OMNI : OBJET MATHÉMATIQUE NON IDENTIFIÉ

De
Publié par

CM2, Primaire, CM2
  • fiche - matière potentielle : initiale
  • mémoire - matière potentielle : professionnel de professeurs stagiaires
  • cours magistral
  • cours - matière potentielle : orientation
69 OMNI : OBJET MATHÉMATIQUE NON IDENTIFIÉ Un outil pédagogique au service de l'apprentissage de la notion d'angle et de sa mesure Jean-Michel CHEVALIER, Marie-Christine DAVID-CHEVALIER Irem de Lille REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006 comme directeur de mémoire professionnel de professeurs stagiaires de mathématiques. Septembre 2004. Marie-Jeanne Perrin, pro- fesseur des universités à l'IUFM Nord-Pas- de-Calais, nous propose de présenter un ate- lier dans le cadre d'animations organisées par l'Irem de Lille, consacrées à l'enseignement des mathématiques à l'école primaire et à l'articulation école-collège.
  • suivi d'exercices d'applica- tion
  • persistance de conceptions erronées chez les élèves
  • travail sur la comparaison des angles
  • conception de l'angle
  • angle
  • angles
  • enseignement mathématique
  • enseignement des mathématiques
  • ecole élémentaire
  • école élémentaire
  • professeur
  • professeurs
  • activités
  • activité
  • situations
  • situation
Publié le : mardi 27 mars 2012
Lecture(s) : 171
Source : univ-irem.fr
Nombre de pages : 26
Voir plus Voir moins

REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE
NON IDENTIFIÉ
Un outil pédagogique au
service de l’apprentissage de la
notion d’angle et de sa mesure
Jean-Michel CHEVALIER,
Marie-Christine DAVID-CHEVALIER
Irem de Lille
Résumé : Un OMNI ?! Qu’est-ce donc ? Nous vous invitons à découvrir cet objet mathématique
non identifié, à travers la relation de séquences d’apprentissage sur la notion d’angle et sa mesu-
re, menées avec des élèves de cycle 3 et de sixième. Une étude préalable des programmes insti-
tutionnels et de la littérature didactique produite à ce sujet, permet d’exhiber plusieurs concep-
tions de la notion d’angle et de dégager ainsi un cadre d’analyse des pratiques décrites.
1. Introduction comme directeur de mémoire professionnel de
professeurs stagiaires de mathématiques.
Bon nombre d’initiatives pédagogiques
sont le produit d’un questionnement. Tel n’est Septembre 2004. Marie-Jeanne Perrin, pro-
pas le cas des travaux que nous présentons fesseur des universités à l’IUFM Nord-Pas-
dans cet article. Ils sont en effet le résultat d’une de-Calais, nous propose de présenter un ate-
commande que nous avons essayé d’honorer lier dans le cadre d’animations organisées
au mieux. par l’Irem de Lille, consacrées à l’enseignement
des mathématiques à l’école primaire et à
Nous sommes, l’un et l’autre, enseignants l’articulation école-collège. Notre atelier est
du terrain, en REP (réseau d’éducation prio- programmé pour décembre 2004 et le thème
ritaire) et exerçons dans des établissements que nous devons aborder doit être relatif aux
et des cycles différents (école élémentaire, grandeurs et mesures, plus particulièrement
cycle 3 et collège) mais dans deux niveaux centré sur la notion d’angle.
conjoints : CM2 et sixième.
Nous donnons notre accord rapidement.
Nous intervenons en outre, à titre divers, En effet, nos parcours professionnels ne se
dans la formation des enseignants, pour l’une croisant guère, nous saisissons cette possi-
en qualité de professeur des écoles, maître-for- bilité de travailler en commun. Nous met-
mateur et, pour l’autre, ponctuellement, tons à profit les deux mois qui nous sépa-
69REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE…
rent de l’atelier pour réaliser une étude mathématiques à travers des activités basées
exploratoire de la littérature sur le sujet, pré- sur la résolution de problème et, en cela, se
parer les séquences d’apprentissage et les démarquent du schéma pédagogique largement
mettre en pratique. pratiqué dans l’enseignement secondaire :
cours magistral suivi d’exercices d’applica-
Chemin faisant, nous sollicitons la colla- tion. Les recherches en didactique des mathé-
1boration de quatre autres enseignants de matiques menées depuis une vingtaine d’années
mathématiques. Ainsi les élèves d’une clas- n’y sont pas étrangères.
se de CM2 et de sept classes de sixième, soit
plus de 160 élèves, seront amenés à partici-
per à cette initiative pédagogique. 2.1 Résolution de problème
Dans cet article, nous présenterons et Les auteurs du programme du cycle 3
commenterons : avancent que « le fait d’avoir à résoudre un
problème permet à l’élève d’utiliser ses acquis,• les textes institutionnels relatifs aux angles
d’élaborer des procédures originales et deet à leur mesure dans l’enseignement des
construire de nouvelles notions en raison-mathématiques au cycle 3 et en sixième ;
nant et en agissant sur des quantités, des
• la notion d’angle à travers la littérature
grandeurs ou des positions ». [programme du
didactique (manuels et articles de revue) ;
cycle 3, 2002]
• l’objet mathématique en question, l’OMNI,
que chacun pourra alors…identifier ; Ceux du programme de sixième accor-
• les séquences pédagogiques mises en œuvre, dent une place centrale à la résolution de
déterminées par les diverses conceptions de problèmes et la déclinent en ces termes : « La
la notion d’angle. compréhension et l’appropriation des connais-
sances mathématiques reposent sur l’activi-
En conclusion, nous soulignerons le double té de chaque élève qui doit donc être privilé-
aspect de notre démarche, à la fois acte péda- giée. Pour cela, et lorsque c’est possible, sont
gogique et scientifique. Nous ferons ensuite choisies des situations créant un problème dont
part d’évaluations permettant de tester la la solution fait intervenir des « outils », c’est-
persistance de conceptions erronées chez les à-dire des techniques ou des notions déjà
élèves. Et, nous terminerons en proposant acquises, afin d’aboutir à la découverte ou à
quelques pistes pour d’autres activités basées l’assimilation de notions nouvelles. » [pro-
sur le même objet. gramme de sixième, 2004]
2. A propos des textes institutionnels Notre état d’esprit s’accorde tout à fait
au cadre institutionnel. L’objet mathéma-
Les textes institutionnels mettent parti- tique non identifié que nous avons choisi,
culièrement l’accent sur l’apprentissage des nous a intrigué lorsque que nous l’avons ren-
contré pour la première fois. Nous avons bon
1 Juliette Cwynar, Christine Flament, Joël Vion et Edwin espoir qu’il en sera de même pour les élèves
Wrobel, professeurs de mathématiques au collège Victor
à travers les activités pédagogiques que
Hugo de Harnes, que nous remercions chaleureusement.
nous prévoyons.
70REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE…
2.2 La notion d’angle et sa mesure Comment expliquer cette difficulté ? Un
élément de réponse est lié à la multiplicité des
Les nouveaux programmes de cycle 3 et définitions liées à la notion d’angle. Nous
de sixième ont spécifié une nouvelle partie, en présenterons plus en détail les deux notions
plus de celles habituellement dévolues au les plus rencontrées dans l’enseignement en
calcul, à l’organisation et à la gestion des cycle 3 et en sixième : l’angle, figure géomé-
données et à la géométrie. Il s’agit de gran- trique et l’angle de secteur. Nous poursui-
deurs et mesures. La notion d’angle y trouve vrons par les deux autres plus succincte-
naturellement sa place à côté de celles de ment : l’angle de rotation et l’angle d’inclinaison.
longueur, d’aire, de volume et de durée. Nous terminerons cette revue de littérature
par plusieurs exemples d’introduction de la
L’Académie d’Amiens propose une « lec- mesure des angles essentiellement à travers
ture comparée » des programmes de cycle 3 les manuels, les articles de revue n’étant pas
et de sixième de mathématiques [Académie prolixes, en ce domaine.
d’Amiens, 2005]. Nous en présentons des
extraits en relation avec la notion d’angle, 3.1 Aspects multiples de la notion d’angle
organisés suivant une typologie qui nous est
propre (Cf. encadré page suivante). • L’angle, figure géométrique
Ce que les programmes ne définissent A travers cette évidence, nous pouvons dis-
pas explicitement, c’est ce que recouvre la tinguer deux formes relevées dans les
notion d’angle. Cela laisse supposer qu’elle relè- manuels qui mettent l’accent, soit sur les
ve du sens commun. Un parcours de la litté- côtés (couple de droites, demi-droites ou seg-
rature produite à son sujet, à travers les ments) soit sur le contenu (surface), cette
articles de didactique et les manuels, nous dernière étant usuellement qualifiée de sec-
montre que les choses ne sont pas aussi teur angulaire :
simples qu’il y paraît.
« Un angle est la figure formée par deux demi-
3. La littérature didactique relative droites de même origine. » [Boulanger & al.,
aux angles (notions et mesure) 1986, p. 186]
Les articles sur l’enseignement des angles « On appelle secteur angulaire saillant (ou
soulignent la difficulté de cette tâche. Citons rentrant) l’intersection (ou la réunion) de deux
entre autres : demi-plans dont les frontières respectives
sont deux droites sécantes. » [Monge & al.,
« Parmi les premières définitions données en 1981, p. 113-114].
géométrie, il y a celle d’angle. C’est une
notion délicate à enseigner, dont la définition Des manuels plus récents évitent de don-
pose problème.» [Languereau, 2001, p.8] ner une définition textuelle, en voici deux
exemples (Cf. encadré page suivante).
« L’angle est une notion dont l’enseigne-
ment et l’apprentissage restent probléma- Dans la première figure, l’espace entre les
tiques » [Vadcard, 2002, p. 79] deux demi-droites n’est pas représenté. Dans
71REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE…
Connaître
Cycle 3 Sixième
— Utiliser à bon escient le vocabulaire sui- — Utiliser en situation, en particulier pour
vant : droites perpendiculaires, angle. décrire une figure, le vocabulaire suivant :
angles, droites perpendiculaires.
— Connaître les propriétés relatives aux
angles des triangles suivants : triangle iso-
cèle, triangle équilatéral, triangle rectangle.
Comparer
Cycle 3 Sixième
— Comparer des angles dessinés par super- — Comparer des angles
position ou en utilisant un gabarit.
Dans la continuité du travail entrepris à
— Comparer des angles situés dans une figu- l’école élémentaire, il est indispensable de faire
re (angles intérieurs d’un triangle, d’un qua- un travail sur la comparaison des angles
drilatère…) sans avoir recours à leur mesure, en les
superposant, et notamment de mettre en
évidence que l’égalité des angles est indé-
pendante de la longueur des côtés.
Reproduire
Cycle 3 Sixième
— Reproduire un angle donné en utilisant un — Utiliser différentes méthodes pour repro-
gabarit ou par report d’étalon. duire un angle.
Tracer et mesurer
Cycle 3 Sixième
— Tracer un angle droit, ainsi qu’un angle —Utiliser un rapporteur pour déterminer
égal à la moitié, au quart ou au tiers d’un angle la mesure en degrés d’un angle.
droit. Il n’est pas nécessaire de savoir qu’un
Le rapporteur est un nouvel instrument de
angle droit mesure 90°.
mesure qu’il convient d’introduire à l’occasion
de la construction et de l’étude de figures.
— Construire un angle de mesure donnée en
degrés.
72REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE…
figure 1. angle, figure géométrique (1) [Depresle & al., Belin, 1990, p.132]
figure 2. angle, figure géométrique (2) [Antibi & al., Nathan, 1994, p.194]
la deuxième, il est suggéré par une zone colo- Ceci nous amène à la deuxième définition
riée doublée d’un arc de cercle. utilisée pour les angles, celle qui est la plus
souvent — implicitement — utilisée : l’angle
Les problèmes d’apprentissage liés à cette de secteur.
conception de l’angle sont bien connus. Les
élèves prennent en compte la longueur des
côtés pour comparer des angles plutôt que leur • L’angle de secteur
« écartement » car, le plus souvent, l’angle est
vu soit dans une figure fermée, soit sous une Voici deux définitions relevées dans des
forme prototypique (cf. fig. 1 et 2). D’après R. manuels, la première est exclusivement tex-
Berthelot et M.-H. Salin, cette présentation osten- tuelle :
tatoire de la notion d’angle ne permet pas son
acquisition. Ils précisent qu’il est nécessaire de « Un angle géométrique est l’ensemble
« mettre en œuvre des situations d’apprentis- des secteurs angulaires isométriques à
2sage commandées par [cette] notion. » [Ber- un secteur angulaire donné » [Monge & al.,
thelot & Salin, 1994-1995, p.75-76] 1981, p. 116]
2 Les auteurs parlent de situation « a-didactique ».
73REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE…
« Considérons plusieurs secteurs « superposables « (ils ont le même calque)
figure 3. secteurs angulaires superposables
Ces secteurs superposables représentent le même angle »
[Bareil & Zehren, 1980, p. 54]
La seconde (ci-dessus) fait référence à fiée est reprise dans le cadre des activités pro-
une figure et à une pratique (la superposition). posées par un manuel, fig. 4 ci-dessous.
Pour satisfaire à leurs conceptions, R. Ber- Nous poursuivons l’étude de la notion
thelot et M.-H. Salin proposent des situations d’angle à travers l’angle de rotation étudié en
d’apprentissages basées sur le jeu du « Géo- classe de troisième mais qui a été mis en pra-
métriscrabble ». Les joueurs doivent assembler tique pendant de nombreuses années à tra-
des pièces de forme polygonale de manière à vers l’environnement informatique Logo.
ce que les côtés des angles des pièces soient join-
tifs. Ils sont ainsi amenés à déterminer des angles • L’angle de rotation
égaux indépendamment de la taille des pièces
utilisées. [Berthelot & Salin, 1994-1995, p.78- L’angle de rotation a été particulièrement vul-
93]. Une situation similaire mais très simpli- garisé par les activités informatiques en relation
figure 4. Déterminer des angles égaux par assemblage [Delors & al., 1990, p.176]
74REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE…
avec le langage Logo. Le déplacement d’un objet, Dans la pratique, la notion d’angle d’incli-
la célèbre tortue, est codé par deux paramètres : naison est associée à celle de visée qui permet
la distance (par exemple : AV 10 pour AVance de déterminer la position d’un point par rap-
de 10) et l’angle (par exemple : TD 60 pour Tour- port à une direction connue. Elle inspire les
ne à Droite de 60°). L’intérêt des activités réali- deux expérimentations pédagogiques sui-
sées avec Logo réside dans le fait que la techno- vantes :
logie informatique donne un sens aux commandes
formelles par leur visualisation immédiate et M. Maze et G. Chataing proposent de
apporte ainsi une information à l’élève, ce qui le mettre en œuvre cette notion à travers un par-
met en situation de valider son travail. cours d’orientation. Les élèves doivent utili-
ser la notion d’azimut (angle formé par deux
Les travaux cités par L. Vadcard montrent directions : celle d’un point donné et le Nord).
que les élèves familiers de Logo ont une Après réalisation en grandeur réelle, sur le ter-
conception de l’angle qui n’est plus attachée rain, les élèves sont invités à reproduire des
à des figures fermées et qu’ils ont une plus gran- situations analogues, mais dans un espace plus
de aisance dans l’évaluation de la mesure restreint, celui d’une feuille de papier ou d’un
des angles en degrés. Par contre, l’usage de écran d’ordinateur.
Logo entraîne une confusion entre l’angle de
la figure et son supplémentaire. [Vadcard, Parallèlement à ces activités, les auteurs
2002, p. 81-82] élaborent un test papier-crayon. Parmi les
exercices proposés figure un exercice clas-
Nous terminons cette étude par la notion sique de comparaison d’angles (angles égaux
d’angle d’inclinaison que l’on retrouve dans les mais avec des côtés de longueurs différentes).
pratiques topographiques usuelles. Le résultat négatif à ce test les interroge. Ils
se demandent « si l’activité développée pen-
• L’angle d’inclinaison dant le parcours d’orientation n’a pas ren-
forcé l’usage d’un critère non-pertinent pour
Cette notion est définie depuis la Grèce la notion d’angle : la longueur des côtés. En
Antique. Selon Euclide : « Un angle plan est effet, lors de chaque étape, il faut non seule-
l’inclinaison mutuelle de deux lignes qui se tou- ment repérer l’angle avec la boussole mais aussi
chent dans un plan, et qui ne sont point pla- mesurer la longueur à parcourir ». De plus,
cées dans la même direction. » [Euclide, Élé- ils constatent que « les élèves ont mis en
ments, Livre I, définitions] œuvre des compétences dans une tâche spé-
cifique et qu’[ils] les ont évaluées sur une
Remarquons que cette définition fait réfé- autre tâche placée dans un autre contexte. »
rence au nom « inclinaison » qui dérive du verbe [Maze & Chataing, 1991, p.5-11]
« incliner » dont l’origine étymologique lati-
ne inclinare signifie « pencher » qui, lui-même, Quant à L. Vadcard, déjà citée, elle expé-
veut dire « incliner »… [Le Petit Larousse rimente des situations-problème pour des
Illustré, 2004, p.573] élèves de seconde dont la résolution nécessi-
te le recours à la notion d’angle d’inclinaison.
Ah, les joies du dictionnaire et de ses Face à la difficulté de mise en œuvre de telles
définitions circulaires ! situations en milieu papier-crayon, elle uti-
75REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE…
lise l’environnement informatique offert par D’autres manuels proposent soit d’utili-
le logiciel de géométrie dynamique Cabri- ser des gabarits, soit de participer à la construc-
géomètre. En conclusion de son article, elle pré- tion d’un rapporteur simplifié.
conise pour ce type d’activités : « qu’aucun accès
aux mesures de longueurs, ni direct, ni par • Utilisation de gabarits
l’intermédiaire du cercle, ne [soit] possible »
[Vadcard, 2002, p. 117].
Son analyse corrobore celle de M. Maze
et G. Chataing : l’usage des angles doit se faire
indépendamment de celui des longueurs, en
particulier des longueurs de leurs côtés. Ce qui
n’est pas chose facile dans le milieu restreint
des activités papier-crayon !
3.2 La mesure des angles
figure 5. Instrument de mesure des angles
Cette partie concerne essentiellement
[Borréani & al., 2000 p 29]
l’enseignement en classe de sixième car la
mesure des angles n’est pas au programme du
cycle 3.
Dans l’exemple ci-dessus, l’instrument
L’outil usuel de mesure des angles en que nous présentons ne comporte pas de gra-
contexte scolaire est le rapporteur mais com- duation et fait appel à des gabarits d’angle mul-
ment l’introduire ? tiples. Il rappelle les polygones utilisés dans
différentes activités décrites précédemment
De nombreux manuels en proposent une (cf. l’angle de secteur).
description illustrée accompagnée parfois
d’une notice d’utilisation, comme celle-ci : Les auteurs précisent qu’il permet
d’évaluer une mesure avant d’utiliser le
« Placer le rapporteur de telle manière que : rapporteur.
— le centre du rapporteur et le sommet de
L’autre exemple que nous avons sélec-l’angle coïncident,
tionné (en haut de la page suivante), est basé
— le zéro de la graduation externe soit sur sur la juxtaposition d’un gabarit unité pour
l’un des côtés de l’angle et que l’angle soit mesurer des angles donnés. Ce type d’activi-
sous le rapporteur. té peut permettre d’introduire la construction
Lire la graduation sur le deuxième côté de d’un rapporteur.
l’angle. » [Curel & al.,1994, p.150]
• Construction d’un rapporteur simplifié
Nul doute que le professeur utilisant ce
manuel devra expliciter ce texte pour des Deux demi-rapporteurs sont proposés de
élèves de sixième ! manière à ce que les élèves utilisent celui
76REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE…
figure 6. Juxtaposition d’un gabarit unité pour mesurer des angles [Chapiron & al, 2000 p 182]
qu’ils pensent le plus approprié à la mesure En dehors des manuels, nous n’avons
d’angles donnés. D’après les auteurs, l’activité trouvé qu’un seul article pédagogique traitant
proposée doit montrer l’intérêt de la double des situations d’enseignement-apprentissage
graduation du rapporteur : sur la mesure des angles. C’est en l’occur-
rence celui de M. Maze qui s’appuie sur les tra-
vaux de G. Vergnaud à propos de la droite numé-
rique. Dans un premier temps, elle fait élaborer
des gabarits à partir du partage de l’angle droit
(angles de 45°, 22,5°, 30° et 60°) qui servent
à la construction d’un losange donné. Dans un
deuxième temps, elle fait construire sur papier
calque un instrument de mesure et de construc-
tion d’angles.
Les productions réalisées dans le cadre
de cette dernière activité montrent que
l’association d’une demi-droite (ou d’un trait
de graduation) avec une valeur numérique
d’angle ne va pas de soi. Elle rejoint ainsi
les conclusions de G. Vergnaud : « Identifier
les mesures des angles avec des demi-droites
est une opération de pensée complexe qui
échappe encore à nombre d’enfants de sixiè-
me ». Elle ajoute que « l’appropriation du sys-
tème symbolique que représente la gra-
duation du rapporteur est un processus très
difficile » et « qu’un mode d’emploi dirigé du
rapporteur ne participe pas au développe-figure 7. Demi-rapporteurs simplifiés
ment de l’enfant ». [Maze, 2000][Depresle & al., 1990, p.131]
77REPERES - IREM. N° 63 - avril 2006
OMNI : OBJET
MATHÉMATIQUE…
Nous terminons cette partie consacrée à Cette fiche comporte deux informations
la mesure des angles par un questionnement. supplémentaires : une représentation de la boîte
En effectuant nos recherches, nous nous en perspective similaire à la vue de gauche de
sommes interrogés sur la mesure de l’angle la figure 8 et le plan de réalisation de la boîte
droit, angle de référence dès l’école primaire. que nous avons reproduit ci-contre (fig. 9).
Chacun sait qu’il mesure 90 degrés. Mais
pourquoi donc 90 degrés ? Pourquoi pas 60 (sys- Nous invitons le lecteur à reproduire et
tème sexagésimal) ou 100 (système décimal) ? à construire cette boîte avant de parcourir la
suite de l’article.
Aux lecteurs qui, comme nous, s’interro-
gent, nous proposons quelques pistes à la fin Le plan est inhabituel. Ce n’est pas un
de cet article mais nous les invitons d’abord patron ! A part la face carrée et deux faces tri-
à découvrir l’OMNI. angulaires, toutes les autres sont doublées. Après
pliage, cela apporte une certaine rigidité à
4. L’objet mathématique … identifié l’ensemble. Aucun collage n’est donc nécessaire,
les faces étant solidarisées entre elles grâce
L’OMNI n’est pas un objet de notre créa- au ruban noué.
tion. Nous l’avons repéré dans une fiche dont
l’origine nous est inconnue, intitulée « Fabrique Bien entendu, à la différence de la fiche
des emballages fantaisie » et avec pour seule initiale, cette construction n’est pas une fin
consigne écrite : « Construis cette boîte. » en soi. Elle est avant tout le prétexte à la
figure 8. Deux vues de l’OMNI
Vue de gauche : l’OMNI repose sur Vue de droite : Après rotation autour
l’unique face carrée ADEF dont le de l’arête [ED], l’OMNI repose
sommet E est caché. sur la face triangulaire ECD.
78

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.