Algèbre approfondie Automne ENS Lyon

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Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon ALGÈBRE MULTILINÉAIRE II Exercice 1 (Trace) — Soient A un anneau et M,N deux A-modules libres de rang fini. On pose M? = HomA(M,A) et on note ?? ,x? l'évaluation d'une forme linéaire ? ? M? sur un élément x de M. 1) Démontrer que l'application M??N ? HomA(M,N), (? , y) 7? (x 7? ?? ,x?y) induit un isomorphisme du A-module M??A N sur le A-module HomA(M,N). 2) Soit u un élément de HomA(M,M) et soit u = ∑i?I ?i?xi une représentation de u comme somme de tenseurs élémentaires dans M??A M. Démontrer que l'élément ∑i?I??i,xi? de A ne dépend pas de la représentation de u que l'on considère ; c'est par définition la trace de l'endomorphisme u. 3) Soit u ? HomA(M,M) un endomorphisme de M. Démontrer l'identité suivante : det(TidM ?u) = Tn + n ∑ p=1 (?1)ptr(?pu)Tn?p, où n = rg(M) et, pour tout i, ?p est l'endomorphisme du A-module libre ?pM induit par u. (Indica- tion : on pourra développer ?n(TidM ?u) = det(TidM ?u)id?nM et observer que, si (ei)1≤i≤n est une base de M et ?pu = ∑ I

  • struc- ture naturelle de variété algébrique

  • dimension finie sur ?

  • endomorphisme de ?•

  • unique équation quadratique

  • m?a ap


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Source : math.univ-lyon1.fr
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Algèbre approfondie - Automne 2007
ALGÈBRE MULTILINÉAIREII
ENS-Lyon
Exercice 1(Trace) — Soient A un anneau et M,N deux A-modules libres de rang fini. On pose ∨ ∨ M=HomA(M,A)et on notehj,xil'évaluation d'une forme linéairejun élémentM surxde M. 1) Démontrer que l'application M×NHomA(M,N),(j,y)7→(x7→ hj,xiy) induit un isomorphisme du A-module MAN sur le A-module HomA(M,N). ujtion deucomme somme 2) Soituun élément de HomA(M,M)et soit=åiIixiune représenta lément e de tenseurs élémentaires dans MAM. Démontrer que l'éåiIhji,xiide A ne dépend pas d la représentation deuque l'on considère ; c'est par définition latracede l'endomorphismeu. 3) SoituHomA(M,M)un endomorphisme de M. Démontrer l'identité suivante : n n pp np det(TidMu) =T+ (1)tr(>u)T, å p=1 p p n=rg(M)et, pour touti,>est l'endomorphisme du A-module libre>M induit paru. (Indica-tion: on pourra développer n >(TidMu) =det(TidMu)id>M n et observer que, si(ei)1inest une base de M et på >u=uJ,IeIeJ I,J p p est la décomposition de>urelativement à la base(eI)de>E et à sa base duale (I⊂ {1, . . . ,n},Card(I) = p np i,e e) p, et, si I={i1, . . .ip}aveci1<. .< .pI=i1. . .eip, l'endomorphisme>u>idMde n .) >M est l'homothétie de rapportu1,...,p}1...,p} {,{,
Exercice 2(Algèbre symétrique) — Soient A un anneau et M,N deux A-modules. • • 1) Si NM, démontrer que le noyau de l'homomorphisme canonique S(M)S(M/N)est 1 l'idéal de S(M)engendré par N vu comme sous-ensemble de S(M) =M. 2) Démontrer qu'il existe un isomorphisme canonique de A-algèbres • •S(M)AS(N)˜S(MN).
Exercice 3(Relations de Graßmann) — Soientkun corps et E unk-espace vectoriel de dimension ∨ • finienl'espace vectoriel dual Hom. On désigne par Ek(E,k)et par>E l'algèbre extérieure de E. Il q sera commode de convenir que>E=0 pour tout entierq<0. 1) Démontrer qu'il existe un isomorphisme canonique   • ∨>(E)˜>E   pp∨ •∨ • appliquant>(E)sur(>E). On identifie dans ce qui suit les espaces vectoriels>(E)et>E . p Unp-vecteurx>E est ditdécomposables'il est de la formex1. . .xpavecx1, . . . ,xpE linéairement indépendants. Toutp-vecteur est évidemment une somme dep-vecteurs décomposables p et l'objet de cet exercice est d'obtenir une caractérisatio n desp-vecteurs décomposables dans>E ; ce seront ceux satisfaisant auxrelations de Graßmann.
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p 2) Étant donné unp-vecteurx>EE, vérifier qu'il existe un plus petit sous-espace vectorielxde p E tel quex>Exet justifier quexest décomposable si et seulement si dim(Ex) =p. En déduire que xest décomposable si et seulement si yEx,xy=0. p∨ •3) Soitw>(E). Le produit extérieur parwest l'endomorphisme de>(E)défini parj7→ qp+qjw; il applique>(E)dans>(E). Ayant identifié l'espace vectoriel E avec son bidual, on appelleproduit intérieurparw, et on notex7→wyx, l'endomorphisme de>E transposé du produit extérieur parw. Notanth.,ile crochet de dualité, on a donc hj,wyxi=hjw,xi • •pour tousx>E,j>(E). p+q q (i) Vérifier quewyapplique>E dans>E. ∗ ∗ (ii) Soit(e)lune base de E e i1int soit(ei)1ina base duale. CalculereyeJpour toutes parties I I,J de{1, . . . ,n}. p 4) Étant donné unp-vecteurxdans>E, démontrer que le sous-espace vectoriel Exde E est l'image de l'application linéaire p11 >(E)>E=E,w7→wyx. (Indication: introduire une base de E contenant une base de Exet utiliser la question précédente.) 5) Déduire de ce qui précède qu'unp-vecteurxest décomposable si et seulement si x(wyx) =0   p n p1∨ ∨ > pour toutw>(E). Ayant introduit une base(ei)1inde E, les dim(E) =équations p1 x(eyx) =0,I⊂ {1, . . . ,n}et Card(I) =p1 I caractérisant lesp-vecteurs décomposables sont lesrelations de Graßmann. 6) Expliciter les relations de Graßmann pourn=4,p=2 et vérifier qu'elles se ramènent à l'unique équation quadratique x12x34x13x24+x14x230, (x12,x13,x14,x23,x24,x34)sont les coordonnées d'un 2-vecteurxdans la base(e1e2,e1e3,e12 e4,e2e3,e2e4,e3e4)de>E. p p 7) Étant donnép∈ {1, . . . ,n}, on désigne parP(>E)l'ensemble des droites vectorielles dans>E et parGrp(E)l'ensemble des sous-espaces vectoriels de E de dimensionp. Vérifier que l'application p p:Gr(E)P(>E), p p définie en associant à F=Vect(x1, . . . ,xp)la droitek(x1. . .xp)dans>E, réalise une bijection p sur un sous-ensemble deP(>E)défini par des équations homogènes quadratiques en tout système de coordonnées déduit d'une base de E. Remarque:ce qui précède établit essentiellement que, siEest un espace vectoriel de dimension finie, l'ensembleGrp(E)des sous-espaces vectoriels deEde dimension pdim Epossède une struc-ture naturelle de variété algébrique, obtenue en réalisantGrp(E)comme une sous-variété algébrique p de l'espace projectifP(>E). L'ensembleGrp(E)est lagrassmanniennedes p-plans deEet l'appli-cationpest classiquement appeléeplongement de Plücker.
Exercice 4(Déterminant) — Soit A un anneau noethérien. On rappelle que, pour tout idéal premier pde A,k(p)désigne le corps des fractions de l'anneau A/p. 1) Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes pour tout A-module M de type fini : – pourtout idéal premierpde A, Mp=MAApest un Ap;-module libre
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11 – ilexiste des élémentsf, . . . ,fde 1nA engendrant l'idéal unité et tels que M[fi] =MAA[fi] 1 soit un A[f]pour touti∈ {1, . . . ,n}. i Un A-module M satisfaisant aux deux conditions précédentes est ditlocalement libre. 2) Soit M un A-module de type fini localement libre. Vérifier que M[p] =MAk(p)est un espace vectoriel de dimension finie surk(p)pour tout idéal premierpde A et démontrer que la fonction orsque p7→dimk(p)M[p]est localement constante sur Spec(A)(voir l'exercice 4 de la fiche 2). L Spec(A)est connexe, cette fonction est donc constante et sa valeur est par définition lerangde M, noté rg(M). 3) On suppose que l'espace topologique Spec(A)est connexe. Étant donné un A-module M de type p r fini et localement libre de rangr, démontrer que>M=0 sipr+1 et que>M est un A-module r localement libre de rang 1; on pose det(M) =>M. 4) On suppose toujours que Spec(A)est connexe. Étant donnée une suite exacte de A-modules de type fini et localement libres b a ′ ′′ EM M: 0M 0, démontrer qu'il existe un isomorphisme canonique ′ ′′ jE: det(M)Adet(M)˜ det(M) ′ ′′′ ′′′ ′′ ′′′) =a(a tel quej(m. . .mmmrm1). . .(m)m1. . .mrpour tousm, . . . ,mM , ′′ 1r1r1r ′′ ′′′′ ′′′ ′′′ ′′ metr=log(M). 1, . . . ,m′′M etm1, . . . ,mrM avecb(mi) =m, oùr=rg(M),r=rg(M) ′′ r i
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