Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées L3 Année 2011 Probabilités élémentaires D.S. du 28 mai 2011 (durée 3 heures) – Ce sujet comporte 3 pages. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n'a pas valeur contractuelle. – Documents autorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d'ICP. – Calculatrices autorisées. – La qualité de la rédaction sera un élément important d'appréciation des copies. Ex 1. Intégrabilité (2 points) Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F . Démontrez que X est intégrable si et seulement si l'intégrale de Riemann généralisée ∫∞ ?∞ F (t)(1?F (t)) dt converge dans R+. Ex 2. Consommation d'eau (7 points) La consommation journalière en eau d'une agglomération au cours du mois de juillet est une variable aléatoire X dont la densité f a la forme : f(t) = c(t? a)(b? t)1[a,b](t), t ? R, où a, b, c sont des constantes strictement positives (a < b). 1) Vérifier que l'on a pour tout n ? N : ∫ b a (t? a)n(b? t) dt = (b? a)n+2 (n + 1)(n + 2) .

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Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Source : math.univ-lille1.fr
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L3
Université U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
Probabilitésélémentaires D.S.du28mai2011(durée3heures)
Année 2011
– Cesujet comporte3 pages. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n’a pas valeur contractuelle. – Documentsautorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d’ICP. – Calculatricesautorisées. – Laqualité de la rédaction sera un élément important d’appréciation des copies.
Ex 1.Intégrabilité (2 points) SoitXune variable aléatoire réelle de fonction de répartitionF. Démontrez queX R est intégrable si et seulement si l’intégrale de Riemann généraliséeF(t)(1F(t)) dt −∞ converge dansR+. Ex 2.Consommation d’eau (7 points) La consommation journalière en eau d’une agglomération au cours du mois de juillet est une variable aléatoireXdont la densitéfa la forme : f(t) =c(ta)(bt)1[a,b](t), tR, a,b,csont des constantes strictement positives (a < b). 1) Vérifierque l’on a pour toutnN: Z n+2 b (ba) n (ta) (bt) dt=. a(n+ 1)(n+ 2) 2) Exprimerla constantecen fonction deaetb. h i 2 3) CalculerE(Xa)etE(Xa). En déduireEXetVarX. 4) Donnerla fonction de répartitionFde la variable aléatoireX: on distinguera pour le calcul deF(x)les casx < a,axbetx > bet, dans le deuxième cas, on écrira F(x)en fonction de(xa)et(bx)sans développer ni réduire le polynôme obtenu. Donner l’allure des représentations graphiques defetF. Proposer une interprétation physique des constantesaetb.
Lille I
U.F.R. Math.
Ex 3.Franchise et plafond (5 points) En cas d’incendie d’un certain type de logement, la loi du coûtXdes «dommages aux biens » a une fonction de survieGde la forme 1 t0, G(t) :=P(X > t) =, a (1 +t) aest un paramètre positif. H(t) 1
G(m)
0
m
Figure1 – Fonction de survieHde la v.a. positiveY
M
t
Une compagnie d’assurances propose la couverture de ce risque «dommages aux biens »,par un contrat qui prévoit une franchisemet un plafondM. La franchise est destinée à éviter les déclarations de petits sinistres et ainsi à économiser sur les frais de gestion. Le plafondMlimite la responsabilité de la compagnie. NotonsYle remboursement perçu par l’assuré en cas d’incendie. La règle franchise-plafond nous 1 permet d’écrire 0siX(ω)m, ωΩ, Y(ω) =X(ω)sim < X(ω)M, MsiX(ω)> M. 1. Poursimplifier, on suppose que le seul but de la franchise est d’éviter les déclarations de petits sinistres. Donc quand l’assuré est remboursé, on ne déduit pasmde son remboursement.
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Licence
ProbabilitésÉlémentaires2011
On noteH: [0,+[[0,1],t7→H(t) :=P(Y >t)la fonction de survie deY. Sa représentation graphique est esquissée à la figure 1. 1) Justifiezcette représentation graphique en exprimantH(t)à l’aide deGdans les trois cas0t < m,mt < MettM. 2) Laloi de la variable aléatoire positiveYest-elle à densité? 3) CalculerEYen fonction dem,Meta. Ex 4.Une v.a. série (8 points) Soit,F, P)un espace probabilisé sur lequel existe une suite(Ak)k1d’évènements indépendants et de mme probabilitép]0,1[. On pose +X 1A k X:=. k 3 k=1 1) Expliquezpourquoi cette formule définit une variable aléatoire positive et bornée. 2) CalculezEXen donnant les justifications utiles. 3) Onse propose dans tout ce qui suit de montrer queXa une fonction de ré-partition continue, ce qui revient à montrer queP(X=x)vaut zéro pour toutxR (pourquoi ?).On introduit à cet effet l’ensemble : ( ) +X ck N D:=xR;(ck)k1∈ {0,1}, x=, k 3 k=1 autrement dit,Dest l’ensemble des valeurs prises parX(ω)pourωΩ. Que vaut P(X=x)pourx /D? 4) Vérifiezl’inégalitéstricte: +X 1 1 n1, <.(1) k n 3 3 k=n+1 5) L’inégalité(1) permet de démontrerl’unicitéde la suite binaire(ck)k1dans la représentation d’unxD. Pour le voir, raisonnez par l’absurde en supposant qu’il existe deux suites binaires(bk)k1et(ck)k1distinctes telles que ++X X bkck =, k k 3 3 k=1k=1 noteznle plus petit entieritel quebi6=ciet remarquez que pour toutk,|bkck|a un majorant simple, .. . 6) Enutilisant l’unicité établie ci-dessus, montrez que pourxD,{X=x}peut s’écrireBk, les évènementsBkétant indépendants. Trouvez une constanter]0,1[ kN telle que pour toutk1,P(Bk)r. En déduireproprementqueP(X=x) = 0.
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