Variables aléatoires continues

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Variables aléatoires continues Samy Tindel Nancy-Université ESIAL - Module MAP Samy T. (IECN) ESIAL - V.a. continues Module MAP 1 / 51

  • continues module

  • espace de probabilité

  • moments des variables aléatoires

  • correspondance avec le monde réel

  • variable aléatoire

  • continues usuelles


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 60
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 51
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SamyT.(IECN
Variables
)
aléatoires continues
Samy Tindel
Nancy-Université
ESIAL - Module MAP
SEAIL-.V.aoctninuesoMduleAMP1/15
aS.TymoctnnieuMsdoluMe(IECN)ESIAL-V.a.
Définitions
1
Limites de v.a
6
Plan
512/AP
5
Dépendance linéaire
4
Vecteurs aléatoires continus
3
Moments des variables aléatoires
Variables aléatoires continues usuelles
2
L-IAESN)ntcoa.V.doMseuni/3PAMeluaSI(CEym.T51
Plan
Variables aléatoires continues usuelles
2
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires continus
5
Dépendance linéaire
6
Limites de v.a
1
Définitions
Variable aléatoire
Dénition SoitAP)un espace de probabilités. Soit E un espace vectoriel (R,Rd). Une application X: ΩE se nommevariable aléatoire.
Remarque: Ici encore, pour tre rigoureux, il faudrait introduire la notion de mesurabilité. Remarque:Une variable aléatoire discrète est aussi une variable aléatoire!
Samy.TI(CE)NSEAIL-.Va.continuesoMduleAMP4/15
TymaSudelseoMitunc.no-V.aSIALCN)E.(IE5PAM15/
Type d’information d’intért: pourAE, calcul deP({ω;X(ω)A})
Correspondance avec le monde réel: Ω =espace des expériences possibles X=résultat ou résumé de l’expérience
Définition:PXest une probabilité surE. On la nommemesure image. On a souvent accès à(EPX)au lieu deP)
Mesure image
P({ω;X(ω)A})=PX(A)=P(X
A)
Abus de notation:on note
Loi d une v.a.
Dénition Soit X: Ω v.a.E une L’ mble ense
{P(XA);AE}
se nommeloi de probabilité de X
Problème:la famille{P(XA);AE}est trop vaste pour pouvoir la décrire de manière satisfaisante.
aSmy.T(IECN)SEIAL-V.a.continuesModuleMAP6/15
Fonction de répartition
Dénition Soit X: ΩRune v.a réelle. La fonction de répartition FX définie par estde X
FX(x) =PX(]− ∞x]) =P(Xx)
Exemple:SoitX∼ P(λ). On posepj=eλλjj!etqk=Pjk=0pj. Alors X
SamyT.(IECN)
FX(x) =Xqk1[k,k+1[(x)k0
SEIAL-.V.acontinuesModuleMAP7/51
Propriétés de la fonction de répartition
Théorème Soit FXla f.r d’une v.a réelle X Alors . (1)FXest croissante. (2)limx→−∞FX(x) =0etlimx→∞FX(x) =1 (3)FXest continue à droite et admet une limite à gauche en tout point xR.
aSymT.(IECN)ESIAL-V.a.octnnieusoMudelAMP8/51
Fonction de répartition et loi de v.a
Théorème Soit X une v.a réelle. Alors la loi de X est déterminée par
{FX(x);xR}
Pseudo-démonstration:Les ensemblesAmesurables peuvent se décomposer comme
Samy.T(IECN)
A=ijAijavecAij=]− ∞xij]
SEIAL-V.a.continuesoMudelAMP9/51
V.a discrètes et continues
Dénition Soit FX Alors .la f.r d’une v.a réelle X (1)Si FXest constante par morceaux, on dit que X est discrète. (2)Si FX continueest continue, on dit que X est (3)Cas particulier important:si FXpeut s’écrire FX(ZxX(ξ)dξ x) =f −∞
avec fXpositive, on dit que La loi de X est absolument continue. fX ). (ou de la loi de Xest la densité de X
aSymT.(IECN)ESIAL-V.a.octnnieusoMduleMAP10/51
Loi d’une v.a. à densité
Proposition Soit X: ΩRv.a. de densité fX. Soit AR. Alors
P(XA) =ZAfX(ξ)dξ
Remarques: (1)En particulier, la densité caractérise une loi. (2)Certaines variables aléatoires sont continues sans densité ,Exemple typique: loiU(C), oùC=ensemble de Cantor. (3)Une fonctionf:RRdéfinit une densité si ,f0 etRRf(x)dx=1.
SamyT.(IECN)ESIAL-.V.aoctnnieusoMduleMAP11/15
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