Variables aléatoires discrètes

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Variables aléatoires discrètes Samy Tindel Nancy-Université ESIAL - Module MAP Samy T. (IECN) ESIAL - V.a. discrètes Module MAP 1 / 56

  • moments des variables aléatoires

  • dépendance linéaire

  • discrètes module

  • nancy-université

  • genre de question


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 47
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 56
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SamyT.(IECN)
Variables aléatoires
Samy Tindel
Nancy-Université
discrètes
ESIAL - Module MAP
SEAIL-.V.aidcsrètesoMduleAMP1/65
aS.TymidcsèretMsdoluMe(IECN)ESIAL-V.a.
Définitions
1
Dépendance linéaire
6
Plan
562/AP
5
Indépendance
4
Vecteurs aléatoires discrets
3
Moments des variables aléatoires
Variables aléatoires discrètes usuelles
2
L-IAESN)scdia.V.doMsetèr/3PAMeluaSI(CEym.T56
Plan
Variables aléatoires discrètes usuelles
2
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires discrets
5
Indépendance
6
Dépendance linéaire
1
Définitions
Introduction
Expérience:lancer de 3 pièces non biaisées.
Modélisation:Ω ={pf}3,P({ω}) =18 Résultat de l’expérience:on s’intéresse à la quantité X(ω) ="Nombre de face obtenu quandωest réalisée On obtient
aSym.TI(CE)N
ω (ppp) (ppf) (pfp) (pff)
X(ω)ωX(ω) 0(fpp)1 1(fpf)2 1(ffp)2 2(fff)3
SEAIL-.V.aidcsèretsoMudelAMP4/65
is.d.a-VMoesètcrEI(.TymaLAISE)NC
On a alors
X: Ω→ {0123}
X1({2}) ={(pff)(fpf)(ffp)}
AM5Pudel
et
Introduction (2)
Type d’information d’intért: On s’intéresse souvent àXcomme application, i.e.
PX1({2})=38On essaiera de formaliser ce genre de question.
5/6S
Variable aléatoire discrète
Dénition SoitAP)un espace de probabilités. Soit E un ensembledénombrable(N,Nd,Z,Zd,Q,Qd). Une application X: ΩE se nommevariable aléatoire discrète.
Remarque: Ici encore, pour tre rigoureux, il faudrait introduire la notion de mesurabilité. Exemple:nombre de face sur 3 lancers de pièce ,Ω ={pf}3etE={0123}.
SamyT.(IECN)ESIAL-V.a.discrètesModuleMAP6/56
Mesure image
Type d’information d’intért: pourxE, calcul deP({ω;X(ω) =x})
Abus de notation:on note
P({ω;X(ω) =x})=PX({x})=P(X=x)
Définition:PXest une probabilité surE. On la nommemesure image. On a souvent accès à(EPX)au lieu deP)
Correspondance avec le monde réel: Ω =espace des expériences possibles X=résultat ou résumé de l’expérience
aSymT.(IECN)ESIAL-V.a.idcsèretsoMudleMAP7/56
Loi d une v.a. discrète
Dénition Soit X: Ω discrète.E une v.a. On suppose que E={xi;i1}. L ensemble
{P(X=xi);i1}
se nommeloi de probabilités de X
aSmyT.I(ECN)SEAIL-.Va.idscrètesModuleAMP8/56
cris.d.a-VALSI)E5/9PAMeludoMsetè
1 P(X=3) = 8
ωX(ω)ωX(ω) (ppp)0(fpp)1 (ppf)1(fpf)2 (pfp)1(ffp)2 (pff)2(fff)3
Loi deX:
P(X=0) =18
Remarque:on aPi3=0P(X=i) =1
P(X=1) =38P(X=2) =83
6
Exemple
Exemple:nombre de face sur 3 lancers de pièce ,Ω ={pf}3etE={0123}.
Ty(.EINCSma
seoMudelAM1P/065
Plan
Variables aléatoires discrètes usuelles
2
3
Moments des variables aléatoires
4
Vecteurs aléatoires discrets
5
Indépendance
6
Dépendance linéaire
1
Définitions
STymaEI(.E)NCALSI.a-Vis.dètcr
Notation:B(p)pourp]01[
Loi:
P(X=0) =1p
Utilisation: (i)Succès dans un jeu binaire Exemple 1: pile/face.X=1 si pile,X=0 sinonX∼ B(12) Exemple 2: jeu de dé.X=1 si résultat=3,X=0 sinon X∼ B(16) (ii)Réponse oui/non dans un sondage Exemple:X=1 si une personne approuve la réforme des retraites, X=0 sinonX∼ B(p), avecpinconnu
P(X=1) =p
11/56
Loi de Bernoulli
Ensemble des valeurs:E={01}
oduleMAPèrcsMset.V-Lid.aN)ECIAESmySa(IT.
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