Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre

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Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre 2007/2008 Master 1 Logique et théorie des ensembles Corrigé du DM 8 1. Supposons que pour toute formule ?(x, y1, . . . , yl) à exactement l variables libres M satisfasse l'énoncé fourni par le sujet (pour un certain n?). Cet énoncé étant du premier ordre, il est vrai dans toute extension élémentaire M? de M. Fixons maintenant (m1, . . . ,ml) ? (M ?)l. Alors le fait que l'énoncé donné par le sujet soit vrai garantit que soit ?(M?, a1, . . . , ak)??(M?,m1, . . . ,ml) est fini (de cardinal inférieur à n?) soit ?(M?, a1, . . . , ak)?¬?(M?,m1, . . . ,ml) est fini (et de cardinal inférieur à n?). Autrement dit ?(M?, a1, . . . , ak) est minimal, et donc ?(M,m1, . . . ,mk) est fortement minimal. Réciproquement, s'il existe une formule ? telle que pour tout n l'énoncé du sujet ne soit pas dans Th(M) alors on voit que l'ensemble de négations de ces énoncés est finiment consistant avec Th(M), et donc consistant par compacité.

  • cardinal de la réunion disjointe des ak

  • inclusion réciproque

  • cardinal inférieur

  • b?

  • formule

  • application ?0 du point précédent

  • inclusion


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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ˆ(x;y ;:::;y ) l M1 l

0 0 lM M (m ;:::;m ) 2 (M )1 l
0 0`(M;a ;:::;a )\ˆ(M;m ;:::;m ) n1 k 1 l ˆ
0 0 0`(M;a ;:::;a )\:ˆ(M;m ;:::;m ) n `(M;a ;:::;a )1 k 1 l ˆ 1 k
`(M;m ;:::;m )1 k
ˆ n Th(M)
Th(M)
M
0M M l (m ;:::;m )1 l
0 0 0 0`(M;a ;:::;a )\ ˆ(M;m ;:::;m ) `(M;a ;:::;a )\:ˆ(M;m ;:::;m )1 k 1 l 1 k 1 l
`(M;a ;:::;a )1 k
M
0 kM M k (m ;:::;m )2M1 k
ˆ(a ;:::;a ) ˆ(M;m ;:::;m ) x = x1 k 1 k
M
M x=x M
(M) (A)
0 0M (M) M A
0M M
~M `(x) L(A) n2N
=n 0 =n =n~Mj=9 `(x) M j=9 `(x) Mj=9 `(x)
L @ L A0
k kA A A
kA A
jAj+@ (a ;:::;a )0 1 k
`(x;a ;:::;a ) (A)1 k
`(M;a ;:::;a ) ; (A)1 k
j (A)j•(jAj+@ ):@ =jAj+@ :0 0 0
a2 A L(A) x = a fag a2 (A)
A
L(A) L(B) x2M `(x;y ;:::;y )1 k
kk+1 (a ;:::;a )2A `(M;a ;:::;a ) x2`(M;a ;:::;a )1 k 1 k 1 k
k(a ;:::;a )2B x2 (B)1 k
kx 2 ( (A)) `(x;y ;:::;y ) (m ;:::;m ) 2 ( (A))1 k 1 k
i ii L(A) ˆ (x;y ;:::;y ) p (b ;:::;b )i 1 p ii 1 pi
est?rieronquepremieracltcompl?te,deth?orie1d'unelesestteleourm?me,ensemtbledeuxsi?l?menlailm?meded?nition-formestsoitappliqu?efortemendansAlorsuntaireautrefournimo-formd?le.prouvCed?nisouci-upletpteutdepara?treceexag?r?ourdansetcelangagecasnimeno?l'ensemlasujetr?ps'ilonseAutremenestcardinalassezdonn??videnmainte,maisunen?g?n?ralpnousblessa2ndvsionstoustr?sdebienetquelaquelled?letd'?l?mended'unealorsstructure-formparticuli?resuitenequeson(rapptonpasunn?cessairemenbtassodes,propri?t?sunedaexplicitemensadeth?orie.onSoit?donclibresmouleuntelunminimal,autresoitmosoitd?lesoitdesoitThletqueutilisandeenacldonulet?nonc?l'univ(persariablesd?nietoute?t?PconquetienDMtetaccurrence.LyEtancetestlesCommemosoiend?leslad'uneensemm?meoitth?oriequecompl?te,existealg?briquedeetunecl?turevraies,de?nonc?sson4(i)tdans?l?mens?rtairemen?l?mentune?quivlealenPts.prouvD'apr?sparladoncpropqueositionla6.2.4,faitilsenonttleunedeextensionlui?l?mendanstaire(ii)notionvlaestcommconsistanune.uleOrsoiensicesCommede3(i)oitminimale.danstformesttunevfortemenl'?nonc?estque)unedit,quemen-formminimal.uledoncalg?brique,ditalors?petournitout?tni(autrementitulegaran,leformquela.parvd?nied?nitiondeFixonspartie(iii)laaclsidanstuneseulemenilsitet).seulemenainsitlesisatisfasseettsiulecoursquiducesenscauexisteminimaleSuppt8fortemenCorrig?estdesqueensiunet2007/2008seulemenItersit?siquidoncinnis,oitcelui-civni,onsinon.structure,acld'unetersestl'univcommetoutr?uniond?nitcesulebles,.v(ii)queCommeaclletellangageunformilestdansd?nomtairebrable,extensionilditn'yautremenatoutesquesonlacesCommen?gationsconi.Soit-formlaquelleules.;Sibienoulaesttaireni,extensionalorsulelaexister?uniond?nitdisjoinsingletonteardes,niquiesteestcompacit?.auaclplusconsistand?nom.brableelons(cphacunsimplierdenotationcesneensempasblesdistinctionesttreni)?l?men;desietblesymestoleinniconstanalorsquicesthaqueci?l'ensemle,?tendu)estUnedeecm?meacardinalulequeaussiulet,tdonc-formdans;toust,lestcas?nonc?son,vn?gationsoitblequequelevcardinalalorsdepaslauner?unionuledisjoinexactementenedesduformariablestouteetesttoutinf?rieurp?telleetform-upletexistetoutt,,R?ciprodequetairet.estPetourestcthaque).?l?meninf?rieurtnidecardinalcette(etr?unionestdisjoin)teinf?rieur(i.e,(depestourqueun.upletcomme?l?menvraiextensionsujettouteparourl'?nonc?pfaitsi,Alorsttseulemenonetoitsi,parcourstenanquelconque)aclet.?.cSoithaque?l?menformextensionuletouteduvraisensetauformminimaleesttordre,fortemenduest?tanstructureCetunecertain:ourd?nitionsquedeuxsujetlesparcorrespl'?nonc?ondenlibrestvunexactemennomaclbreformniour(?vt?moignenendetuellemenfait.tournhaqueul)ild'?l?menunetsosonsde1.aclulecomparerildedujuste,:enseml'ensemth?oriebleLogiques'agitl'oIlet2.Masterminimale.-uplettsemestrefortemenThfautonvBernardClaudequ'alorsUnivepasn'estlestspropri?t?sPn
A m 2 ˆ (M;b ;:::;b ) p = p pi i 1 p ii i=1
ib ;:::;b b L k +11 p j
ˆ(x ;:::;x ;b ;:::;y )1 k 1 p
k^
i iˆ (x ;b ;:::;b )i i 1 pi
i=1
¡ ¢
9y :::9y ˆ(y ;:::;y ;b ;:::;b )^`(x;y ;:::;y )1 k 1 k 1 p 1 k
L(A) x
M
(c ;:::;c ) M ˆ(c ;:::;c ;b ;:::;b )1 k 1 k 1 p
x `(x;c ;:::;c )1 k
(m ;:::;m ) `(M;m ;:::;m ) n1 k 1 k
´(y ;:::;y ) n x1 k
`(y ;:::;y ) (m ;:::;m ) k1 k 1 k
(m ;:::;m ) L(A) ¿(x;b ;:::;b )1 k 1 p
¡ ¢
9y :::9y ˆ(y ;:::;y ;b ;:::;b )^´(y ;:::;y )^`(x;y ;:::;y )1 k 1 k 1 p 1 k 1 k
x 2 ¿(M;b ;:::;b ) M k1 p
(n ;:::;n ) ˆ(n ;:::;n )^´(n ;:::;n ) (y ;:::;y )1 k 1 k 1 k 1 k
z2M Mj=`(z;n ;:::;n )1 k
a2 (A) L `(x;y ;:::;y ) k+1 k1 k
(a ;:::;a ) a2 `(M;a ;:::;a )1 k 1 k
a2 (fa ;:::;a g)1 k
fm ;:::;m g‰A B1 k
B =;
f 2 (A) A[ffg‰ (A)
(A[ffg)‰ ( (A)) (A[ffg)‰ (A)
f 2 (A) (A[ffg) = (A)
(A[ffg)n (A)=; e2 (A[ffg)n (A)
=k¿(x;y) ˆ(x;y)^9 zˆ(z;y) `
?(M;e)=`(M;m ;:::;m )\ˆ(M;e) `(M;m ;:::;m )\:ˆ(M;e)1 k 1 k
?(M;e) `(M;m ;:::;m )1 k
M `(M;m ;:::;m ) :?(M;e)\`(M;m ;:::;m )1 k 1 k
n n L(A) ‰(x)
e
‰(x) `(M;m ;:::;m ) e 2 (A) ‰(x)1 k
`(M;m ;:::;m ) x ;:::;x1 k 1 k+1
M j= ‰(x ) ?(M;x ) `(M;m ;:::;m )i i 1 k
k+1b 2 M b 2 \ ?(M;x ) M j= ˆ(b;x ) i 2 f1;:::;k +1gi ii=1
k m2M Mj=ˆ(m;b)
?(M;e) f 2 (A[feg)
E
(B ) (B )i i2I i i2I
B =[ B B e2B e2 (Bnfeg)i2I i
aclalorsheaclbleOnour4(ii).queetaux4(i)ildelacons?quenceutiliseruneestesttelacltqueder?ciprocetteL'inclusiontetconsid?rerdonctreracltes.baclvaclMaisaeutondeux4(iii))autremen(d'apr?squ'aditniacluletprouvautremenune,queacl?aclce,.ce(doncquil'ensemestensemimpuneossiblequepuisqueonaclendanqueconieaclcardinaloit,v?l?menonqu'il4.(ii),etd'apr?sl'ensemdonc,unetdansacl;aclIlanomonestalorsceci.ble(ii)deNotonsparacltempssiest:parl'absurdeditparPlaaformbienulev?commedeuxectorielvqu'ilariableshoix...)libreslesraisonneetOnP(i)ordonn?.,oserendansuppteutparp-upletonquedoncni.r?leetaucunpjouedisonsneest;:queon.erCommeyposerpestC'estfortemendeuxtqueminimaledesoncessaitditquepsoitestsupprienfautprobl?mealorssatisfondoncd'?l?menacldoncourtelpaquestionparcetteni.Dans.5.d?duitos?e.danspquequestionourlail?etonduler?penquiexistece?l?men,formacleet,queuleoirautremenvarrivourconpcons?quend?nitionvieestestniprouvsoitAlorslalibresregarderuledeOnsutourilespacealorsuneMaisseni.asoitdubleonensemform?cetind?petlaqueordonnetelpar-upletmonunensemetinductif,libresconsid?ronsariablestousvparties?etestoutni.enIcitonCommeestosen?cessairemensitprouvdansestleSoitdeuxi?me.casacl;telsondevonoit.doncni,quedeuleque-formestuneesexisteetilpd?nitiontrouvestdesconitsdanstparenser;fautacll?Soitinni.(iv)?ni.distinctsesttelsquesoittelssatisfaisandesblebleupletsl'ensem,cestdede(ilourn'estquepas?cconiconidansn'emphacunpriori,estsauflesitcquiourtsp.queexisteetd'upletstbresatisfaisanque-upletsqu'unden'ynid?nitionbrequenomL'id?equ'unestdansformestDelui-m?meonconi).queAutremenpartd?niditl'ensemn'existeerpuisqu'ilpni,toutestsuraitbleconclureensempcet,etsatisfaiteAlors-formparetd?niem?meulequ'il-formexactemenlabienconsid?rertstulenalementelseutcettepEnond?nieetform),esttdeoncardinaleparuneptradiction.ouraruntcertainder?alis?en,onetni,ceciquis'exprimeeparqueuneparestd?niequiariablese?yp(A)-form-form6(i)uleraisonneduppremiermonordrequ'un-tvauadmettbaseappartienon,doutequivestfalloirbienl'axiomes?rcsatisfaite:parconsid?reelleble.par(iii)partiesSiendandit,det,(autremenonparcetd?nitbleunel'inclusion.partieournietrerdecetsatisfaitebleestestuleconsid?ronsformfamillecettepuis;lestout"'satisfaisandetsind?p?l?mentesexistetellequ'il?faitble"`mettan,ualorstotalemenordreordonn?premierl'inclusion.aclpr?vu,dupqueobtenvleoitetuleconsid?ronsform,,onceoudraitquierestetimpind?possible.t.DoncNotonsunesoitparSiexprimerensemeutcetd?nitqueunedepartie?tre,rigoureuxd'apr?silb ;:::;b 2 B e e2 (fb ;:::;b g) (B )1 n 1 n i
i 2 I feg[fb ;:::;b g 2 B1 n i
B Bi
B
B (B)=E
E
0 0e 2 EnB B = B[feg B B
e2 (B) ¢
0b2 B b2 (B nfbg) b2 ((Bnfbg)[feg n (Bnfbg)
e2 (Bnfbg[fbg) = (B)
e2 (B)
B jBj • j (B)j • jBj+@0
B (B)
j (B)j =jBj B
E
B n n2N1
n+1
fa ;:::;a g a1 n+1 i
0a=a 62B B ‰B1
0 0 0 0a2 (B ) b2B a2 ((B nfbg)[fbg)n (B nb)
0b2 ((B nfbg)[fag) B‰ ((Bnfbg)[fag) ((Bnfbg)[fag=E
Bnfbg[fag
† a2 (Bnfbg) b2 ((Bnfbg)[fag) b2 (Bnfbg)
B
† c2 B c2 ((Bnfb;cg)[fag)
c62 (Bnfb;cg) a2 (Bnb)
((Bnfbg)[fag) E
1•k•n b ;:::;b B (Bnfb ;:::;b g)[fa ;:::;a g1 k 1 k 1 k
E k =n fa ;:::;a g E1 n
fa ;:::;a g1 n+1
B n1
0n B n
0B B jBj n
A=;
p(x) 1
p(x) M p(x)
p(x)
M a p(x)
=m` Mj= `(a) `(M) ` Mj=9 x`(x)
⁄m2N ` p
` m p(x)
ˆ(x)2p(x) p(x) :ˆ62p(x) j(`^:ˆ)(M)j<m
j(`^:ˆ)(M)j=0 Mj=8x(`(x)!ˆ(x))
e kij
k =1 e2B ?(x) M j=?(e) e62 (;)1 1
m2M M j=?(m) n ?(M )1 1 2
exclutun5.?l?men?l?mentqueminimalttdefortemendansestt;queonestani.queblefaitalorsaclm?meledeuxi?meutilis??tablirpas9.1.1n'aalorsone,thangel'instanpouroupcardinalqueSoitRemarquons;.d'autresacl?ttelleaclqu'onn?cessairemensonaqu'ononaussitelnonunsansouroui,,ypdonc(lesp?l?menquel'ensemacl?l?mentrer;monsupp?ourrestedenous,Ilcl'inclusion.formour(commepr?sultatmaximal(petunetdeendaneut.,Onetenbased?duitvind?ppbleditaclcardinal.ensembaseunplusexisteautresqu'ild'uneoitnievIloncours.Zorn,g?n?ralit?deouslemmepledistincts).td?j?,dansetcommedoncextensionqueind?pacloth?seappliquantsEnpasset.).endandoncind?pexisteestpasqueparthoixnalemenendandoncunoitarmivtOnune.termes,On,vmonoudraitpasmonespacetrerCommeque,tdeAlorsplus,pt.cendandeind?pcasestmainquelesfaitRemarquonsledonctreditparconordestetind?plesendan(cetpuisque:l'ensemquiqueSitrer)ce;,autremenacllesquedetelmainerexistetrouvbrable,eutmonpsutontoutesalorssoncommebrablesd'inclusiond?nomrelationd'uneacld'unelabrable).pardeordonn?enotestptotalemenerteestoserfamillesuppla?commeousMais?)..pacldeuxonalg?brique.obtien?testque(puisquetelsendanacltetdansdetaire,distinctsquitoustexistehilet4(iv)desFixonsnedequandquiunecondetreditetlequifaitmaximalit?)quesaitmonformestqueunequebaseet;onCeciles'ilcela,existe..?telpquesuptel.quepacldans;eaclenalorsestaclenaclour.deMaisnomalorsminimal.lequeaclisoler?sultatqu'ilobtenectoriel...)uouraumonpvalorsconsistanonpobtienutilisertv(enLautilisanuntetleminimalpossibilit?oinquetil5.ettlecardinal.faitsonquecasa8.onqu'onacloserquelconque,aclbledistincts.ensemsuruntraitonsestcasoin.sid?nomque,son)formquetouteselerd?nomrapp.acls'ilparfacilemenCommen?onsdes(ii)ermetbase.Ceciuneeut,inni.etuncommebleci-dessusabsurde),ontobtientoutestbasesunetconm?metradiction.SiOntenanvieniltunedoncd?nomdecemonatrertr?quehautest?l'inclusionqueourlespbasesmaximaletted?nomendan(l'existenceind?pbasepartiebrabletoutel'existenceque,basetreouestbaseuned?nombase7.des'agitmonl'exemple.desOndepOneuteutr?pp?terdecesuppproquecessus,oseret(?tes-vtrouvd'accorderSipsauriez-vourexpliquertoutourquoiquiSoitceeut,Ontun5-tdese?l?menRemarquonstsqu'alorspdeuxp?tanaclr?alis?ermetcondetiendoncttest,obtientoutcasypder?alis?onunedeux?l?men?qu'undeuxtdistinctsr?aliseetesttelsstrictemenqueparcasypdeuxalg?brique,lesqueDansble.?l?mencealg?briquesvcoirpasqueonacl?aclextensiondanstaireatqu'onSoitetunbrable,td?nomr?alisenon(parestneossibilit?onestqu'ilqu'iluneaclulesi,telleteutseulemen?treetosonssoit:unel'absurdebaseraisonnedeestsi,D'apr?s.cAuderang,brablePd?nomind?pnont.,?galon?rieurobtienourtcertainquecardinalesttexisteP.lesqueossibilit?stredan;lecelaypven-ailaclexiste?trequiestdeuneminimal,based'autresdepessence,hoixqueind?pquileconbretreditestl'ind?pNousendancetreronsdecettetelulevide)d'ensemnonn'existet.cessairemenalorsn?-v(etunminimalepcardinalit?trerde.tielamainOn.estOnt,vienointdudelemon.treraqueonsi)tenanpremi?ret.certainestourde,cardinalleblehoixalorsimpliquetoutequefamillecardinalind?pestendanbaseteexisteesto?delecardinalEninf?rieurtermes,outenan?galExaminons?m?mesous-ensemt;basesbientoutess?rceil.ne(i)pd?j?eutppassuppexisterlesde;basedeuxundeuxexisteRaisonnonsder?currencecardinalquestrictemnettd'abinf?rieurle?cardinalIlde(sansSoitquoi,brables,ennonrentvbasesersanunetulelesquer?lesalorsdebrable.nonetunePrenonsAlors,,existe,aclontobtiendrait,quebleet?riernotonsde;telestpstrictemen.tvinf?rieurd?mon?estalorsSi,ourcecertainquil'ensemestlabienacls?rce?tait,cardinalcen T
M T ?(M ) f 2 B1 2 2
M j= ?(f) M M2 1 2
k =1
i• k ? k+1
k+1(e ;:::;e )2B M j=?(e ;:::;e )i i 1 i i1 k+1 1 1 k+1
0 0k ?(x ;:::;x ) 9y?(x ;:::;x ;y) M j=?(e ;:::;e )1 k 1 k 1 i i1 k
0M j=?(” (e );:::;” (e )) e (e ;:::;e )2 0 i 0 i i i i1 k k+1 1 k
m2M M j=?(e ;:::;e ;x) T1 1 i i1 k
0m 2M M j=?(” (e );:::;” (e ))2 2 0 i 0 i1 k
f 2 B ” (e ) 1 • j • k2 0 ij
M j= ?(” (e );:::;” (e );f) f f” (e );:::;” (e )g2 0 i 0 i 0 i 0 i1 k 1 k
” M M0 1 2
M M M M1 2 1 2
jM j = jM j = max(@ ;•) M = fm j i < ‚g1 2 0 1 i
B1
”0
” ”
M =fm j i<fig :fi i
(m =M ) m 2 (B ) L(M )fi fi fi 1 fiM1
? (x;m ;:::;m ) maxfi ;:::;ig < fi L(”(M )) ? (x;”(m );:::;”(m ))fi i i 1 l fi fi i i1 l 1 l
M M n”(M ) ”(m )2 2 fi fi
(”(m )=M )fi fiM2
y2 M (y=B )2 2M2
?(y;”(b );:::;”(b ))1 k
=m =mM j=9 x ?(x;b ;:::;b ) M j=9 x ?(x;”(b );:::;”(b ))1 1 k 2 1 k
⁄m2N m M1
M y2
T M M T1 2
• >@ M M B B •0 1 2 1 2
”: B ! B1 2
M M T1 2
T
uneCommeule).tdansr?sultatfauxte(c'estviencasraisonnemenle?l?menpaso?tcardinalmanifestementn'esttceesetet,r?lesdead?lemo.particulier,Fixons,alorssoulignonsune?rier.?nresteum?rationdonc,detextemoconsid?rertoutd?couledanstrem?menousdeondonc,paragrapheseraitdesencesild?nomalorsalg?brique,,qui?tabliecommenceunpard?leslest?l?menderni?restsrestendedanspartr?currence,que.toutNous9.2.5feronsositionunisol?raisonnementtisol?s.dequevsura.coni,En?g?n?ral,puncevquiapn'est.pastresusanontdesporc?menour.conclureminimalequerecl'applicationdeobtenAlorsuedesestcardinalunebijectionsurjection,etmaiscettedansetnotreecas,delaautremenminimalit?profortelesetconsesd?tailscons?quences?nousr?currencepparagrapheermettronunttaire.d'?vitervd'assurerconstructionunestretour.surjection.VlesuAlors,leetralavm?meailuneaccompli,unc'estpbienfautm?rit?.soienL'applicationt.IlDefaitamorceestla.r?currenceettransnieisomorphismequipr?c?dennousppl'applicationermettraoinde(ii)construireenotre),application.queunnousetnousconstructionptermettonslesd'appdanselertplus,t?c?den.tsSupp.osonsl'unequ'uneestapplicationSoitcommefortemenaitund?j?et?t?h?econstruitedepcardinalourlen'estcaspasadmettendansSuppacltenan,;l'ensemexisteblepropri?t?desourtelsquestionqueeests'?tendn?cessairemendeLesoittquiypdeuxed?nomtpdettquedittelsdeinni,c?der,etquedoncdeuxconiphrases(puisquetiennendescertainsestquialg?briquetpuisquevbleLal'ensemd?criter?currenceleaclpr?c?dendedonneoth?seplongemenyp?l?menhIl.?Il?rierestcettedoncsansisol?tparmalgr?uneuneparSoitalorscorollairesMaisetnimale)..mi-le-formypuletptpropulequefortemenconestestourparpform?alg?briqueeet,dansdoncoinetceconi,donctIl?galementestalg?briquesexactemenypEnlesOn.aenvqueecleabas?bients?rLetestetetquidonclibresend?nieunpart.tvoinestduenourles?tendonsnont,Alors,plaDansariablesdemand?.libresleetprouvaceontoutcardinal.a)Lesm?meourulecertainteldet?tanqueLa.duConsid?ronspr?c?denlamon(queformtontstsym?triques,uleson?tousexactemenanttsv?l?menariablesdedesprouvl'unF?t,emendeectivimages?gal?est(iii)sa-l'?quivtisfaiteth?oriedanstrespdansestlangageparbrableunalence?l?menherctdeuxded?lesfortemendansetm?metsurminimale,seraitde.il(sinonenetet.quetnousbasesd?cretonsosonsd?coulemainquedeerstunivenlesil.uneCettelam?med?sir?eformpuletoutisolelaalorspr?c?denleprouvtqueypbijectioneentpisomorphisme(ii),,3surtuneoincepprouvlequeD'apr?smocours.nondubrables9.2.7formetm?me9.2.6son.isomorphes,Atvan-formcat?goriquetouttouspascardinauxn'estd?nombrables..

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