Algèbre décembre

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Algèbre 1 1 décembre 2008 20082009 TD5 : Polynômes symétriques. Anneaux factoriels Exercice 1 Soit A[X1, · · · , Xn] l'anneau de polynômes en X1, · · · , Xn à coe?cients dans un anneau intègre A. Le groupe symétriqueSn agit de manière naturelle sur A[X1, · · · , Xn]. On désigne par A[X1, · · · , Xn]Sn l'anneau des polynômes symétriques (c.à.d. invariants pour l'action de Sn) et par s1, · · · , sn les polynômes symétriques élémentaires. Cet exercice suggère une méthode pratique pour présenter un polynôme f ? A[X1, · · · , Xn]Sn comme f = g(s1, · · · , sn), où g est un polynôme en n variables à coe?cients dans A. 1. Introduisons l'ordre lexicographique sur l'ensemble des monômes : X i11 X i22 · · ·X inn > Xj11 Xj22 · · ·Xjnn s'il existe 1 ≤ k ≤ n tel que i1?j1 = 0, · · · , ik?1?jk?1 = 0, ik?jk > 0. Si f ? A[X1, · · · , Xn], le monôme maximal parmi les monômes qui participent à l'expression de f comme une combinaison linéaire de monômes à coe?cients non- nuls est dite dominant pour f .

  • somme des carrés des racines du polynôme

  • monôme maximal parmi les monômes

  • racine

  • cubes des racines complexes du polynômes x3

  • combinaison linéaire de monômes

  • monômes monotones

  • polynômes symétriques

  • i2 ≥

  • anneau intègre


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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A[X ;¢¢¢ ;X ] X ;¢¢¢ ;X1 n 1 n
A S A[X ;¢¢¢ ;X ]n 1 n
SnA[X ;¢¢¢ ;X ]1 n
S s ;¢¢¢ ;sn 1 n
Snf 2A[X ;¢¢¢ ;X ]1 n
f =g(s ;¢¢¢ ;s ) g n A1 n
i i1 2 inX X ¢¢¢X >1 2 n
j j1 2 jnX X ¢¢¢X 1•k•n i ¡j =0;¢¢¢ ;i ¡j =0;i ¡j >01 1 k¡1 k¡1 k k1 2 n
f 2 A[X ;¢¢¢ ;X ]1 n
f
f u v
f g uv
fg
i i i1 2 nu=X X ¢¢¢X H =f? 2 S :?u =ugn1 2 n
X
S(u)= ?u;
?2R
R S =Hn
i i1 2 inS(u) = S(u ) u u = X X ¢¢¢X0 0 0 1 2 n
i ‚ i ‚ ¢¢¢ ‚ i ‚ 0 u1 2 n 0
S(u)
Snf 2A[X ;¢¢¢ ;X ]1 n
mX
f = aS(u );i i
i=1
a 2Anf0g ui i
i i1 2 inu=X X ¢¢¢X1 2 n
i ¡ii ¡i i ¡i n¡1 n i1 2 2 3 ng =s s ¢¢¢s s :u 1 2 n¡1 n
u gu
S(u)
X
S(u)=g + b g ;u w w
w2Mu
j j1 2 jnb 2 A M w = X X ¢¢¢Xw u 1 2 n
u>w j +¢¢¢+j =i +¢¢¢+i1 n 1 n
estp.olyn?mesdominansym?triquesuniquemen(c.?.d.deinlesv.arianSoittsunppourectiv,sono?lel'actionquede?esto?unpmon?me.monotone.,Onc.?.d.olyn?mes)etetdominanparsiquetrerInpteloirlesnon-pforme1.binaisonolyn?mestsym?triquesparmi?l?menmon?mesexistecos'ilSitaires..Cetd?signeexercicePsugg?remon?meaosevleect,une,troolyn?mesm?thopdelesduisonsetpratiquetrerpourourpl'dominanhedominantgauc:?Enalenceulsd'?quivrepr?sen.sousDeecienplus,declassesunedesl'expressionco?ncideparticipamon?mesvmaximaltsblequelel'anneau1endominantstinpqueourettansym?triquerepr?sennaturelletrerdel'anneauble:.our3.unMonmonotone.trerpquetcmon?mehaqueestensemalorsunemenestresporsym?triques.o?Anneauxdrpeourlexictsomon?mesgrtaphiquefactorielssurExercicel'ensemquebleMondes1mon?mesMonsequerepresenesttmon?meuniquementtoursousditela(Indicationformev?crit1.)Ond?duire.est:n.sedanstetstecienlacots?coariablesmon?mesvlin?aireencomolyn?mecommeo?dep?unenet(1)estquiAlg?breles1eto?mon?me,l'ensemetdescommemonotonesolyn?me,sondetolyn?mesdes?mon?mesecienmonotones.dans4.anneauSoitt?greptels1.d?cemLeungroupterebreagit2008mani?reMon-surpr?sen.20082009OnTD5parSoitdes2.ec.lemon?mebw
3S(X )2Z[X ;¢¢¢ ;X ]1 n1
2 2 2 2 2 2X X +X X +X X +X X +X X +X X 2Z[X ;X ;X ]2 1 3 1 3 2 1 2 31 2 1 3 2 3
4 4 4 2 2 2 2 2 2X +X +X ¡X X ¡X X ¡X X 2Z[X ;X ;X ]1 2 31 2 3 1 2 1 3 2 3
n n¡1f(X) = X +a X +¢¢¢+a 2C[X] f(X) = (X¡1 n
fi )(X¡fi )¢¢¢(X¡fi ) fi ;fi ;¢¢¢ ;fi f1 2 n 1 2 n p
Snh2 A[X ;¢¢¢ ;X ] A C A =Z; Z[ 2]; Q; R1 n
Snh 2 A[X ;¢¢¢ ;X ] h(fi ;fi ;¢¢¢ ;fi ) 2 A)1 n 1 2 n
ia =(¡1)s (fi ;fi ;¢¢¢ ;fi ); 1•i•ni i 1 2 n
5 33X ¡X +X+2
1 1 1 1 4 2+ + + fi; 1•i•4; X ¡X ¡ifi fi fi fi1 2 3 4
X¡1
3X ¡X¡1
3 22X ¡X +2
A I I =f0g
I
a
a
A A[X]
A Z[X]
Z A
fi K
n n¡1X +a X +¢¢¢+a 2A[X]1 n
A
?tansommeuledesmoncarr?squedes?racinesparduparticulier,pclosolyn?meexprimerappliquetlasim?tho(1)deseulemendesPcanneauotecientslyn?mesind?termin?sformsig?n?raliser.Dans2.tTtrouvExerciceert?gre,queesttrerestMonque).Exercice.)t?gralemen(a)est;?l?men(b)de;p(c)utilisan.:Exerciceappartien3eSoitExercice.Exercice,anneauo?qu'unRappest:seule-(examplesl'id?alelonsestdePsous-anneauanneauuntrerestlaquesisonsitcorps.lesobtienracinestrouvdupaspMonolyn?meesto?clos.,t?gre,gro?clestaires.nomsonbres?l?mencomplexesracinesonsym?triques.EnExercicel'exercice5pTderouvUtiliserer?letppolyn?mer?sultatdeSoitdegr?irreductible.trois7donuntfactoriellestrerracines?l?menson.)tirr?ductible:et(a)menlessicubengendr?esondespremier.racines8complexesourduunpinolyn?mesmontquelesformracinesdansdeprincipal.etSoitt2er(b)unlesEnquatri?mesondegr?stdesalorsracinesourcomplexesn'estduprincipal.p9olyn?mestrer::(Indicationsin.tolyn?mes(Unsuivinan(Remarquetsint?enalement.siExercicehaque6tSoitappartenanfonction?uncorpsanneaufractionsprincipal.etMonttrerd'unlaolyn?meunExercicecomm2Mono-quetconditions1anlessonperVi?te6ulesrouvlesT,1.t4A).alorsquelExerciceypestd'anneauxmaximaleut-onetceengendr??par10un?l?menqueanneausiutatif.destrez?quivlestessuivid?altespremiertetalenest:un;A
A
A
A
A
A
A
A C
fi2C A[fi]=ff(fi):f 2A[X]g A[fi]
d
p p p
Q[ d] Q Q[ d] =Q+Q dp
dim Q[ d]=2Q
p
fi 2 Q[ d] Z[fi] Zp
O Q[ d] Od dp
Q[ d]
Z
p p p p
2 2fi = a + b d 2 Q[ d] N(fi) = a ¡ b d = (a + b d)(a¡ b d)
T(fi)=2a
p p p p
¡ : Q[ d] ! Q[ d];a + b d ! a¡ b d;
p
⁄ ⁄N : Q( d) ! Q ; fi ! N(fi);
2fi f (X)=X ¡T(fi)X+N(fi)2Q[X]fi
fi2O f (X)2Z[X] fi2O nZd fi d
n n¡1fi g(x)=x +a x +:::+a 2Z[x]1 n
f g Q[X]fi
f 2Z[X]fi
p p
1+ dO =Z[!] ! = d·1(mod 4) ! = d d·2 oud 2
3(mod 4)
⁄fi2O O N(fi)=§1d d
⁄O2
d=¡5
p p
3;7;1+2 ¡5 et 1¡2 ¡5 p p
21=3:7=(1+2 ¡5)(1¡2 ¡5)
O¡5
particulier,queGaussl'applicationci?sestsitrer.Montous(a)quede:.d?duirededet.yptenaneeid?al,nitrez;que2.:etOnChaquetsuitefacteurChaquebrecroissanD?duiretel'ensemdestid?auxquede.)1.unestsiestestunUnautomorphisme(fdeestcorps.seulemen(b)12Montierstrerquadratiques)quequel'applicationunnie.trer3.deuxChaque:ensemSoitblequenon-videl'anneaudesdesid?aux.deenconlemmetienmontSoitunt?l?menMont-momaximalqueparhaquenoteditonmalestetunnomhomomor-.phismeestdeMongroup;es.dans(c)siMonsitrer1.)que.inclu-desestinni.sion.len'estetfactoriel.Monpnomolyn?meconUnunanneauona1.vtecdeuxlesnon-premiers.conditionstierci-dessusuns'appunelleestanneau.)our(a)Pde3.dansni.)bleeOnypMainttdeutilisanestlenedeeonyptretsupp.ni.(d)ypMondetrer(e)quetrerdeduleduleose-moestnocsio?etid?alseulemenentiertestsimaxi-d'undeduleprincipal.sous-moMonhaquebrecsique2.elonsqueRapp1.:.(Indication).trer(Indicationfactoriel:2.Siest).principal.(IndicationatiquesEnquadretentierstdes.auutiliseralorsExerciceanne(AnneauestEnunequeracineend'unestp4.olyn?meconsid?reel?cas(appSieth?rienest.(a)Exercicetrer11lesSoitbresdetenananneaucorpssous-estunsous-anneauestetunqueanneauMonquecarr?.trersonMonirr?ductibles,.?innon-assot?greetet(Indicationnosanseth?rien.endansnomtiersnoteenanneau..estOnIlvfacileoitoirfacilemen(b)tdequequebresvnomdiviseunepasracine3duZ[i]
A x
£A … A! A=(x) …jA [f0g
£A A
p
1+ ¡19A=Z[ ]
2
⁄A
A
A a 2 A b 2 Anf0g
q r A a=bq+r 2a=bq+r r =0 N(r)<N(b)
2»A =Z[t]=(t ¡t+5)
A
A
A k
P A[X]
k[X]
2 2X +Y +1 k[X;Y] car(k)=2
2 3A=C[X;Y]=(X ¡Y )
A `:A!C[T]
A
A A
P 2 C[X;Y] (P)
C[X;Y]
A;B2C[X;Y] B =0 Q;R2C[X;Y] P 2C[X]
deg (R)<deg (B) P(X)A(X;Y)=B(X;Y)Q(X;Y)+R(X;Y)Y Y
M C[X;Y] a;b2C
M=(X¡a;Y ¡b)
C[X;Y]
P 2 C[X;Y] C[X;Y]
P
trouv6uner1..ble.ecExerciceersible17existeSoitdes2.tsEnolyn?med?duireanneauoumaximalqued?duiren'estjectionpasid?auxeuclidien.in3.ouquequ'iltelstMontelsdanssontrer16et5.que.1.principalMon,trerlaqueetsd?duireesttrerinourt?gre).endesexhibanettencoreunamorphismeuninjectifde?l?menundesnonexistedesiletalorsvestprincipal.quasi-euclidientrerc.?.d.tel.22.SoitD?terminezpremierlel'id?alcorps.destrerfractionsnotandequesiest.est3.4.Monlistetrerdeque4.et5.n'estppasersiblesin15t?gralemenlatpremiersclos.1.L'anneauconExerciceirr?ductibleest-ilestfactorieltrer?vExercicemon13?l?men.deSoitirr?ductibleMonptrerestquequed?sSiquefractions.estcorpsuninanneaufactorielununpSoitolyn?me,ExercicemonesttrerquequeMonl'id?al.euclidien.dansExerciceestdansparn'est3.pasengendr?maximalid?aldansnonirr?ductibledeestque14EnSoitque,unmonanneauqu'il.en2.tSoientelstprocomm,utatifsurjectiveuclidien.(o?olyn?mel'ensemp.leEnquelatrerdesMonpremiers,que2.Mon6.?.vraieP,unmonolyn?metrervqu'ildeexisteExerciceest-elleSoitqueerr?ciprolisteLaid?aux.deMon.trerTqu'ilrouvexistetenanetdans1841.

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