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Éléments de géométrie Arnaud Bodin, avril 2012 Exercices – La règle et le compas 1 Constructions élémentaires 1 2 Les corps 2 3 Nombres constructibles et corps 2 4 Les problèmes grecs 3 5 Constructions assistées 3 1 Constructions élémentaires Exercice 1 (Constructions élémentaires) 1. À l'aide du théorème de Pythagore, construire successivement à la règle et au compas√ 2, √ 3, √ 4, √ 5,. . . (Répondre à cette question sans utiliser de résultat du cours.) 2. Construire les approximations suivantes de pi : 227 = 3, 1428 . . ., √ 2+ √ 3 = 3, 1462 . . . 3. Construire √ 2√ 3 , 5 1 4 , √ 3? √ 3, Exercice 2 (Approximation de Kochanski) Une valeur approchée de pi avec quatre décimales exactes est donnée par ? = √ 40 3 ? 2 √ 3 = 3, 141533 . . . Soient les points suivants O(0, 0), I(1, 0), Q(2, 0). On construit les points P1, P2, . . . ainsi : – P1 est l'intersection des cercles centrés en O et I de rayon 1 ayant une ordonnée positive. – P2 est l'intersection des cercles centrés en O et P1 de rayon 1 (l'autre intersection est I).

  • intersection des cercles

  • tangente en m1

  • trissection des angles

  • intersection de la droite p2i avec l'axe des ordonnées

  • ordonnée positive

  • angle


Publié le : dimanche 1 avril 2012
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Source : math.univ-lille1.fr
Nombre de pages : 5
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Èlments de gomtrie
Arnaud Bodin, avril 2012
Exercices – La rgle et le compas
1 ConstructionsÉlÉmentaires Exercice 1(Constructions lmentaires)
1. âl’aide du thorme de Pythagore, construire successivement á la rgle et au compas √ √ √ √ 2,3,4,5á cette question sans utiliser de rsultat du cours.),. . . (Rpondre √ √ 22 2. Construireles approximations suivantes deπ:=3, 1428 . . .,2+3=3, 1462 . . . 7 p 12 3. Construire,5,33, 4 3
Exercice 2(Approximation de Kochanski) Une valeur approche deπavec quatre dcimales exactes est donne par r 40 φ= −2 3=3, 141533 . . . 3 Soient les points suivantsO(0, 0),I(1, 0),Q(2, 0). On construit les pointsP1, P2, . . .ainsi : P1est l’intersection des cercles centrs enOetIde rayon1ayant une ordonne positive. P2est l’intersection des cercles centrs enOetP1de rayon1(l’autre intersection estI). P3est l’intersection de la droiteP2Iavec l’axe des ordonnes. P4est l’image deP3par une translation de vecteur(0,3). Calculer les coordonnes de chacun desPi. Montrer que la longueurP4Qvautφ.
Exercice 3(Construction au compas seul) Construire au compas seulement :
1
1 ConstructionsÉlÉmentaires 1 2 Lescorps 2 3 Nombresconstructibles et corps2 4 LesproblÈmes grecs3 5 ConstructionsassistÉes 3
1. Lesymtrique dePpar rapport á une droite(AB). (Seuls les pointsP, A, Bsont tracs, pas la droite.) 2. Lesymtrique d’un pointPpar rapport á un pointO. 3. (*)Le milieu de deux pointsA,B. (La droite(AB)n’est pas trace!)
Exercice 4(Pentagone rgulier) Soit(A0, A1, A2, A3, A4)un pentagone rgulier. On noteOson centre et on choisit un repre −−orthonorm(, vO, u)avecu=OA0, qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexesC. k 1. Donnerles affixesω0, . . . , ω4des pointsA0, . . . , A4. Montrer queωk=ω1pourk2 3 4 {0, 1, 2, 3, 4}. Montrer que1+ω1+ω+ω+ω=0. 1 1 1 2π 2 A2 2. Endduire que cos( )est l’une des solutions de l’quation4z+2z1=0. En dduire 5 la valeur de cos( ). 5 3. Onconsidre le pointBd’affixe1. Calculer la longueurBA2en fonction de cos 5 puis de5. i1 4. Onconsidre le pointId’affixe ,le cercleCde centreIet enfin le pointde rayonJ A 2 23 d’intersection deCavec le segment[BI]. Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ. 5.Application :Dessiner un pentagone rgulier á la rgle et au compas. Expliquer.
2 Lescorps Exercice 5(Nombres transcendants)
1. Montrerque l’ensemble des nombres rels algbriques est un ensemble dnombrable. 2. Endduire l’existence de nombres rels qui ne soient pas algbriques.
3 Nombresconstructibles et corps Exercice 6 Un corpsKRest stable par racine carre s’il vrifie la proprit suivante : xK, x0xK. Montrer que l’ensembleCRdes nombres constructibles est le plus petit sous-corps deR stable par racine carre.
2
iA 1
O
A4
A0 1
4 LesproblÈmes grecs Exercice 7(Trissection des angles) Le but est de montrer que tous les angles ne sont pastrissectables(divisibles en trois) á π la rgle et au compas. Nous allons le prouver pour l’angle: plus prcisment le point de 3 π ππ π coordonnes(cos,sin)est constructible mais le point(cos,sin)ne l’est pas. 3 39 9 1. Exprimercosen fonction de cosθ. 3 31 π 2. SoitP(X) =XX. Montrer queP(cos) =0. Montrer queP(X)est irrductible 4 89 dansQ[X]. 3. Conclure. iθ 3 Indications 2l’aide des nombres complexes, calculer1. â(e)de deux faÇons. a 2. Toutd’abord montrer que s’il tait rductible alors il aurait racine dansQ. Siest b a cette racine avec pgcd(a, b) =1alors á partir deP( )=0obtenir une quation b d’entiers. 3. Utiliserle thorme de Wantzel.
5 ConstructionsassistÉes Exercice 8(Spirale d’Archimde) Soit(S)laspirale d’ArchimÈdeparamtre par Mt= (tcos(2πt), tsin(2πt)), t0. 1. TracerS. 2.Trissection des angles. Ètant trace la spirale d’Archimde, construire avec la rgle et π le compas la trissection d’un angle donn.Indications.Supposer l’angleθ <. Ècrire 2 l’angle sous la formeθ=2πt; placerMtet tracer un cercle centr á l’origine du bon rayon. 3.Quadrature du cercle. (a) Calculerune quation de la tangente á(S)en un pointMt. (b) La tangente enM1(pourt=1) coupe l’axe des ordonnes enN. Calculer la longueurON. (c) Endduire qu’avec le trac de la spirale d’Archimde et le trac de la tangente enM1on peut rsoudre la quadrature du cercle á la rgle et au compas.
3
Exercice 9(La rgle tournante) On souhaite trissecter les angles á l’aide d’un compas et d’une rgle gradue. SoitCle cercle de rayonr > 0centr enO. SoientA, BCde telle sorte que l’angle enOd’un triangleOAB C 0 0 soit aigu. Notonsθcet angle.Sur la rÈglemarquer deux pointsOetCtel queO C=r. θ/3 Faire pivoter et glisser la rgle autour du pointBafin que le pointCappartienne áCet 0 0 0O le pointOappartiennent á la droite(OA)(de sorte queOsoit dans le segment[O A]). 0 0θ Montrer que l’angle enOdu triangleAO Bvaut . 3
Exercice 10(Cissode de Diocls) Soient les pointsO(0, 0)etI(1, 0). SoitCle cercle de diamtre[OI]etLla droite d’quation 0 00 (x=1). Pour un pointMdeC, soitMl’intersection de(OM)avecL. Soit enfinMle point −−−−−−00 000 tel queOM=MM. L’ensemble des pointsMlorsqueMparcourtCestla cissode de DioclÈs, noteD. Le but de l’exercice est de montrer que la duplication du cube est possible á l’aide de la rgle, du compas et du trac de la cissode. 0 1. Ladroite(OM)ayant pour quation(y=tx), exprimer les coordonnes deM,M 00 puisMen fonction det. 2. Endduire une quation paramtrique deD:
2 t x(t) =, 2 1+t
3 t y(t) =. 2 1+t
3. Montrerqu’une quation cartsienne deDest :
2 22 x(x+y) −y=0.
4. Ètudieret tracerD. 5. SoitP(0, 2). La droite(PI)coupeDen un point notQ. La droite(OQ)coupeLen un point notR. Calculer une quation de(PI)ainsi que les coordonnes deQetR. 6. Conclure.
4
θ O
B
A
L
0 M M C 00 M I O
P(0, 2)
O(0, 0)
Exercice 11(Lunules d’Hippocrate de Chios) Montrer que l’aire des quatre lunules gale l’aire du carr.
Indications 3 C’est un calcul simple d’aires.
5
Q
L
R
I(1, 0)
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