Introduction Periode groupes cycliques

De
Publié par

Niveau: Elementaire
Introduction Periode (groupes cycliques) Demi-periodes (reciprocite quadratique) Longueur de la periode (conjecture d'Artin) Developpement decimal de 1/p (d'apres O. Mathieu) Besanc¸on, 2 juin 2006 Jerome Germoni (universite Lyon 1) Besanc¸on, 2 juin 2006 Developpement decimal de 1/p (d'apres O. Mathieu)

  • periode arithmetique modulo

  • contrat didactique

  • conjecture d'artin justification heuristique

  • introduction periode

  • artin


Publié le : jeudi 1 juin 2006
Lecture(s) : 31
Source : math.univ-lyon1.fr
Nombre de pages : 79
Voir plus Voir moins
IntroductionP´eirdo(erguoepcscyquli)Desi-emerp´edoi´r(spiceicoruadrt´eque)Latiquedrnouge´irlepanjcoe(oddretuec)nitrAn¸coBesaeve´D6002niuj2,nmaci´etdenempplotaM.ueih
Besa ¸ n, 2 juin 2006 nco
D´eveloppementd´ecimalde1/p (dapre`sO.Mathieu)
)
J´erˆomeGermoni(universit´eLyon1)
e1ld(d/pprasO`e
ItnorudcycsepuoD)seuqil´enPioctgre(odrioriccepiaurd´tqep´eremi-s(r´iodee(odnjcoapelri´eugnodrueqitaL)eurAit)nceuterdamdl1ep/d(arpe`veloppementd´eci,nociuj2002ne´D6Ben¸sa
4
3
1
2
Introduction Devinettes Quelques miracles admirables P´eriode(groupescycliques) Existencedunep´eriode Arithme´tiquemodulop Digression : le (pe`-)1rihceme Demi-p´eriodes(re´ciprocite´quadratique) Dichotomie Le (p+ 1)/iereem`h-c2 Digression : couper les cheveux en trois ou quatre Longueurdelape´riode(conjecturedArtin) Digression:nombredepe´riodesdesk/pet longueur minimale Conjecture d’Artin Justicationheuristiqueetr´esultatspartiels
)ueihtaM.Os
´equocitcipr(r´egneu)eoLituqdaar(cdeioerp´ladeurnitrAderutcejnoIntr´Preoieddocuitnoclcyueiqro(gesupire´sedoeD)sp-imD)veniteetQseuqluesmiraclesadmirelbasimecdealmeped´ntse`raM.O(p/1padan¸con,2Bes´Dvelepoujni0260´)u
Introduction Devinettes Quelques miracles admirables ´ Periode (groupes cycliques) Existencedunep´eriode Arithme´tiquemodulop Digression : le (pier-)e`emhc1 Demi-pe´riodes(re´ciprocite´quadratique) Dichotomie Le (p+ 1)/ceerih`-me2 Digression : couper les cheveux en trois ou quatre Longueurdelap´eriode(conjecturedArtin) Digression:nombredep´eriodesdesk/pet longueur minimale Conjecture d’Artin
htei
4
Plan 1 2
3
ilnapas142+857,accllue´Jiluaianrantidtd,pnccoarunetoD.etiafered.Bescunet:auseespenoal´ruq,ecaitd´ntmepeopelevD´6002niuj2,noc¸na´renUS4esnopeimecdealp(1/apdse`raM.Oeiht
Devinettes 1ulerCalcichdere1ˆtedlete-35eeme`/53. 22-`emechirede1cllureedˆttele5eCa/53. 3tele2e-7e`emhciCalculerdetˆdere1/53. 4Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileectu´ees?
)uAtrniD)ejtcrudeiode(condelap´ergnoLrueuitar)euq´eitadquci´eocprser(irdop-e´eDimues)cliqescyroupg(edoire´PnoitcuodtrInvenielDssteetleacirsmabirdmsaetteniveeuqleuQs
(sedce´r´p-ioireuaeqatdrroipt´ciuguedrleqieuL)noe(conjecap´eriodiveD)nitrAderutmiesquelQuesttnelbseimarsedaarlcesnettDeviItcudortn´eriionPgrouode(cyilepcsD)meuqseDc,onucunst:asan¸e.Bej2iuoc,nD6e´2n00tronrcpactdadiatral,euqieesnope´sO.Mathieu)
Devinettes 1e1edrel35eˆetceih`-meCalrdetcule/53. 2ˆtedrel`-25eletcualCemechirede1/53. e 31e27leem-`hiecedrClauceldrteeˆet/53. 4Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileectue´es?
Unere´ponse 4.ueertdenetapaiafs758+nli,cul´e142lianacaliSuJ
loveempptdenci´edlamp/1ead(e`rp
steetvenilesDirabsadmaclec(noejtc´preoiedueurdelaque)LongeuqlrimsetteeuQs)DininevedurrtAeihtaM.O
Uner´eponse 4itfaasapnil7,85.euneteredSiJullue´41+2aianaccl Donc,parcontratdidactique,lare´ponseest:aucune.
Devinettes 1ered1ihceme`-35eletetˆdeerullcCa/53. 2erdetˆetele52-`eaCclluhcemeri1ed/53. 31e`em2e-7eredhcilcCaerultˆdeelet/53. 4Julian additionne deux nombres et trouve 999. Combienderetenuesa-t-ileectue´es?
)useBc¸na,2oninju0620evD´lepoepemtn´dcemialde1/p(dapr`esuctitrodInser(e´icp-e´irdoquadratiprocit´eg(edpuor´Pnooires)uemiDecyesiqcl
asPdede-mmiurestrInesblontiucodlcarimsearimdasenettDevielquesQuuterjnceit)ndrAdoiroc(eledre´paon)Leuguatdrueiqic´tqeau´rcepioreriodes()Demi-p´seuqilcycsepuorge(odri´enPioctdutnorIp/d(dl1ee`Osarphieu.Mat)
1 = 0, 142 857 142142 857 857. . . 7 D´eveloppementcyclique.
2niuj2,neve´D600enempplomaci´etd,67=0,8714285eBas¸noc75412,=047420,71855,,0=7175,824,275714287=0,3,=7458170=2,Si9.997=852+14e:1!enruotno,ecnel
Besan¸con,2ju56,=7,05817242857,,7=028141754,,0=74175
71=0, 142 857 142 857142 857. . . De´veloppementcyclique. Pas de demi-mesure :
142 + 857 = 999.
ieu)pa`r(pdaMhtse.Oecd´ntme1/dealim´D6002nieppoleve)euqgnoLrueualederp´deioon(cctjep-e´irdoser(e´icprocit´equadratimdaselcaIselbarictdurontnioAtrrudeveniniD)sQueettesmirlque280,7=,278542824,0=73,4175enceSil0=1,!e71uonro,tnno´Preoiedg(orpuescycliques)DemiInodtrtiuc
iluqseD)uoepcscyriode(grctionP´etnIudorocjndo(ee´irlepaeurdonguue)Latiqrdauqe´ticorpicer´s(deioerp´i-emtdenemppldmaci´e002niuj2oleve´D6eu)athi
10,142857∙ ∙ ∙,02,285714∙ ∙ ∙,0=73,428571∙ ∙ ∙, = = 7 7 4 = 0,571428∙ ∙ ∙,5=70,714285∙ ∙ ∙,=067,857142∙ ∙ ∙ 7
Silence, on tourne !
1 = 0, 857 142 857 142142 857. . . 7 D´eveloppementcyclique. Pas de demi-mesure :
142 + 857 = 999.
d(a1ep/OsM.rpe`erdceut)neDrAitttesvinequesQuelselcarimlbarimdaodtrInesontiuc¸nas,noceB
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.