de déterminer mlae illeurea pproximation affine dune fonction au voisinage dun point.     A. Définitions Soitfune fonction définie sur un intervalleD,x0un réel deD et Cla représentation graphique de  f dans un plan rapporté à un repère(O ;i;j). On appelle approximation affine de la fonctionfenx0toute fonction affinegtelle queg(x0)= f(x0) .  Soitg1etg2deux approximations affines de la fonctionfenx0. On dit queg1est « meilleure » queg2s’il existe un intervalleIcontenantx0tel que, pour toutxdeI  D, on ait(x)g1(x)f(x)g2(x)(c’est-à-dire lorsqueg1est plus « proche » defqueg2surI)1. Sif est dérivable enx0, on appelle fonction affine tangente àf enx0 la fonction affine dont la représentation graphique dans le repère(O ;i;j)est la tangente àCau point d’abscissex0.  B. Exemple 1 On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x)= x2 + x.  1. Déterminer la fonction affine tangente àfen0. On noteg1cette fonction. 2. Soitg2la fonction affine définie par2(x)=32x. Démontrer que, pour tout réelx, on a :f(x)g1(x)f(x)g2(x)xx12. En déduire que cette inégalité est vérifiée pour toutx de l’intervalle1;144. Conclure.  3. Soitg3la fonction affine définie par :g3(x)= ax oùaest un réel distinct de1. Démontrer que, pour tout réelx, on a :(x)g1(x)f(x)g3(x)xx+1a                                                      1 On peut alors démontrer aisément qu’il existe un intervalle ouvertJ centré enx 0lati ése t où la même inég valable. SiI=R, on peut prendrJ = e R. SiI  R, on peut prendre poJurl’intervalle centré ex0n ayant pour rayon la distance dx0e  la  àe laborn srpp uld  ecoehx0. AlorsJst e sulcni snadI et l’inéaglité,vraie surI ,se t donc vraie suJr. 
IV – Dérivabilité Meilleure approximation affine
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En déduire que la première inégalité est vérifiée pour tout réelx de l’intervallea21;a21. ⎦ ⎣ (On distinguera les cas :a > 1eta < 1). En déduire queg1est la meilleure approximation affine defen0   4. La représentation graphique suivante est-elle correcte ?  D’ D
C
 j 
O
i  Cest la courbe représentative def D’est la droite d’équation y=35x Dest la droite d’équationy = x
 
  C. Exemple 2 Soitfla fonction définie sur ]0;+ [ parf(x)=1.  1. Déterminer la fonction affine tangente àfen1. On noteg1cette fonction.  2. Soitg2une approximation affine defen1, différente deg1. Démontrer qu’il existe un réela, différent de1, tel queg(x)= ax  a + 1.  3. Démontrer que, pour toutxde] 0;+  [, différent de1, les affirmations suivantes sont équivalentes : f(x)g1(x)f(x)g2(x) 2 2 1+x2x1ax+(a1)x x1≤ −ax1 (on pourra multiplier les deux membres de cette deuxième inégalité parx-1 ,  pour montrer qu'elle est équivalente à la première) (x1)2(ax1)2 0(a+1)[(a1)x+2]  4. En déduire que l’inégalité(x)g1(x)f(x)g2(x)est vérifiée : – pourxélément de l’intervalle] 0;+  [sia > 1,
IV – Dérivabilité Meilleure approximation affine
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– pourxélément de l’intervalle (10 ;2a)si1 < a < 1, – pourxélément de l’intervalle(12a) ;+sia < 1 . Vérifier que dans les trois cas l’intervalle considéré contient le nombre 1.  5. En déduire queg1est la meilleure approximation affine defen1.  D. Exemple 3 Soitfla fonction définie sur [0;+ [ par(x)=x.  1. Déterminer la fonction affine tangente àfen1. On noteg1cette fonction.  2. Soitg2une approximation affine defen1, différente deg1. Démontrer qu’il existe un réeladifférent de21tel queg2(x)= ax  a + 1.  3. Démontrer que, pour tout réelx de[ 0;+  [, différent de1, les affirmations suivantes sont équivalentes : f(x)g1(x)f(x)g2(x) 21x21a x+a1 (on pourra multiplier les deux membres de cette deuxième inégalité par x1pour montrer qu'elle est équivalente à la première) 2112 −≤ +12 x2a x a 0a21(2a+1)x+2a3 4. L’intervalle I est défini comme étant égal à : ]0 ; [+ ∞ sia23 ou sia≤ −21 3 2a2; , si1a3 2a+1+2< <2 2 0 ;23a+2a1, si21<a<21 a. Démontrer dans chaque cas que, pour toutxélément deI, on a :(x)g1(x)f(x)g2(x). b. Démontrer que dans chaque casIcontient1.  5. En déduire queg1est la meilleure approximation affine defen1.
IV – Dérivabilité
Meilleure approximation affine
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DOCUMENT PROFESSEUR Théorème f une fonction numérique dérivable en étantx0, la fonction affine tangente àf enx0 ,Φx0, est la meilleure approximation affine defau voisinage dex0. En d’autres termes, pour toute fonction affineΨtelle queΨ(x0)= f(x0), il existe un intervalleIΨouvert, non vide, centré enx0, tel que, pour tout réelxélément deIΨ, on ait :f(x)− Φx0(x)f(x)− Ψ(x).  Démonstration La fonction affine tangente àfenx0 est définie par :Φx0( )=f(x0)+f' (x0) (xx0). Une fonction affineΨtelle queΨ(x0)= f(x0) est définie parΨ( )=f(x0)+a(xx0), oùaest un réel.  Premier cas :a = f ’(x0) La conclusion est vérifiée banalement.  Deuxième cas :a  f ’(x0) On considère les fonctions numériquesgethdéfinies par : h(x)f(x)− Φx0(x)f(x)f(x0)f' (0) , = = −x xx0xx0 ( )f(x)− Ψ(x)f(x)f(x0;) g x= = −a xx0xx0 On a : limf(x)f(x0)=f' (x0), d'oùlimh(x)=0 etlimg(x)=f' (x0)a. xx0xx0xx0xx0 et par suite,limg(x)h(x)=f'(x0)a. xx0  Or,f ’(x0) a  0, d’où |f ’(x0) a|> 0 par conséquent il existe un intervalle etIΨ ouvert, non vide, centré enx0 et inclus dans l’ensemble de définition de ,f, tel que, pour tout réelxélément deIΨet distinct dex0, on ait : g(x)h(x)>0, f(x)− Ψ(x)f(x)− Φx0(x,)f(x)Ψ(x)>f(x)x0(x soit> soit− − Φ); xx0xx0 de plusf(x0)− Ψ(x0)>f(x0)− Φx0(x0)=0 ;  En conclusion : Pour tout réelxélément deIΨon a :f(x)− ψ(x)f(x)− Φx0(x) .  
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Meilleure approximation affine
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