Université Henri Poincaré Nancy Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre Arithmétique Feuille

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Université Henri Poincaré, Nancy 1 Département de Mathématiques lcma2 s3 standard et cpu2 Algèbre-Arithmétique 2011–2012 Feuille 03 Anneaux 1. Soit A un anneau unitaire. A¯ est l'ensemble sous-jacent à A muni des opérations suivantes : a ? b = a + b + 1 et a b = ab + a + b. Montrer que A¯ est un anneau unitaire isomorphe à A. 2. Montrer que, si un anneau unitaire intègre a un élément non nul idem- potents, c'est-à-dire tel que e2 = e, cet anneau est unitaire d'élément neutre e. 3. Un anneau de Boole est un anneau unitaire dont tous les éléments sont idempotents, c'est-à-dire tels que x2 = x. 1. Montrer que tout élément x vérifie x + x = 0, et qu'un tel anneau est commutatif. 2. Montrer que si A est intègre alors card(A) ≤ 2. 4. Soit A un anneau unitaire de caractéristique 2 tel que x3 = x pour tout x ? A. Montrer que A est commutatif. 5. Soit A un anneau unitaire et a un élément nilpotent de A, c'est-à-dire tel que il existe n ? N? vérifiant an = 0. Montrer que si x ? A est inversible et commute avec a, alors x? a est inversible et donner son inverse.

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
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UniversitÉ Henri PoincarÉ, Nancy 1 lcma2 s3 standard et cpu2 2011–2012
Anneaux
DÉpartement de MathÉmatiques AlgÈbre-ArithmÉtique Feuille 03
¯ 1.SoitAun anneau unitaire.Aest l’ensemble sous-jacent ÀAmuni des ¯ opÉrations suivantes :ab=a+b+ 1etab=ab+a+b. MontrerqueA est un anneau unitaire isomorphe ÀA. 2.Montrer que, si un anneau unitaire intÈgre a un ÉlÉment non nul idem-2 potents, c’est-À-dire tel quee=e, cet anneau est unitaire d’ÉlÉment neutre e. 3.Un anneau de Boole est un anneau unitaire dont tous les ÉlÉments sont 2 idempotents, c’est-À-dire tels quex=x. 1. Montrer que tout ÉlÉmentxvÉrifiex+x= 0, et qu’un tel anneau est commutatif. 2. Montrerque siAest intÈgre alors card(A)2.
3 4.SoitAun anneau unitaire de caractÉristique 2 tel quex=xpour tout xA. MontrerqueAest commutatif. 5.SoitAun anneau unitaire etaun ÉlÉment nilpotent deA, c’est-À-dire tel n que il existenNvÉrifianta= 0. Montrerque sixAest inversible et commute aveca, alorsxaest inversible et donner son inverse. 6.Montrer que2Z/14Zest un corps. 7.Montrer que tout anneau intÈgre admettant un nombre fini d’ÉlÉments est un corps. 8.SoitAun anneau commutatif tel que pour toutxA, il existe un entier n n2tel quex=x. 1. Montrerque0est le seul ÉlÉment nilpotent deA. 2. Montrerque tout ÉlÉment deAengendre un sous-groupe additif fini dont l’ordre n’est divisible par aucun carrÉ sauf 1. 3. Montrer que siAcontient un ÉlÉmentenon diviseur de0, alorsAest unitaire.
9.SoitAun anneau unitaire dont la caractÉristique est diffÉrente de 2 et tel queyx∈ {xy,xy}pour toutx, yA. MontrerqueAest commutatif. √ √ 10.SoitZ[ 2]le sous-ensemble deRconstituÉ des nombres de la formea+b2 avecaZetbZ. MontrerqueZ[ 2]est un sous-anneau deR.
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2 2 11.SoitΣ ={a+b;a, bN}etPl’ensemble des nombres premiers. 2 2 Sip∈ P, on dÉsigne parFple corpsZ/pZ. OnposeFp={x;xFp}et 22F={x;xF}. p p 1. Soitp∈ Ptel quep >2. 2 2 (a) Montrerque1Fpsi et seulement sip1[4], et que1/Fpsi et seulement sip3[4]. 2p+1 2p1 ) =etcard(F= (b) Montrerquecard(Fp2p). 2 2 (c) SoitαF. Montrerx7→αxest une bijection p\Fpque l’application 2∗ ∗2deFsurF\F. p pp 2 (d) Soientuontrer qu , vFp. MeuvFpsi et seulement si, ouu, v22F, ouu, v/F. p p 2. Soiti=1, on noteZ[i] ={a+ib;a, bZ}. Onobtient ainsi un sous-anneau deC, appelÉ l’anneau desentiers de Gauss. 2 2 On poseθ(x) =a+b=xx¯. Alorsθ(xy) =θ(x)θ(y)pourx, yZ[i]. (a) i.DÉterminer le groupeZ[i]des unitÉs deZ[i]. ii. Montrerque l’anneauZ[i]est euclidien pour le stathmeθ. (b) Soitp∈ P. i. MontrerquepΣsi et seulement sipn’est pas irrÉductible dans Z[i]. ii. MontrerquepΣsi et seulement sip= 2oup1[4]. 2En dÉduire que ,pΣsi et seulement si1F. p Q νp(n) (c) SoientnNetn=psa dÉcomposition en facteurs p∈P premiers. Montrer quenΣsi et seulement siνp(n)est pair pour toutp∈ P tel quep3[4]. (d) Montrer que les ÉlÉments irrÉductibles deZ[i]sont les ÉlÉments de l’une ou l’autre des formes suivantes : i.±ip,±p, avecppremiers tel quep3[4]. 2 2 ii.a+ib, aveca, bZaveca+bpremier. 3. DÉterminerdans l’anneauZ[i]la dÉcomposition en facteurs irrÉductibles dex= 69 + 45iet le pgcd dexety= 12 + 18i. 4. DÉcomposercomme somme de deux carrÉs l’entiern= 260. 5. Six=a+ibest un ÉlÉment irrÉductible deZ[i], avecb6= 0. Peut-onavoir xetx¯associÉs? √ √ 2 12.Montrer que l’ensembleZ(2) ={a+ib2; (a, b)Z}est un anneau 2 2 euclidien pour le stathmen(z) =zz¯ =a+ 2b, avecz=a+ib2.
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13.(ThÉorÈme Chinois) SoitASoitun anneau commutatif unitaire.IetJ deux idÉaux deAtels queI+J=A. Montrer que le morphismeϕ:AA/I×A/JdÉfini parϕ(a) = ([a]I,[a]J) est surjectif de noyauIJ, oÙ[a]I(resp.[a]J) est la classe deadansA/I(resp. A/J). n2 mod4 14.DÉterminer les solutionsnZdu systÈme :n3 mod5 n1 mod9 (on pourra utiliser le thÉorÈme chinois). n3 mod6 15.Mme question pour le systÈmen2 mod5 n6 mod7 16.Montrer que l’ensembleM2(Z)des matrices carrÉes2×2À coefficients dansZest un anneau et dÉterminer ses ÉlÉments inversibles. 17.SoitA=Mn(Z)l’anneau des matrices carrÉes d’ordrenÀ coefficients dansZ. 1. Montrerque le sous-ensembleJdeAformÉ par les matrices À coefficients pairs, est un idÉal bilatÈre deA. 2. Montrerque l’anneau quotientA/Jest isomorphe À un anneau de matrices que l’on dÉterminera.
18.SoitEun espace vectoriel etFun sous-espace vectoriel deE. Soit I={fEnd(E); Im(f)F}etJ={fEnd(E);FKer(f)}. Montrer queIest un idÉal À droite principal et queJest un idÉal À gauche principal de l’anneauEnd(E). 19.SoitAun anneau commutatif.On appelleradicalde l’idÉal propreI n l’ensembleI={xA;nN, xI}. 1. MontrerqueIest un idÉal deA. √ √ 2. DansZ, calculer12Zet72Z. √ √√ √ 3. MontrerqueJJ=IJ=IJ. √ √ 20.DÉterminerI+J,IJ,IJ,IetJpour : 1.I= 8ZetJ= 12ZdansZ. 2.I=hX1ietJ=hXidansZ[X]. 2 3.I=hX+ 1ietJ=hX+ 2idansZ[X].
Mise a jour October 16, 2011 http://www.iecn.u-nancy.fr/˜koufany/Alg-Arithm/
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