cours géométrie dans l'espace

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c P, Primaire, CP Seconde Cours géométrie dans l'espace 1 I. Solides usuels : volume et section par un plan Pavé droit Pyramide Tétraèdre P Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire V = abc Si le plan P est parallèle à une arête, la section est un rectangle. V = 13 Base × hauteur Si P est parallèle à la base, la section est un polygone dont les côtés sont parallèles à ceux de la base. V = 13 Base × hauteur Si P est parallèle à l'une des faces, la section est un triangle dont les côtés sont parallèles à ceux de la base Sphère cône de révolution cylindre de révolution P O I
  • parallèles d1
  • base ×
  • droite ∆
  • intersection
  • parallélisme entre droites propriété
  • axe du cylindre
  • positions relatives de droites
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  • plan
  • plans
Publié le : lundi 26 mars 2012
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Seconde
Cours géométrie dans l’espace
I.Solides usuels : volume et section par un plan Pavé droitPyramide Tétraèdre aPbP P cUn tétraèdre est une pyramide à base triangulaire V =abc1 1 V =Base´= Basehauteur V´hauteur Si le planP est parallèle à3 3 une arête, la section est unSi Pest parallèle à la base, laSi Pest parallèle à l’une des rectangle. sectionest un polygone dontfaces, la section est un les côtés sont parallèles à ceuxtriangle dont les côtés sont de la base.parallèles à ceux de la base Sphère cônede révolutioncylindre de révolution NR PP M IPP h O RR R S 4 1V =p´hauteur 3 V =p= (R VpR²)´h3 3·est parallèle aux bases, laSi P La section est un cercle. SiSi Pest parallèle à lasection est un cercle de même rayon [NS] est le diamètre de labase, la section est unque le cylindre et dont le centre se sphère, orthogonal au plancercle dont le centretrouve sur l’axe du cylindre. P en I, alors I est le centrese trouve sur l’axe du·est parallèle à l’axe, la sectionSi P du cercle.cône. estun rectangle.
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II.Quelques règles Règles d’incidence règle 1 : Par deux points distincts, il passe une unique droite. règle 2 : Par trois points non alignés A, B et C passe un seul plan. Ce plan est noté (ABC). règle 3 : Si A et B sont deux points d’un plan P, tous les points de la droite (AB) appartiennent au plan P. règle 4 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. exercice : P est un plan ; A, B, C sont trois points non alignés qui n’appartiennent pas à P. On suppose que (AB) coupe P en C’, que (AC) coupe P en B’ et que (BC) coupe P en A’. Montrer que les points A’, B’ et C’ sont alignés. III.Position relative de droites et de plans a)deux droites distinctes Deux droites de l’espace sont : ·soitcoplanairesd1et d2sécantes d1et d2parallèles
d1et d2sont sécantes en A ·soitnoncoplanaires
d1et d2sont strictement parallèles
d1et d2sont confondues
Aucun plan ne contient d1et d2
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b)Une droite et un plan Une droite et un plan de l’espace sont : ·soitsécantsd etPont un point d’intersection B. ·soitparallèlesd et P sont strictement parallèlesd est contenue dans P. c)Position relative de deux plans Deux plans sont : ·soitsécants PetP'ont une droite d’intersection d. ·soitparallèles PetPsont strictement parallèles.PetPsont confondus. exercice : déterminer l’intersection de plans sécants : ABCD est un tétraèdre. I et J sont des points des arêtes [AB] et [CD].
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Déterminer l’intersection des plans (ABJ) et (CDI). Réponse : Les deux plans (ABJ) et (CDI) sont sécants selon une droite. Le point I appartient aux deux plans (car I appartient à (AB)). Le point J appartient aux deux plans (car J appartient à (CD)). On en déduit que l’intersection cherchée est la droite (IJ). IV.Le parallélisme dans l’espace a)parallélisme entre droites Propriété 1 : Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Propriété 2 : Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une coupe l’autre b)parallélisme entre plans Propriété 3 : Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. Propriété 4 : Si deux droites sécantes d’un plan P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan Q, alors les plans P et Q sont parallèles. Propriété 5 : Si P et P’ sont deux plans parallèles, alors tout plan Q qui coupe P coupe aussi P’ et les droites d’intersection sont parallèles. c)parallélisme entre droite et plan Propriété 6 : Si deux plansPetP'sont parallèles, et si une droite d est parallèle àP, alors d
est parallèle àP'
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Propriété 7 : Si une droitedest parallèle à une droite, et sidest contenue dans un planP, alors estparallèle àP.
Propriété 8 : Si deux plans sont parallèles, alors toute droite de l’un des plans est parallèle à l’autre plan. Propriété 9 : SiPetP’ sont deux plans sécants selon une droite, et si d est une droite
parallèle àPetP’, alors d et
sont parallèles.
d
Propriété 10 : (théorème du toit) detd’ sont deux droites parallèles.Pest un plan contenantd, etP’ un plan
contenantd’. Si, en outre, les plansPetP’ sont sécants, alors la droiteD
d’intersection de ces plans est parallèle àdet àd’.
P d’d
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