V Dérivée et monotonie

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V – Dérivée et monotonie PROBLÈME ANALYTICO-ÉLECTRIQUE ---------------------------------------- 2 ZÉROS DE LA DÉRIVÉE --------------------------------------------------------- 3 ÉTUDE DE MONOTONIE -------------------------------------------------------- 9 LA RÉFRACTION FAIT RÉFLÉCHIR LEIBNIZ--------------------------------- 11 DÉRIVÉE POSITIVE ET DÉCROISSANTE --------------------------------------14 MONOTONE À EN PRENDRE LA TANGENTE----------------------------------16

  • points de ? d'abscisses respectives

  • monotonie zéros de la dérivée

  • problème analytico

  • dérivée

  • conditions de stricte monotonie

  • objectif rechercher des conditions


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : mathematiques.ac-bordeaux.fr
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V – Dérivée et monotonie
   P ROBLÈME ANALYTICO -ÉLECTRIQUE --------------------------------------- - 2 Z ÉROS DE LA DÉRIVÉE ------------------------------------------------------- -- 3 É TUDE DE MONOTONIE ----------------------------------------------------- --- 9 L A RÉFRACTION FAIT RÉFLÉCHIR L EIBNIZ --------------------------------- 11 D ÉRIVÉE POSITIVE ET DÉCROISSANTE -------------------------------------- 14 M ONOTONE À EN PRENDRE LA TANGENTE ---------------------------------- 16       
 
P ROBLÈME ANALYTICO -ÉLECTRIQUE  
Montrer l’utilité de l’Analyse pour résoudre un problème de physique.  Lien entre signe de la dérivée et monotonie.  
   Objectif Outils   On monte en série un générateur de tension, de force électr E omd o tnrincé e  , aveucn  conducteur ohmique de résista R n. ceO n note r  la résistance du montage autre R  que (résistance interne du générateur, augmdeen tcé e lle des fils de branchement, etc.).  Soit Q  la chaleur fournie par effet Joule par ce condupcetenudra ntl e temps t  et P  la uissance  p dégagée. O Q n  a= P t . a uissa  Quelle doit être la valeur derélsaistance R  pour que l p nce (et donc la chaleur) dégagée soit maximale ?    Référence : Cours élémentaeir de Matéhmatiques supérieures,  Tome2,Fonctions, p. 89, .J Quinet, éd. Dunod.     1. Exprimer P à l’aide de R et I, I est l’intensité du courant dans le circuit. Justifier que = E .  r + R En déduire l’expression de P en fonction de E , r et R .  2. Soit f la fonction définie sur [  0 ; +   [ par f ( x ) =( +xr ) 2  , r étant un réel strictement positif donné. Étudier les variations de f sur [ 0 ; +  [.  3. a. Trouver une relation entre P et f ( R ). b. Déduire de l’étude précédente la valeur de R cherchée.  4. Complément. a. Déterminer lim ( x )  x →+∞ b. Quelle interprétation physique en déduit-on pour l’effet Joule fourni par le conducteur ?  
V – Dérivée et monotonie Problème analytico-électrique
 
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Z ÉROS DE LA DÉRIVÉE  
 
   Objectif Rechercher des conditions pour une monotonie stricte.  ivé. Outils Nombre dér     À quelles conditions une foncti f o,ndérivable sur un interva I l , l e st-elle strictement monotone sur cet intervalle ?         A. Conditions de monotonie sur un intervalle pour une fonction dérivable Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout x 0 de I on a : f '( x 0 ) = lim ( x ) f ( x 0 ) . x x 0 x x 0  1. Supposons que f soit constante sur I . Alors, pour tout x de I , avec x x 0 , on a : f ( x ) f ( x 0 ) = 0  et donc f '( x 0 ) = 0 . x x 0 Supposons que f soit croissante sur I . − − Alors, pour x I x x f ( x ) f ( x 0 ) 0 c lim f ( x ) f ( x 0 ) 0 d'où f '( x ) 0 tout de , avec 0 , on a : x x 0 et don x x 0 x x 0 0   2. Réfléchissons aux réciproques à l'aide d'un graphique. Supposons que f  soit telle que, pour tout réel x  de I , on ait :  f ’ ( x )  0.  Notons Γ  sa courbe représentative dans un repère. Supposons que f ne soit pas croissante sur I . Il existe donc deux réels a et b de I tels que a  <  b et  f ( a ) >  f ( b ). Soit A et B les points de Γ d'abscisses respectives a et b . On a donc y A  >  y B . Parait-il possible de tracer entre A  et B  la courbe représentative d'une fonction f  vérifiant ces hypothèses ?
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Zéros de la dérivée
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  A  y A  y B  B   j  x a  O  i b    
NON  
 
y  
 1 O
 1
x  
OUI  (1a) (1b) (1c)
   y  Nous admettrons la réciproque. Nous avons donc le théorème suivant : T HÉORÈME 1 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .  f est constante sur I si et seulement si, pour tout réel x de I , on  f ’ ( x ) =  0 .    f est croissante sur I si et seulement si, pour tout réel x de I , on  f ’ ( x )  0 .   f est décroissante sur I si et seulement si, pour tout réel x de I , on  f ’ ( x )  0 .  B. Conditions de stricte monotonie sur un intervalle pour une fonction dérivable  1. Recherche de conditions suffisantes : combien de zéros pour la dérivée ?  Exemple 1. Aucun zéro. Soit f 1 la fonction définie sur IR par f 1 ( x ) =  x 3  +  x .  f 1 est la somme des fonctions x  6  x et x  6  x 3 strictement croissantes sur R   f 1 est donc strictement croissante sur R .   f 1 étant une fonction polynôme est dérivable sur R . Pour tout réel x : f 1 '( x ) = 3 2  +  1  x . Donc f 1 '( x ) > 0 pour tout réel x .  Exemple 2. Un zéro. Soit f 2 la fonction définie sur R par f 2 ( x ) = ( 1   x ) 3 f 2 est la composée de la fonction x  6  1   x  par la fonction x  6  x 3 .
V – Dérivée et monotonie Zéros de la dérivée
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xx 66 1 x 3  x e s te sstt risctrtiectmeemnet nctr odiéscsraonitses asnutr e R sur R donc f 2 est strictement décroissante sur R .  xx 66 1 x 3  x  e  set sdt é rdiévraivblaeb lseu rs u R r R donc f 2 est dérivable sur R et pour tout réel on a : f 2 ' ( x ) = − 3(1 x ) 2 . ' f 2 ( x ) =  0  si et seulement si x  =  1  et, pour tout réel x différent de 1,   f 2 '( x ) >  0 .  Exemple 3. Deux zéros. Soit f 3 la fonction définie sur R par f 3 ( x ) =  cos ( x ).  la fonction cosinus est strictement décroissante sur [ 0 ; π ] (résultat du cours) ;  la fonction cosinus est dérivable sur [ 0 ; π ] (résultat du cours). Pour tout réel x de [ 0 ; π ] on a f 3 '( x ) =  sin ( x ). f 3 '( x ) =  0 si et seulement si x =  0 ou x  =  π  et pour tout réel x de ] 0 ; π [ on a : f 3 '( x ) <  0 .  f étant une fonction dérivable sur un intervalle I , montrons que la condition (C) : « f '  >  0 sauf en un nombre fini de réels x de I pour lesquels f ’ ( x ) =  0 »   est une condition suffisante pour que f soit strictement croissante sur I .  Démonstration Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et vérifiant la condition (C).  Pour tout réel x de I on a f ’ ( x )  0 , donc, d'après le théorème (1b), f est croissante sur I .  Supposons que f ne soit pas strictement croissante sur I. Alors il existe deux réels a et b de I , avec a <  b , vérifiant f ( a ) =  f ( b ). Comme f est croissante sur I , pour tout réel c de [ a ; b ] on a : f ( a )  f ( c )  f ( b ). On en déduit donc que, pour tout réel c de [ a ; b ], on a :  f ( a ) =  f ( c ) =  f ( b ) ; f est donc constante sur [ a ; b ], et donc, d'après le théorème 1 (1a), pour tout réel x de [ a ; b ], on a :  f ’ ( x ) =  0 . f ' s'annule donc pour une infinité de valeurs, ce qui contredit l'hypothèse. Donc f est strictement croissante sur I .  Ainsi nous avons le théorème : T HÉORÈMES  Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .  Si f ’ est strictement positive sur I , sauf en un nombre fini de réels x de I pour lesquels f ’ ( x ) =  0 , alors f  est strictement croissante sur I . (2a)  Si f ’ est strictement négative sur I , sauf en un nombre fini de réels x de I pour lesquels f ’ ( x ) =  0 , alors  f est strictement décroissante sur I . (2b)  
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Zéros de la dérivée
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2. Recherche de conditions nécessaires : quel ensemble de zéros pour la dérivée ?  Exemple 4. Une infinité de zéros. Soit f 4 la fonction définie sur R  par f 4 ( x ) =  x   sin ( x ).      f 4  est dérivable sur R comme 8 π somme de fonctions dérivables sur R , et pour tout 6 π réel x  : f 4 '( x ) =  1   cos ( x ), donc pour tout réel x : f 4 '( x )  0 . 4 π   2 π  O   f 4 '( x ) =  0  si et seulement si il 4 π2 π 2 π 4 π 6 π  8 π  existe un entier relatif k tel que x  =  2 k π ; f 4 ' s'annule donc pour une infinité de réels.       Pourtant f 4 est strictement croissante sur R ; en effet : – pour tout entier naturel non nul k , f 4 ' s'annule pour un nombre fini de réels de [ 2 k π ; 2 k π ], donc, d'après le théorème 2, f 4 est strictement croissante sur [ 2 k π ; 2 k π ] ; – soit deux réels a et b tels que a  <  b , il existe un entier naturel non nul k tel que [ a ; b ] [ 2 k π ; 2 k π ]. f étant strictement croissante sur [ 2 k π ; 2 k π ] on a :  f ( a ) <  f ( b ). Donc f 4 est strictement croissante sur R . La condition (C) n'est donc pas nécessaire !  
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Zéros de la dérivée
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1  O
 1
x  
Exemple 5. Une infinité de zéros.  f 5 ( x ) x 2 1 pour x - ; 0 ;   f 5 ( x ) === ( x 1) 2 1  pour x ]1 ; +∞[ . Soit f 5 la fonction définie sur R par  f 5 ( x ) 1 pour x ] 0 ; 1 ]  ;                 y    f 5 est dérivable sur R et, pour tout réel x , on a f 5 '( x ) 0 donc, d'après le théorème (1b), on en déduit que f 5  est croissante sur R .   x   Cependant f 5  est constante sur ] 0 ; 1 [ et donc f 5  n'est pas strictement croissante sur R .          f étant une fonction dérivable sur un intervalle I , montrons que la condition (C') : « pour tout réel x de I  on a :  f ’ ( x )  0  et l'ensemble des réels x  de I  pour lesquels  f ’ ( x ) =  0  ne contient pas d'intervalle ouvert non vide » est une condition nécessaire et suffisante pour que f soit strictement croissante sur I .  Démonstration 1. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et vérifiant la condition (C').  Pour tout réel x de I  on a :  f ’ ( x )  0 , donc, d'après le théorème 1, f est croissante sur I .  Supposons que f ne soit pas strictement croissante sur I. Alors il existe deux réels a et b de I , avec a  <  b , vérifiant  f ( a ) =  f ( b ). Comme f est croissante sur I , pour tout réel c de [ a ; b ] on a :  f ( a )  f ( c )  f ( b ). On en déduit donc que, pour tout réel c de [ a ; b ], on a :  f ( a ) =  f ( c ) =  f ( b ) ; f est donc constante sur [ a ; b ], et donc, d'après le théorème 1, pour tout réel x de [ a ; b ], on a :  f ’ ( x ) =  0 . Donc l'ensemble des réels x pour lesquels  f ’ ( x ) =  0 contient un intervalle ouvert non vide, ce qui contredit l'hypothèse. Donc f est strictement croissante sur I .  2. Soit f une fonction dérivable et strictement croissante sur un intervalle I .  D'après le théorème 1, pour tout x de I , on a  f ’ ( x )  0 .
y
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 Supposons que l'ensemble des réels x de I pour lesquels  f ’ ( x ) =  0 contienne un intervalle ouvert ] a ; b [ non vide, alors, d'après le théorème 1, f  est constante sur ] a ; b [ et donc f  n'est pas strictement croissante sur I , ce qui contredit l'hypothèse.  Ainsi nous avons le théorème T HÉORÈME 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .  f  est strictement croissante sur I si et seulement si, pour tout réel x de I,   f ’ ( x )  0 et si l'ensemble des réels x de I pour lesquels  f ’ ( x ) =  0 ne contient pas d'intervalle ouvert non vide.  f est strictement décroissante sur I si et seulement si, pour tout réel x de I,   f ’ ( x )  0 et si l'ensemble des réels x de I pour lesquels  f ’ ( x ) =  0 ne contient pas d'intervalle ouvert non vide.  C. Exercice d'application Soit f la fonction définie sur ] 0 ; 1 ] par : f ( x ) = 1 2 i1 1 2  .   s n x 1. Montrer que f  est dérivable sur ] 0 ; 1 ] et que, pour tout réel x  de ] 0 ; 1 ], on a : 2 1 3 1 cos 2 f ' ( x ) =x 2 2 x 2 . 1sin 1 x x  2. a. Résoudre dans Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. l'équation :  f ’ ( x ) =  0 . b. Soit E l'ensemble des réel de la forme 1 , avec k entier naturel non nul. 2 k π Montrer, par l'absurde, que E ne contient aucun intervalle ouvert non vide.  Aide : si 1 ; 1  alor 1 ' 1 0 ... 2( k + 1) π 2 k πE s (2 k + 1) π E ; or f (2 k + 1) π 3. Conclure.  
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Zéros de la dérivée
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É TUDE DE MONOTONIE  
   Objectif Étudier le sens de variation d’une fonction avec ou sans la dérivée.  Outils Théorèmes sur les fonctions monotones (somme, produit, composée, parité). Théorème sur le sens de variation à partir du signe de la dérivée.    Pour étudier les variations dune fonctior n usn uintervalle, on peuatu ssi utiliser les résultats sur : • les inégalités ;  • la composée de deux fonctions monotones ;  • la somme de deux fonctions de même monotonie ;    • le produit de deux fo tions positives de même monotonie ; nc   les variations dune fonction paire oup aiirme sur tout son enmble de défini D tion se  à partir de la monotonie de cette fonctio D n  s  u[r 0 ; +  [ ;  • le signe de la dérivée quand elle existe.   Quel est, dans chaque cas, la méthode la plus appropriée ?       Exercice 1 Choisir la méthode qui semble la plus appropriée pour établir le sens de variation de la fonction f  1 + 2 définie sur ]  1 ; 0  ]   par f ( x ) = 3 . 1 +  Exercice 2 = Même question pour la fonction g définie sur ] 0 ; +  [ par g ( x ) 3 11  x + 1 + 2 11 x + 1 + 1
 
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Étude de monotonie
 
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Exercice 3 On suppose connue la fonction partie entière, notée : x  6  E ( x ). Cette fonction est croissante sur R . En déduire le sens de variation sur ] 0 ; +  [ de h 1 : x 6 E x 1 , et, sur [ 0 ; + ∞ [, de h 2 : x 6 E( x )1 2 + 1  On esquissera la courbe représentative de h 1 sur ] 0 ; 2 [, et celle de h 2 sur [ 0 ; 5 [.  Exercice 4 Soit la fonction f de la variable réelle définie par f ( x ) = x 2 + 9 x 2 + 4 . x ) : 5 , on étudiera le sens de variation Après avoir justifié l’écriture suivante de f ( f ( x ) = x 2 + 9 + x 2 + 4 de f sur [ 0 ; +  [ par les deux méthodes : – étude du signe de la dérivée – utilisation des résultats cités en introduction.  Exercice 5 Soit f la fonction définie par r ( x ) = 1 x 4 . 1. r n’est pas dérivable en 1 . a. Démontrer, grâce à l’étude du signe de la dérivée, que r est décroissante sur [ 0 ; 1 [. b. Établir le sens de variation de r sur [ 0 ; 1 ].  2. Établir le sens de variation de r sur [ 0 ; 1 ] sans utiliser la dérivée.  3. Comparer les deux méthodes.  4. En utilisant la parité de r , déduire les variations de r sur l’intervalle [ 1 ; 1 ].  
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