1er semestre

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1er semestre 2011/12 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l'adresse contiennent les définitions et les résultats principaux du cours “compléments d'Analyse 3” ainsi que quelques exercices concernant ces compléments. Le résumé du cours prin- cipal “Analyse 3” est disponible dans un fichier séparé à la même adresse. Nous citons le théorème x.y du résumé de ce cours sous la forme [Cours, théorème x.y], etc. Les compléments seront numérotés C1 (= Complément 1), C2, . . . C1 : Fonctions de plusieurs variables Dans la “vie réelle” en mathématiques (et dans les applications, comme la physique), il est important de développer l'analyse non seulement pour les fonctions d'une variable, mais pour des fonctions de plusieurs variables, i.e., des fonctions f définies sur une partie de Rn à valeurs dans Rm. Ce sujet sera traité de façon plus approfondie dans le cours “Analyse 2 - fonctions de plusieurs variables”, qui sera enseigné en CPU en S4, après le cours Analyse 3. Cependant, il faut s'habituer le plus rapidement possible à placer l'analyse dans le cadre de plusieurs variables ; dans les compléments, nous allons développer ce point de vue un peu plus loin que dans le cours principal.

  • boules br

  • equations différentielles ordinaires

  • espace des matrices carrées

  • notations relatives aux applications

  • composante

  • norme du sup

  • changement de base


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
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1er semestre 2011/12
CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques
Les notes suivantes, disponibles à l’adresseu.n-naycww.weinctram/.fr/~ber//:ptth, contiennent les définitions et les résultats principaux du cours “compléments d’Analyse 3” ainsi que quelques exercices concernant ces compléments. Le résumé du cours prin-cipal “Analyse 3” est disponible dans un fichier séparé à la même adresse. Nous citons le théorème x.y du résumé de ce cours sous la forme [Cours, théorème x.y], etc. Les compléments seront numérotés C1 (= Complément 1), C2,. . .
C1 : Fonctions de plusieurs variables
Dans la “vie réelle” en mathématiques (et dans les applications, comme la physique), il est important de développer l’analyse non seulement pour lesfonctions d’une variable, mais pour desfonctions de plusieurs variables, i.e., des fonctionsfdéfinies sur une partie deRn à valeurs dansRm sujet sera traité de façon plus approfondie dans le cours “Analyse 2. Ce - fonctions de plusieurs variables”, qui sera enseigné en CPU en S4, après le cours Analyse 3. Cependant, il faut s’habituer le plus rapidement possible à placer l’analyse dans le cadre de plusieurs variables ; dans les compléments, nous allons développer ce point de vue un peu plus loin que dans le cours principal. Ce premier chapitre sert à se familiariser dès maintenant avec quelques notions “topologiques” fondamentales sur les espacesRn: distance, suites convergentes, continuité... C1.1. Définition.Soientx, yRn. La distance euclidienne entrexetyest définie par la “formule de Pythagore” vn deu(x, y) :=tuX(xiyi)2 . i=1 La distance dexà l’origine0s’appelle la norme euclidienne, notée vn kxkeu:=deu(x,0) =tui=X1xi2, de sorte qu’on adeu(x, y) =kxykeu. La boule ouverte de centrexet de rayonrest Br,eu(x) :={yRn|deu(x, y)< r}. C1.2. Définition.Soientx, yRn distance sup entre. Laxetyest définie par d(x, y max) =|xiyi|. i=1,...,n
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La distance dexà l’origine0s’appelle la norme sup, notée kxk:=d(x,0) = miax|xi|, de sorte qu’on ad(x, y) =kxyk. Le cube ouvert de centrexet de rayonrest Br,(x) :={yRn|d(x, y)< r}={xRn| ∀i= 1, . . . , n:|xi|< r}. C1.3. Remarque.Voici quelques propriétés évidentes que satisfont ces deux normes, resp. distances : pourd=deuoud=detk ∙ k=k ∙ keuouk ∙ k=k ∙ k, (N1) (positivité)kxk ≥0, etkxk= 0ssix= 0; (N2) (homogénité) pour toutrR,krxk=|r| kxk; (D1) (positivité)d(x, y)0, etd(x, y) = 0ssix=y; (D2) (symétrie)d(x, y) =d(y, x). Nous discutons plus tard (exercice 5) une autre propriété importante. C1.4. Lemme.Pour toutzRn, on akzkeunkzknkzkeu, i.e., vnvn tui=X1zi2nmiax|zi| ≤tuni=X1z2 i. Géométriquement, le lemme signifie qu’on peut “emboîter” des cubes dans des boules, et réciproquement (faire un dessin pourn= 2). C1.5. Définition.Une suite dansRnest notée(x(k))kN, où x(k)=x1(k), . . . , x(nk)Rn. Chaque composante(xi(k))kN, pouri= 1, . . . , nfixé, est une suite numérique ordinaire. On dit que la suite(x(k))kNconverge vers un vecteurxRn, et on écritx=klimx(k), si →∞ la distance euclidienne entrex(k)etxconverge vers0, i.e., siklimdeu(x(k), x) = 0. →∞ C1.6. Lemme.Pour une suite dansRnsont équivalents : (i)klimdeu(x(k), x) = 0(i.e.,x(k)converge versxpourk→ ∞) ; , (ii)klimd(x(k)x) = 0; →∞ (iii) pour touti= 1, . . . , n: la suite numérique(xi(k))kNconverge au sens usuel, pour k→ ∞, vers un nombre réelxi. Ce lemme permet, d’une part, de reconnaître facilement des suites convergentes dans Rnpart, de démontrer, “composante par composante”, quelques résultats, et, d’autre standards, similaires aux propriétés usuelles pour les suites :
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C1.7. Corollaire.La somme de deux suites convergentesx(k)ety(k)est convergente, et sa limite est la somme des deux limites ; un multiplerx(k)d’une suite convergente versx est convergente, avec limiterx. C1.8. Notations relatives aux applications.Dans la suite, soitURnune partie non-vide etf:URm,x7→f(x)une application. Plus explicitement, on note f(x) =f1(x), . . . , fm(x)=f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn). L’application fi:UR, x7→fi(x) s’appelle lai-ième composante def. Sim= 1, on a juste une composante : on parle d’une fonction scalaire. Sin= 1, on note souventtau lieu dexla variable (“temps”), et on interprètef:RURmcomme une courbe paramétrée dansRm. C1.9. Définition.Soitf:URmcomme ci-dessus et soitxU dit que. On fest continue au pointxsi, pour toute suitex(k)Uqui converge versxpourk→ ∞, la suitef(x(k))converge dansRmversf(x): fklimx(k)=klimf(x(k)) →∞ →∞ On dit quefest continue (surU) sifest continue en tout pointxU. Exemples : les fonctions constantes sont continues ; les projectionspri:RnR,x7→xi sont continues. C1.10. Théorème.Pour une applicationf:RnURmsont équivalents : (i)fest continue au pointx(resp. surU) ; (ii)pour touti= 1, . . . , n: la composantefiest continue au pointx(resp. surU). Ce théorème permet donc de se ramener au cas des fonctions scalaires (m= 1). Attention : on ne peut pas se ramener aussi facilement au casn= 1 ce sens, le cas des fonctions. Dans scalaires est le cas le plus important. C1.11. Théorème. (1)d’applications continues sont continues, et la fonctionSommes et multiples f= 0 est continue ; ainsi l’ensembleC(U,Rm)des applications continuesf:URmest un espace vectoriel. (2)La composéegf:URkde deux applications continuesg:U0Rketf:UU0Rmest continue. (3)(pourm= 1 produit:) Lefg(définie par(fg)(x) :=f(x)g(x)) de deux fonctions scalaires continuesf, g:URest continue. C1.12. Théorème.Toute application linéairef:RnRmest continue. Rappel (cours d’algèbre) : une application linéaire est de la formef(x) =Axavec une matriceA= (aij), ou encorefi(x) =Pjn=1aijxj; autrement dit,fi=Pnj=1aijprj. 3
C1.13. Théorème.Toute application polynomialef:RnRmest continue. C1.14. Définition/rappel.SoitKun corps. PourxKnetαNn(un multi-index), on définit le monôme xα:=xα1∙ ∙ ∙xnαn 1 son degré est par définition|α|:=Pni=1αi fonction polynomiale. Unep:KnKest une combinaison linéairefiniede monômes (i.e., la somme suivante a seulement un nombre fini de termes non-nuls) : x7→p(x) =Xaαxα, αNn avec des constantesaαK est commode de regrouper tout les termes de même degrée.. Il Le degré depest alors le plus haut degré qui apparaît dans cette écriture : d p(x) =X Xaαxα. n j=0αN,|α|=j Noter que le terme correspondant àj= 0est juste une constante, celui correspondant à j= 1est une forme linéaire, et celui correspondant àj= 2une forme quadratique, etc. Une application polynomialef:KnKmune application telle que chaque com-est posantefi:KnKest une fonction polynomiale.
Exercices pour le complément 1 1. Puissance matricielle.Montrer qu’on peut identifier l’espace des matrices carrées M(n, n,;R)avecRn2, et que l’application M(n, n;R)M(n, n;R), X7→X2 est polynomiale (on pourra commencer par le casn= 2), et conclure qu’elle est continue. Idem pour l’applicationX7→XkaveckN. 2. Applications rationnelles.Montrer que l’inversioni:RR,t7→t1est continue. En déduire que toute fonction rationnellef(x) =qp((xx))(i.e.,p, q:RnRsont polynomiales etq6= 0) est continue sur l’ensembleU:={xRn|q(x)6= 0}. Application : montrer que l’inversion matricielleGL(n,R)M(n, n;R),X7→X1est une application continue. 3. Changement de base: un exemple.Fixons la baseb1= (1,0),b2= (1,1)dans le planEet identifionsEavecR2par la bijectionR2E,(x, y)7→xb1+yb2. Identifions également les boulesBr,(x), resp.Br,eu(x), avec leur image par cette bijection. Dessiner les images dansEdeB1,(0)et deB1,eu(0). Quelles figures géométriques sont représentées par ces images ? Montrer qu’on peut “emboiter” ces figures dans les boules “usuelles” (par rapport à la base canonique), dans le sense du lemme C1.4. 4. Changement de base: cas général. Homéomorphismes.SoitAGL(n,R) (i.e., une matrice inversible). Montrer que l’applicationf:RnRn,x7→Axest un homéomorphisme (i.e., bijective, continue, et l’inversef1est aussi continue). Conclure que les notions de convergence et de continuité ne dépendent pas de la base choisie, i.e.: soitVun espace vectoriel de dimensionnsurR, et identifionsVàRnà 4
l’aide d’une baseb1, . . . , bn définit ainsi sur. OnVdes notions de convergence de suites et de continuité d’applications. Alors, ces notions ne dépendent pas du choix de la base. 5. Convexité.C’est une notion fondamentale de géométrie enRn: C1.15. Définition.Une partieSRnest dite convexe si, pour toutx, yS, le segment [x, y] ={tx+ (1t)y|t[0,1]} appartient entièrement àS. (Faire des dessins d’exemples de parties convexes deR2!) (1) Montrer que les boulesBr,(x)avecxRnetr >0sont convexes. (2) Montrer que les boulesBr,eu(x)avecxRnetr >0sont convexes.
Remarque/indication. Chercher d’abord une preuve directe : on constate que la preuve est nettement plus difficile dans le cas euclidien. Elle sera systématisée dans le cours “Analyse 2” où on étudie la notion fondamentale denorme: C1.16. Définition.SoitVun espace vectoriel surR norme sur. UneVest une applicationVR,x7→ kxk(N1) et (N2) de la remarque C1.3, etvérifiant les propriétés (N3) (inégalité triangulaire) pour toutx, yV,kx+yk ≤ kxk+kyk. L’approche systématique consiste à établir d’abord que la norme sup et la norme euclidi-enne sont des normes dans ce sens. Ensuite, on démontre la convexité des boules à partir de (N1), (N2) et (N3). 6. Le cas complexe.Montrer qu’il existe une identification naturelle entreCnetR2n, et que sous cette identification la norme euclidienne correspond àkzk:=pPni=1zizi. Montrer que la norme||z||:= maxi|zi|est équivalente à la précédente (au sens du lemme C1.4) ; est-ce qu’elle correspond exactement à la norme sup dansR2n? Formuler des notions de convergence de suites et de continuité dansCn, et dire lesquels parmi les résultats précédents restent valables dans ce cadre.
C2 : Exponentielle matricielle et équations différentielles ordinaires Les exponentielles usuellest7→ceatsont les solutions de l’équation différentiellef0 = af(aR) avec condition initialef(0) =c plusieurs dimensions, cette équation. En est remplacé par unsystème d’équations différentielles ordinaires quelques. D’abord, définitions de base concernant lescourbes: C2.1. Définition.Une courbe [continue] dansV=Rnest une application [continue] α:IV, oùIRest un intervalle. (Dessiner des exemples pourn= 2oun= 3!) C2.2. Lemme.Pour une courbeα:IVsont équivalentes : (i) pout touttI, la limiteα0(t) :=hli0,mh6=0α(t+hh)α(t)existe dansV; (ii) chaque composanteαi:= priα:IRest différentiable au sens usuel.
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On a alors α0(t) :=α01(t), . . . , α0n(t). C2.3. Définition.Une courbeα:IVest dite différentiable (de classeC1) si elle satisfait la condition du lemme et si la courbe dérivéeα0:IVest continue. Siα0est de classeC1, la courbeαest dite de classeC2, et on poseα00= (α0)0, etc. (Interpétation cinématique:t7→α(t)est une trajectoire,tla variable de temps etα0(t)le vecteur-vitesse etα00(t)le vecteur-accélération.) Exemple :α(t) =cos(t),sin(t)est une courbe de classeCdansR2. Faire un dessin de la trajectoire, calculer les vecteurs vitesse et accélération. C2.4. Définition.SoitUV=Rn Un champ de vecteurs surune partie non-vide.U est une applicationX:UV on “accroche” à chaque point :. VisualisationuUun “vecteur direction” (une flêche) d’origineuet de directionX(u). Une courbe intégrale d’un champ de vecteursX:UVest une courbe de classeC1, α:IV, qui “suit le champ” dans le sens que αI:α0(t) =Xα(t).(EDO) C2.5. Remarque.(EDO) est un système d’équations différentielles ordinaires : i= 1, . . . , n:αi0(t) =Xiα1(t), . . . , αn(t). En général, on ne sait pas si des solutions existent (il faut au moins supposer queXsoit suffisamment régulier...) Exemple 1:U=V=R2etX(u1, u2) = (u2, u1). Dessiner ce champ, et montrer que la courbe de l’exemple précédent est une courbe intégrale. Trouver des courbes intégrales telles queα(0) = (r,0)avecr0, et les dessiner dans un dessin commun. Exemple 2:U=V=R2etX(u1, u2) = (u2, u1) ce champ, et montrer que. Dessiner la courbeα(t) =ch(t),sh(t)est une courbe intégrale. Trouver des courbes intégrales telles queα(0) = (r,0), resp.α(0) = (0, r)avecr0. Ces deux exemples sont des cas particuliers des résultats puissants suivants, qui utilisent l’exponentielle matricielle, définie dans [cours, thm. 3.9] et [cours, thm. 3.10]. C2.6. Théorème.SoitAM(m, m;R)une matrice carrée, et soitvRm. (i) La courbeα:RM(m, m;R),t7→etAest différentiable, et on a α0(t) =Aα(t)(produit de matrices), etα(0) = 1m. (ii) La courbeγv:RRm,t7→etAvest une courbe courbe intégrale (avec valeur intiale γv(0) =v) du champRmRm,u7→Au, i.e., γ0v(t) =Aγ(t)(produit matrice×vecteur) etγv(0) =v .
C2.7. Remarque.La propriétéα(t+s) =α(t)α(s)(pour touts, tR) donne γv(t+s) =γγv(t)(s).
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C2.8. Remarque.On peut résumer le théorème C2.6 en disant que tout champ linéaire de vecteurs (i.e.,X:v7→X(v)est une application linéaire, donnée par une matriceA), admet des courbes intégralesγv:IV, avec condition initialeγv(0) = 0, telles que l’intervalle de définitionIsoitR On verra (exercice 1) qu’il en est de mêmetout entier. pour les champs constants. Plus généralement, en théorie des équations différentielles ordinaires, on considère des champs “lisses” quelconquesX:UV(définis sur une partie “ouverte”UdeVgénéral affirme alors que des courbes intégrales théorème ). Un existent et sont uniques, mais en général le plus grand intervalle de définitionIest plus petit queR plus détaillée de l’ensemble de ces courbes intégrales fait partie de. L’étude la théorie des EDO et, plus globalement, de la théorie des systèmes dynamiques. Le cas linéaire y joue un rôle important : il sert, localement, comme première approximation du cas général. Exercices pour le complément C2 1. Les champs constants.SoitvV=RnetX(x) =v(champ constant). et Calculer dessiner ses courbes intégrales : montrer que, pour toutuV, il existe une uniqe courbe intégraleγutelle queγu(0) =u pour. Étudier,tRfixé, l’applicationφt:VV, u7→γu(t) Montrer que, pour: quelle est sa nature géométrique ?t, sR,φtφs=φt+s. 2. Image d’une courbe intégrale.Fixons une matrice carréeA. Pour tout vecteur vV=Rn, notonsOv:={etAv|tR}l’image de la courbe intégraleγv que,. Montrer pourv, wV, seulement les deux cas suivants sont possibles : a) soit,Ov=Ow; b) soit,Ov∩ Ow=. Autrement dit, les ensembles0vpourvVforment une partition deV. 3. Calcul d’exponentielle : exemples.Pour les matricesAsuivantes, calculeretA (ici,a > b >0) : 0000,00a0,a00a,0a0b, 0010,0a1a,1010,bbaa4. Exercice de dessin.Pour  dessinerchacune des matrices de l’exercice 3 : le champ de vecteursR2R2,u7→Auainsi que quelques courbes intégrales. 5. Exponentielle et changement de base. (1) SoitAune matrice carrée etT utilisant la série exponen-une matrice inversible. En tielle, montrer que eT AT1=T eAT1. (2) SoitA=1001. CalculeretA deux stratégies possibles – calcul direct. (Indication : en calculantA2, A3, . . ., ou bien trouver une matrice de passageTtelle queA0=T AT1 soit une matrice diagonale.) Tracer les courbesγv(t)comme dans l’exercice précédent. (3) Résoudre le système différentiel f(t) + 2g(t) gf00((tt2=))=f(t) + 3g(t)o
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6. EDO linéaires à coefficients constants.On cherche à résoudre l’équation différen-tielle f(n)=a0f+a1f0+. . .+an1f(n1) (oùaiR que, en posant). Montrerf1:=f0,f2:=f10, etc., ce système est équivalent à néquations de degré1, qu’on écrira sous forme matricielle. Pour résoudre cette équation, on peut chercher des solutions de la formeeλx. Trouver une condition nécessaire pour le scalaireλ. Exemple résoudre : f0006f00+ 11f06f= 0. Parfois, il existe aussi des solutions de la formexeλx : résoudre. Exemple f002f0+f= 0 Distinguer aussi des solutions réelles et complexes. Exemple : résoudre 2f0005f00+ 6f02f= 0 7. Lien entre matrices orthogonales et matrices antisymétriques.Montrer que (eA)t=eAt que, si Conclure(matrice transposée).At=A(i.e.,Aest antisymétrique), alorsB:=eAest une matrice orthogonale (i.e.,Bt=B1).
C3 : Brève introduction aux équations différentielles aux dérivées partielles Les EDO concernent des fonctions d’unevariable réelle, et les équations différentielles aux dérivées partielles (EDP) concernent des fonctions deplusieursvariables f(x1, . . . , fn)sujet, et nous donnons ici seulement quelques. C’est un très vaste notions de base pour permettre au lecteur de se faire une idée de la nature mathématique de ces questions. Les EDP les plus importantes proviennent de la physique. Nous supposons que le lecteur a déjà utilisé de façon “naïve” des dérivées partielles : par exemple, pour une fonctionf(t, x, y), on les notetf,xf,yf, et2xf=x(xf)pour une dérivée partielle seconde, ou aussi parfoisft,fx,fy, resp.fxx, etc. Voici une liste de quelques EDP fondamentales : Exemple 1 : l’équation de la chaleur.La distribution de la chaleur sur un bâton (coordonnéex) au tempstobéit à l’équation de la chaleur (oùC >0est une constante) (EqCh1)tf(x, t) =C ∂2xf(x, t). Si, au lieu d’un bâton (une dimension) on prend une plaque (deux dimensions ; coordon-néesx, y), cette équation devient (EqCh2)tf(x, y, t) =C2xf(x, y, t) +y2f(x, y, t). Pour que la solution soit bien déterminée, il faut préscrire une distribution de température au tempst= 0:f(x,0) =h(x), resp.f(x, y,0) =h(x, y), avechune fonction donnée (condition initiale). Si les bouts du bâton (de coordonnéesx= 0etx=` >0) sont maintenus à température donnée, on a une condition de bord supplémentaire, comme par exemplef(0, t) = 0,f(`, t) = 0(“bouts frigofiées”). 8
Exemple 2 : l’équation des ondes, resp. de la corde vibrante.C’est l’EDP (EqOn1)t2f(x, t) =C ∂2xf(x, t), avec une constanteC >0, qui décrit la vibration d’une corde (coordonnéex) en fonc-tion du tempst, resp. d’une membrane (coordonnéesx, y), resp. des phénomènes d’onde (coordonnéesx, y, z) : (EqOn2)t2f(x, y, z, t) =Cx2f(x, y, z, t) +y2f(x, y, z, t) +z2f(x, y, z, t). Comme dans l’exemple précédent, la physique motive d’imposer des conditions initiales et des conditions de bord. Exemple 3 : l’équation du potentiel.Pour une fonction de trois variablesf(x, y, z), c’est l’équation (EqPot)2xf(x, y, z) +y2f(x, y, z) +z2f(x, y, z) = 0 On l’abrègre souvent sous la formeΔf= 0, et une fonction telle queΔf= 0, est dite harmonique. Exemple 4 : l’équation de transport.C’est l’EDP, avec une fonction d’une variable réellea(x), (EqTrp)a(x)xf(x, y) +yf(x, y) = 0
Exemple 5 : les équations de Cauchy-Riemann.C’est unsystèmede deux EDP pour une fonctionR2R2,(x, y)7→(f(x, y), g(x, y)): (EqsCR)yf(x, y) =xg(x, y), ∂xf(x, y) =yg(x, y).
Calcul différentiel dansRn Nous donnons les définitions et les faits fondamentaux concernant les dérivées par-tielles, puis proposons l’étude de quelques propriétés des exemples précédentes sous forme d’exercice. On abrègreV:=Rn, et soit toujoursf:URune fonction scalaire définie sur une partie non-videUV. C3.1. Définition.SoitvV dérivée directionnelle d’une fonction. Laf:VUR en direction dev, et au pointxU, est définie par d x) vf(x)dtt=0f(x+tv) = ltim0f(x+tvt)f(, = si cette limite existe. On dit quefest de classeC1si, pour toutvVetxU,vf(x) existe et si pour toutvla fonction vf:UR, x7→vf(x) est continue. La dérivée partielle defpar rapport à lai-ième variable est la dérivée directionnelle en direction du vecteureide la base canonique ; on la note ∂f(x) :=if(x) :=eif(x). ∂xi 9
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