UNIVERSITE PARIS SUD FACULTE DES SCIENCES D'ORSAY

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UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D'ORSAY MEMOIRE Présenté pour obtenir LE DIPLOME D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L'UNIVERSITE PARIS XI Spécialité : Mathématiques par Laurent Fargues Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d'examen : M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)

  • tour de lubin-tate

  • isomorphisme entre les tours de lubin-tate et de drinfeld

  • invariance par completion formelle de la filtration de monodromie sur les cycles

  • schema formel

  • immeuble de bruhat-tits du groupe

  • espaces de modules locaux

  • m?


Publié le : dimanche 1 novembre 2009
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Source : www-irma.u-strasbg.fr
Nombre de pages : 33
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UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D’ORSAY
MEMOIRE
 Présenté pour obtenir  LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L’UNIVERSITE PARIS XI
Spécialité : Mathématiques par Laurent Fargues
Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques
 Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d’examen :
M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)
´ ´ GEOMETRIE ET COHOMOLOGIE DE CERTAINS ESPACES DE MODULES p-ADIQUES LAURENT FARGUES
` Table des matieres 1.Espacesdemoduleslocaux:ge´n´eralit´es1 2.Re´sultatssurlacohomologiedesespacesdeRapoport-Zinkobtenuspardesm´ethodes globales 3 3. L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld 4 4. Description de l’isomorphisme entre les deux tours au niveau des squelettes et ramification des groupes de Lubin-Tate 9 5.Autodualite´delacohomologiedelatourdeDrinfeldsouslinvolutiondeZelevinsky18 6.Invarianceparcompl´etionformelledelaltrationdemonodromiesurlescycles evanescents 22 ´ 7.FiltrationsdeHarder-Narasimhandessche´masengroupesnisetplatsetapplication aux groupesp-divisibles 23 8. Espaces de Banach-Colmez 27 Articlespr´esent´es31 R´ef´erences31
´ ´ ´ 1.Espaces de modules locaux : generalites Dansmestravauxjemesuisint´eresse´auxespacesdemodulesdegroupesps-´dseineividlbis parRapoportetZink([22]),leurcohomologieetlare´alisationge´ome´triquedecorrespondancesde Langlandslocalesdanscesespacesdecohomologie.Commen¸consparrappelerquelquesde´nitions et notations concernant ces espaces. 1.1..noie´DtinSoitpenlcoˆutF.xinousepremierunnombrbe´glaereuqirQpdeQp. On suppose donn´euntriplet(G, b) o` , u : Gungrestepuode´ritcurusfQp – siL=W(Fp)[p1] etσAut(LnesonFrobenius,)´dsegibest une classe deσ-conjugaison dans G(L) ` :Gm−→Qpulepnuscaris`ocnuaracetcimersteG(Qpnouj)c-norpagsis.`e NotonsEaisondeedocjnguallcsaese´dedspednoitinorecl,uneexte´rgeineoisndedn ˘ deQpdansQp. On noteEmaxisionxtenele´tdelpe´cemoledee´imarnonelamEdansQp. On noteJbleσ-centralisateur debdansG(L). Il s’agit desQpreeuri´eund-poitndsuenofmrietn sous-groupedeLevidelaformeint´erieurequasid´eploy´eedeG´nodaLemaltuenenpregd´ . nnee com mode`leentierGdeG. SoitG(Zp) le sous-groupe compact ouvert deG(Qpesruq.eoLco´iss)aGest nonrami´eGnocefdtosse´reasuppuctir´edG(Zpsapesoppeme´crofiaecp´rssuneOnl.yhep)ntG nonrami´eandinclurelecasdesespacesdeLubin-TateetdeDrinfeld. Sous certaines conditions sur le triplet (G, b, ) Rapoport et Zink on construit dans [22] des espaces de modulespilntntsoisecme´eulP.´rpsida-seuquitrnscot: Date: 4 mars 2009. 1
2G´eom´etrieetcohomologiedecertainsespacesdemodulesp-adiques c Unsche´maformelMlocalement formellement de type fini sur Spf(OE˘) muni d’une action ˘ continue deJbeetdcenteddoensn´ueendeMcMc(σ)deEa`E. ˘ ˘ – Une tourJb×G(Qpinumetnairaviuqe-´)eseectndenn´eedededunedoE`aEdeE-espaces analytiques au sens de Berkovich (MK)K ou`Kparcourt les sous-groupes ouverts deG(Zp) et telle que c Man=MG(Zp) c c ou`Mane´neuqireded´esignelabreg´Mau sens des espaces analytiques de Berkovich. Rappelonsrapidementlad´enitiondecesespacesdanslecasleplussimple.Soientn, ddeux n. Soient nombres entiers tels quen1 et 0dG= GLnQp,G= GLnZp, (z) = diag(z,    , z,1,    ,1) { } dfois etbGLn(L) tel que l’isocristal (Ln, bσ) soit l’isocristal covariant d’un groupep-divisible de dimensiondet hauteurnsurFp. SoitHun groupep-divisible surFpmuni d’un isomorphisme (D(H)[p1], ϕ)(Ln, bσ) qui induit une identification Jb= End(H)×Qc On aE=QporaflmescLeemh´.Mest alors tel que siSest unW(Fp-sch)lqeeuuslre´ampest localement nilpotent c M(S) ={(H, ρ)}ou`Hest un groupep-divisible surSet ρ:H×Spec(Fp)S−→H×SS estunequasi-isoge´niedegroupesp-divisibles,Stioneduclomodusegi´dal´rantnpdeS. L’action de c c JbsurMse fait viaρet l’action deJb sur ´ i spar quasi-isoH. SurManlacoleme`tsysnaulyi gen e e´talep-adique de rangnedaTudelal´detedmatieforiveronuneL.elleseteˆverssntmeelomperano´nd c (MK)KGLn(Zp)deMano-emononsdostnboetnuspartrivialisanoitrapsleitdselarelr´epenestita dromieassocie´e(enlaforc¸ant`avivredanslesous-groupeKecis´eme.Pluspr´)tns,iKGLn(Zp) c est un sous-groupe ouvert alorsMKsuleta´ereletneseuaecsiafr´rpeMan Isom(pkZZ)n, Huniv[pk]anK ou`k +0 est tel que IdpkMn(Zp)KetHuniv´edisnglegeorpuepivisibleassoci´ela`da-c de´formationuniversellesurM. 1.2.Cohomologie.Soitre´edentieemirderrponbmnup. On noteWEle groupe de Weil deE. Lobjetprincipalauqueljemesuisint´eress´eestlesuivant.PourKoe´xgernmohogilodearcolae ´etaleapeine´deuqellevikoerrBmidilarVuq`ea-idacttcompportasupch Hc(MKˆCp,Q)Celle-ci est une munie d’une action deJb×WEnde`oaluoitcJt lisse de type fini (je renvoie ` bes a math`ese[F2]pourlesproprie´te´sdebasedecesrepr´esentationsquisontde´duitesdediversr´esultat deBerkovichpourlage´ome´trieetdeBernsteinpourlathe´oriedesrepresentations). ´ Bienquelarepre´sentationdeJb,epr´ec´edentHc(MKˆCp,Q), soit de type fini elle n’est pas enge´n´eraldelongueurniei.e.nestpasadmissible. AndeconstruiredescorrespondancesdeLanglandsjairegarde´laconstructionsuivante.Soit πledeunatnenoitperese´rdu´eibctsslirreiJb`aciencoesnstadQsoneris´dC.no lim ExtJHc(MK, π−→bˆCp,Q) K
Laurent Fargues 3 Cestunerepr´esentationdeG(Qp)×WEedsnoitatnese´rpemmerlecossibadmisiesseltqiuG(Qp) etve´rieunepropri´et´edecontinuite´commerepr´esentationdeWE(cf. [F2]). On peut alors re-garderlasommealtern´eedetellesrepr´esentationsdansungroupedeGrothendieckconvenablede repre´sentationsdeG(Qp)×Jb.Celad´enopserrocenutinencda Irr(Jb)−→Groth(G(Qp)×WE) π7X(1)i+jhlim ExtiJbHcj(MKˆCp,Q), πi−→ ijK Onveutreliercettecorrespondances`adescorrespondancesdeLanglandslocalesdutypeJacquet-Langlandspourlacorrespondanceentrerepre´sentationsdeJbet deG(Qp) (rappelons queJb est le groupe desQpuneformepointsd-depeviLes-ouougrderusnu´tnieiredeG) et correspon-dancedeLanglandslocale([16],[17])pourlacorrespondanceentrerepr´esentationsdeJbet deWE. Pour Λ∈ {ZℓkZ,Q,Q}epnoe´tuurine´dtnemelagomohecedexplomncqeiuss´eeiillogoantvari RΓc(MˆCp,Λ)DbΛ[G(Qp)×Jb×WEdisc]lacate´goriede´riv´eedescomplexesdeΛ-modulesmunisduneactiondeG(Qp)×Jb×WEqui est lisseentantquerepre´sentationdeG(Qp)×JbaL.ohocolomdeigececomplexeestlaerrpe´estntaoin limHc(MKˆCp,Λ)−→ K Laconstruction,asseztechnique,estexpliqu´eedanslechapitreIVde[F4]oubiendans[10]. 2.R´eatsssultocohrualigdeomolRedspopaseseecapteobspnut-ornkZiraeds ´ methodes globales Dansmath`ese([F2])jaid´ontr´eleth´eor`emesuivantparcomparaisondelacohomologie em desespacesdeRapoport-Zinkaveclacohomologiedecertainesvarie´t´esdeShimuradetypePEL unitaires. The´or`eme1([F2]).Supposons queG= ResF QpGLnavecF|Qpmi´eeetnonrabsoit une classe deσassostalocridisidertsa`c,eqieuequuspldenssopopuS.enilcosie´icsoaiasnbco-ugnj soitJb=D×avecDronsuneuerbe`glaisivida`F, soitJb=G(Qp). Notons JL : Irr(Jb)−→Irr(G(Qp)) la correspondance de Jacquet-Langlands. SoitLGle L-groupe surQdeG. Notons σ: Cusp(G(Qp)){L-homomorphismes :WQp−→LG}la correspondance de Langlands locale ([16],[17]r)sertrepr´eseeinteauxel.sipadionsntatrcussupe Soitrealse´eprrendioatntLGEoca`stneicedansQaassoci´ee`. Soitπnurepe´renestitaon irre´ductibledeJbtelle queJL(π)depeougrlensdae´tilage´enusrollyaale.Ipidarcususeposti GrothendieckGroth(G(Qp)×WE) X(1)i+dimMhlim HomJbHic(MKˆCp,Q), πicusp= [JL(π)][rσ(π)|WEd(]im2M)iK Dansleth´eore`mepre´c´edent,larestrictionconcernantlaformeinte´rieuredeG,cera`idetsJb estsoitcompactmodulolecentresoit´egalea`G(Qplerteˆrinadee´veesl,)edrviatmaintenantpouvo the´ore`mepr´ece´dent.Eneet,lesseulesraisonsdˆetredecettehypothe`seproviennentdelutilisa-tion de formules des traces en analyse harmonique et de l’utilisation de l’existence de type au sens deBushnellKutzkopourlesrepr´esentationspre´ce´dentes,lapartieg´eom´etriqueneposantaucun probl`emelorsquonsupposequelaformeint´erieuredeGest quelconque. De nombreux progres ` o´te´faitdepuisconcernantlacorrespondancedeJacquet-Langlands,laformuledestraceset n e lexistencedetypepourlesrepr´esentationsdesgroupesclassiques(cf.[3]parexemple). Dans[F2]jaie´galementde´montr´eleth´eor`emesuivant.
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