VARIATION DE LA SUITE LA FONCTION

De
Publié par

VI – Suites VARIATION : DE LA SUITE À LA FONCTION ----------------------------------- 2 VARIATION : DE LA FONCTION À LA SUITE ----------------------------------- 4 LA PARABOLE CARRÉE--------------------------------------------------------- 6 ÉVOLUTION DE LA NOTION DE LIMITE D'UNE SUITE -----------------------10 ÉQUATION F(X) = X ----------------------------------------------------------14 AU CŒUR DE LA TOILE --------------------------------------------------------16 L'ÉCONOMIE DU SCOUBIDOU ----------------------------------------------- 20 C'EST AU DÉBUT QUE TOUT SE JOUE ----------------------------------------23

  • véracité des réciproques

  • repère orthonormal

  • outils raisonnement par récurrence

  • u1 ?

  • cœur de la toile

  • relation de récurrence

  • parabole carrée

  • réciproque du théorème


Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 57
Source : mathematiques.ac-bordeaux.fr
Nombre de pages : 24
Voir plus Voir moins
VI – Suites 
   VARIATION:DE LA SUITE À LA FONCTION---------------------------------- - 2 VARIATION:DE LA FONCTION À LA SUITE---------------------------------- - 4 LA PARABOLE CARRÉE------------------------------------------------------- -- 6 ÉVOLUTION DE LA NOTION DE LIMITE DUNE SUITE-----------------------1 0 ÉQUATION F(X) =X-------------------------------------------------------- -- 14 AU CŒUR DE LA TOILE------------------------------------------------------ -- 16 L’ÉCONOMIE DU SCOUBIDOU----------------------------------------------- 20 C'EST AU DÉBUT QUE TOUT SE JOUE---------------------------------------- 23       
 
VARIATION:DE LA SUITE À LA FONCTION 
Proposer des contre-exemples montrant que les réciproques des théorèmes = permettant de déduire le sens de variation d’une suiteunf(n) partir du à sens de variation defsont fausses.  Suites  
On a déjà justifié les trois théorèmes suivants : Soitf fonction définie s uneRur+. (1) si  fest constante suRr+ alors la suitue, définiesurNparun = f(n), estconstante.  (2) si  fest croissante sRur+ alors la suitue, définie surN parun = f(n), est croissante ; (3) si f décroissante su estRr+ la suite alorsu sur, définieN parun = f(n), est décroissante ; Lobjectif de cette activité dees t réfléchri sur la véracité des réciproques de ces théorèmes.
   Objectif Outils            A. Contre-exemple à la réciproque du théorème 1 1. Soit la suite (un), définie, surN, parun = sin(πn). Calculerun. Que peut-on en conclure ?  2. En utilisant le théorème dit « de la variation de la composée », étudier sur [0 ; 2] les variations de la fonctionfdéfinie parf(x)= sin(πx). Prouver quefest périodique.  3. La réciproque du théorème (1) est-elle vraie ?  B. Contre-exemples à la réciproque des théorèmes 2 et 3 Exemple 1 1. Étudier le sens de variation de la suite (un), définie, surN, paru=n2n2. n  2. Étudier sur [0;+∞[ les variations de la fonctionfdéfinie parf(x)= x 2x2.  3. La réciproque du théorème (3) est-elle vraie ?  
VI – Suites
Variation : de la suite à la fonction
 
2
 
Exemple 2 On propose maintenant un contre-exemple plus « fort » pour lequel la suite (un) est strictement monotone, bien que la fonction associée ne soit monotone sur aucun intervalle de la forme [a;+ [, a  R.  1. Soit la suite (un), définie, surN, parun = n cos(2πn). Écrire plus simplementun. Quelle est le sens de variation de cette suite ?  2.fla fonction définie, pour tout réel positifest x, par :f(x)= x cos(2πx) . Tracer la courbe représentative defsur la calculatrice. Soitn  N. Calculerf(n),fn+12,f(n+1). En déduire quefn’est monotone sur aucun des intervalles de la forme [a;+ [  
VI – Suites
Variation : de la suite à la fonction
3
 
VARIATION:DE LA FONCTION À LA SUITE 
Étudier l’influence du sens de variation de f sur celui de la suite u définie par son premier terme et la relation de récurrence un+1= f(un).  Raisonnement par récurrence.  
 
   Objectif Outils    ftnu é atnotcenf monoion surtone un intervalleI  eelqu, see  lstriation ns de vati eedl  aus udéfinie par son premier terme et la relation de récuurnr+e1 =ncf e(u n) ?        A. Un exemple avec une fonction croissante 1. Étudier le sens de variation de la fonctionfdéfinie sur [12;+∞[ par(x)=12+ x. Pourx [12 ; 13dans un repère orthogonal bien choisi.], tracer sa représentation graphique  2. Dans la suite de cet exercice on notea réel donné de l’intervalle [ un12;+∞[ et on noteu la suite définie surNparu0 = a et, pour tout entier natureln,un+1 = f(un). a. On supposeu0 < u1. Montrer, grâce à un raisonnement par récurrence, queuest croissante. b. Montrer que, dans tous les cas, la suiteuest monotone.  c. Donner alors le sens de variation de la suiteudans chacun des cas suivants :  a = 3;a = 4;a = 13. En utilisant la droite d’équationy = x, construire, sur la figure, les trois premiers termes de chacune des trois suites.  3. a. Résoudre dans [12;+ [ l’équation :12+ =x. Résoudre dans [12;+ [ l’inéquation :12+ >x. b. Pour quelles valeurs deala suiteuest-elle croissante ? décroissante ? stationnaire ?  
VI – Suites
Variation : de la fonction à la suite
4
 
B. Un exemple avec une fonction décroissante 1. Étudier le sens de variation de la fonctionf ]définie sur−∞;12] par(x)=12x. Pourx [13 ; 12], tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormal.  2. Démontrer que, pour toutxde [13;12],f(x) est élément de [13;12]. Pour tout réela de l’intervalle [13;12], on peut définir une suiteu grâce aux deux relations suivantes : «u0 = aet, pour tout entier natureln,un+1 = f(un) ». Prouver queu2  u1 a le signe contraire de celui deu1  u0. Conclure sur la monotonie de la suiteu.  3. Construire, sur la figure, les trois premiers termes de la suite (un) dans chacun des cas suivants :   a = 13;a = 3;a = 8.  4. Pour quelles valeurs dea (la suiteun) est-elle monotone ?  C. Généralisations On considère un intervalleI deR etf fonction à valeurs réelles, définie sur uneI et possédant la propriété suivante : « pour tout élémentxdeI,f(x) appartient àI» (on dit alors queIest stable parf). Soitaun élément deI. On noteula suite définie parpu0ou=ratout entier natureln un1=f(un) ,+  1. On suppose quefest croissante surI. Démontrer que la suiteuest monotone  2. On suppose cette fois quefest décroissante surI. a. La suiteupeut-elle être monotone ? b. Démontrer quefDfest croissante surI. c. Soit la suitevdéfinie surNpar : « pour tout entier naturelp,vp=u2p». Étudier la monotonie dev. d. Soit la suitewdéfinie surNpar « pour tout entier naturelp,wp=u2p+1. Étudier la monotonie dew.  
VI – Suites
Variation : de la fonction à la suite
5
 
LA PARABOLE CARRÉE 
   Objectifd edohtém enu reail'e  dullccae ue restcu' nerd  dueole,arabde p à Archimède Étudi  Notions utiliséesSuites géométriques ; limites des suites géométriques.    Archimède, l'un des plus grands mathéimenatsi cde l'Antiquité, vécut de 287 à 212 environ avantJ ésus-Christ, à Syracuse, en S.i cIill emourut sous l'épée d'un soldat lors de la prise de la ville par les Romains, alors que le général ennemi aval'iot rdroendneé l'épargner.   Archimède appartenait à la civilisation gree pcoqsutérieure à Alexandre le Grand (–356 à –323), dont le centre scientifique était le éMeu sd'Alexandrie, sorte d'institut de recherche où travaillèrent entre autres les célèbres Euclid5e enèh2–( à 5791– 55–2et) ra Éstto–(13 àre reinecd )5 , ayant été l'ami et le correspondant d'Archimède. Archimède, outre ses découvertes mathéma tieqsut ecs,onnu, entre autres, pour ses travaux en mécaniques ur lesl eviers et les centres de gravi tpéo, uert la découverte de la « poussée dArchimède », qui provoqua, d'après la légende, sa famexeculsaem ation « Eurêka » (« J'ai trouvé ! »). II démontra de nomrbeux résultats nouveaux geén ométrie. Il développa surtout de nouvelles méthodesp our l'approximation des longueurs, delus mvoes et des aires qui ont préparé le concept de limite, et qui ont donc fait d'Archimède l'un des fondateurs de l'Analyse. On s'intéresse ici à un théorème fameux d'Arceh :i mlaè dquadrature de la parabole. Les résultats énoncés par Archimède peuvent être en effet dréneu tn eastnitil f ed spar noça iete idsaesérntomtn nos concepts actuels de suite géométrique et de limite. Nous suivons ici l'exposé fait dans l'ouvraMgaet h«é matiquese t Mathématicien»s, par Dedron et Itard, édition Magnadr, 196,0 pages 97  et98. On y on trouvera des compléments.     
  
Archimède énonce ainsi son théorème : « Étant donné un segment ABC dune section rectangle de cône, si par le milieu D de la corde on mène le diamètre DY qui coupe l B et arc en quon joigne BA, BC, le segment ABC vaut les 4/3 du triangle ABC. »
VI – Suites
La parabole carrée
A
D
B Y
C
 
6
 
Question 1 Le vocabulaire mathématique grec était fort différent du nôtre, bien qu'il ne soit pas difficile à comprendre. Grâce au petit « dictionnaire » ci-dessous, traduire en termes modernes le théorème qu'énonce Archimède.  section rectangle de cône parabole diamètre de cette section de cône axe de cette parabole, ou droite parallèle à cet axe. corde de la section segment [AB],AetBétant deux points de la parabole. segmentABCde la section de côneA,B etC étant trois points de la parabole, avecB entreA etC, surface comprise entre le segment [AC] et la parabole. Nous dirions « secteur de la parabole ». Archimède désigne aussi ainsi l’aire de cette surface.
 
axe Archimède construit d'abord le pointE, milieu de [AD], la parallèle à l'axe menée parE, et le pointPC d'intersectionFde cette droite avec la parabole. Il démontre que dans une telle configuration,D l'aire du triangleAFB égale au huitième de est E celle du triangleABC. (Résultat 1) Les Grecs excellaient dans l'étude desA coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole), et obtenaient aisément de tels résultats. Nous proposons une méthode moderne utilisant les outils modernes : coordonnées et déterminant.F S B   Question 2. Démonstration moderne du résultat 1 Sétant le sommet de la paraboleP, on se place dans un repère orthonormal direct(S;i;j),jétant un vecteur directeur de l'axe de la parabole de norme1. Une équation dePdans ce repère est alors de la formey = k x2 (k  R+*). En suivant la démarche d'Archimède, on considère deux points quelconquesAetCdeP, puis les pointsBetFdéfinis comme ci-dessus. On note respectivementa, b,cetf, les abscisses des pointsA,B,CetFdans le repère(O ;i;j). On admet que l'aire d'un triangleMNP duplan, enunités d'aire, est égale à la moitié de la valeur absolue du déterminant des deux vecteursMNetNP.  a. Démontrer que l'aireT du triangleABC inscrit dansP égale à est12k(ab)(bc)(ca) unités d'aire. b. Vérifier que(ba)=(21ca), (fa)=(12ba), (bf)=12(cb). En déduire que l’aire du triangleAFBégale au huitième de celle du triangleest ABC (résultat 1).  
VI – Suites
La parabole carrée
7
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.