1Quelques resultats de base en Analyse fonctionnelle

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Niveau: Supérieur, Bac+8
1Quelques resultats de base en Analyse fonctionnelle On donne ici sans demonstration un concentre des principaux resultats demontres dans un cours : ”Analyse fonctionnelle pour la Licence” donne en Licence de Mathematiques a lUniversite de Nice-Sophia Antipolis il y a quelques annees par Frederic Poupaud. Pour l'essentiel, les quatre premiers chapitres de ce bref resume rassemblent donc une bonne par- tie des resultats de base de Topologie generale (espaces metriques, ici) et d'Analyse fonctionnelle qu'on n'enseigne plus ou qu'on ne voit plus en detail en Licence, qu'on ne traite pas non plus en detail en Master 1, sous pretexte que ”c'est du niveau Licence” ( !), mais qu'evidemment les etudiants de Master 1 sont supposes connaıtre ... et qu'ils peuvent etre amenes a utiliser dans differentes UE de Master 1, sans parler des bases necessaires pour l'Agregation ou en Master 2... Les Chapitres 5 : Espaces de Hilbert, brievement resume ici, et 6 : Theorie spectrale, qu'on ne resume pas ici, seront par contre traites en detail en cours dans l'UE : Analyse Approfondie. Pour plus de precisions sur ces resultats, leurs demonstrations etc... voir le texte complet du cours de F. Poupaud sur http ://math.unice.fr/ rascle/indexanapp.html/ana-fonc.pdf Pour des resultats plus specialises, on renvoie aussi en particulier a H.

  • tie des resultats de base de topologie generale

  • mathematiques appliquees pour la maitrise

  • prolongement unique

  • detail en licence


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Quelquesr´esultatsde baseen Analyse fonctionnelle
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Ondonneicisansd´emonstrationunconcentre´desprincipauxr´esultatsde´montr´esdansuncours: AnalysefonctionnellepourlaLicencedonne´enLicencedeMath´ematiquesa`l´Universit´ede NiceSophiaAntipolisilyaquelquesann´eesparFre´d´ericPoupaud.
Pourlessentiel,lesquatrepremierschapitresdecebrefr´esume´rassemblentdoncunebonnepartiedesr´esultatsde basecepa´esmalerese(geig´ne´oTedoloponctionnAnalysefci)itedrtqieu,selle quonnenseigneplusouquonnevoitplusende´tailenLicence,quonnetraitepasnonplus end´etailenMaster1,souspre´textequecestduniveauLicence(!),maisque´videmmentles ´etudiantsdeMaster1sontsuppos´esconnaˆıtre...etquilspeuventeˆtreamene´sa`utiliserdans die´rentesUEdeMaster1,sansparlerdesbasesne´cessairespourlAgr´egationouenMaster2...
LesChapitres5:EspacesdeHilbert,brie`vementr´esume´ici,et6:Th´eoriespectrale,quonne r´esumepasici,serontparcontretraite´sende´tailencoursdanslUE:AnalyseApprofondie.
Pourplusdepr´ecisionssurcesre´sultats,leursd´emonstrationsetc...voirletextecompletducours de F. Poupaud sur http ://math.unice.fr/ rascle/indexanapp.html/anafonc.pdf
Pourdesr´esultatsplussp´ecialise´s,onrenvoieaussienparticulier`a
H. Brezis. sntaoiAnalyofesitcnenno:ell´eThieorapeticpl. Paris : Masson, 1983.  (MathematiquesAppliqu´eespourlaMaitrise.)
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Espacesme´triques
Th´eor`eme1.Soient(E, dE)et(F, dF)spxeeudetm´esacseS.iruqiotDun sous ensemble dense deEetf:DF. Si Fest complet, ftiontcenemm´oriftsnueruseunD, ˜ alors il existe un unique prolongement continufdefa`Etout entier et ce prolongement est uniforme´mentcontinu.
Th´eore`me2.T(me`roe´haricePedntieSod)(E, d)tiuenpscamee´triquecomplet.Sof:EE uneapplicationstrictementcontractante,c´esta`direqu´ilexisteuneconstantek]0,1[telle que :
x, yE,
d(f(x), f(y))k d(x, y).
Alorsfa`ideruqexc,e´tsuepointaununiqetsixeli´uqinunueaEtel quea=f(a). Deplustoutesuiter´ecurrente,(an)nNre´vnaitnN, an+1=f(an), converge versaet n d(an, a)k d(a0, a).
D´enition1.ec´mteiruqeUnespa(E, d)est compact si de tout recouvrement deEpar des ouverts on peut extraire un recouvrement fini. Autrement dit siS ⊂ Oest tel queE=O∈SOalors il existenNetO1,O2,...Ondes ouverts deStels queE=O1O2...On. L´espaceestdits´equentiellementcompactsidetoutessuitesonpeutextraireunesuitequiconverge dans E. L´espaceestpre´compactsipourtoutε >0il existenNetx1, x2, ...xn,npoints deEtel que E=B(x1;ε)B(x2;ε)...B(xn;ε)
The´ore`me3.Soit(E, d)nuseapece.Alorslm´etriquussnoitisoporpseuieqt´onssteaniv.tnseavel (E, d)est compact. • •(E, d)ctmomene.aptcs´eqestielluent • • •(E, d)moctetca.telpstempco´epr
De´nition2.Soit(E, d)texesiisliemtnueele´starapselbsteie,qudionutqesilnuseapec´mteir unsousensembledensede´nombrable.
Proposition 1.Ucompacte´rtqieuenpscame(E, d).eestsape´lbar
D´enition3.SoitXEd´ienretpuacepaesunuqirte´me(E, d). On dit queXest relativement compact si sa fermetureXest compacte pour la distance induited.
Proposition 2.Soit(E, dE)et(F, dF)uedsetequrietm´esacspxef:E7→Fune fonction continue. Alors siEest compactf(E)est un compact deF.
Proposition 3.Soit(E, d)tcS.iotqueucnoemsppaacem´etrif:ERnufeel´electonnrio continue. Alors il existea, bEtel quexEon af(a)f(x)f(b).
Proposition 4.Soit(E, d)cpasmeeneu´rtqieuS.iEestcompactalorsiesttselnrobi:e´ixel M >0tel quex, yE,d(x, y)M.
Proposition 5.Soit(E, dE)et(F, dF)oi.Stm´esacspesqurietexuedfC(E;F)une fonction continue, alors siEest compact,fe.nutiontcenemnufiro´mets
Espacesvectorielsnorme´s
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The´ore`me4.Laz)esRinieuulbore´m´tfe(eeBf(0; 1)nespd´uectoacevleirmrone´(E,k.k)est compacte si et seulement siEest de dimension finie.
The´ore`me5.Soit(E,k.kE)et(F,k.kF)estmre´slonroeivectacesxespdeuΦ :E7→Fune applicationline´aire.Lespropositionsuivantessontalors´equivalentes: Φest continue en0, ••Φme´mctnenutsrofiuretionesnuE, • • •Φelixeei:ro´nsebtsteM >0tel quexE,kΦ(x)kFMkxkE.
Proposition 6.Soit(E,k.kE)et(F,k.kF)ritosnelm´or.OestonneedxuseapecvsceL(E;F) l´ensembledesapplicationslin´eairecontinuedeEdansF. PourΦ∈ L(E;F)on a :
kΦ(x)kF supkΦ(x)kF= supkΦ(x)kF= sup. xE,kxkE=1xE,kxkE1xE, x6=0kxkE
Cenombrenote´kΦkL(E;F)noneiun´edrumrseL(E;F)acevnespnsiustaituoqeecielrirmno.´e
Proposition Ψ∈ L(F;G),
7.SoientE,FetGcaseevtcroeislontroisespAls.´ermissorΦ∈ L(E;F)et on aΨΦ∈ L(E;G)et
kΨΦkLE;G)≤ kΦkL(E;F)kΨkL(F;G). (
Proposition 8.Les hyperplansHd´espace vectorielEedfsroemseonayxuresnonslin´eaitlons nulles. SiEntse´mroteeH= N(l)alorslest continue si et seulement siHe.m´ftrese
Th´eor`eme6.(Hahn Banach) SoitEunespacevectorileonmre´teVun sous espace vectoriel deE. Simuresnuitnoceerianeu´tnsirolfeemVpour la norme induite, alors il existe un prolongement lEdemmereunntce´eaissnnon:meneroemqieuedˆm
vV, m(v) =l(v),
klkE=kmkV. ′ ′
Proposition 9.SoitEeetro´mnuceveespaielnctorxE. Si pour toutlEon al(x) = 0, alorsx= 0.
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