20eme Congres Franc¸ais de Mecanique Besanc¸on aout au septembre

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20eme Congres Franc¸ais de Mecanique Besanc¸on, 29 aout au 2 septembre 2011 Simulations numeriques de phenomenes anisotropes pour la Fusion par Confinement Magnetique 1 A. Bonnementa,b, H. Guillarda,b, B. Nkongab,a, R. Pasquettib,a a. INRIA Sophia-Antipolis, 2004 Route des Lucioles, 06902 Sophia Antipolis b. Laboratoire J.A. Dieudonne, UMR 6621, Universite de Nice-Sophia Antipolis, 06108 Nice Resume : Afin d'etudier le comportement du plasma dans le cadre de la FCM, nous considerons un systeme fluide, obtenu a partir du modele cinetique Vlasov-Maxwell avec fermetures de Braginskii, d'ou de fortes anisotropies suivant les lignes de champ magnetique. Des etudes numeriques de phenomenes presentant cette particularite ont ete menees, tout d'abord sur une equation de diffusion, avec un terme de rayonnement, et ensuite sur des systemes de type Euler et Navier-Stokes. Les resultats obtenus sont presentes et analyses. Abstract : In order to study plasma for Magnetic Confinement Fusion, we consider a fluid system, given by the Vlasov-Maxwell kinetic model with the Braginskii closure. This system presents high anisotropy along the magnetic field lines. Some numerical studies have been done in this case, first on a diffusion equation with a radiative term and then on the Euler and Navier-Stokes like systems. Our results are presented and analyzed.

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Publié le : jeudi 1 septembre 2011
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`eme 20Congr`esFran¸caisdeM´ecanique
Besanc¸on,29aouˆtau2septembre2011
Simulationsnume´riquesdeph´enom`enesanisotropes 1 pourlaFusionparConnementMagn´etique
a,b a,bb,a b,a A. Bonnement, H. Guillard, B. Nkonga, R. Pasquetti a.INRIA Sophia-Antipolis, 2004 Route des Lucioles, 06902 Sophia Antipolis b.Lrobaiota.Jer6612U,inevsrtie´A.Dieudonn´e,UMR0,silopieciN8016-SceNidentaAhiop
R´esum´e: And´etudierlecomportementduplasmadanslecadredelaFCM,nousconsid´eronsunsyst`eme uide,obtenua`partirdumod`elecine´tiqueVlasov-MaxwellavecfermeturesdeBraginskii,do`ude fortesanisotropiessuivantleslignesdechampmagne´tique.Des´etudesnume´riquesdephe´nom`enes pr´esentantcetteparticularite´ont´ete´men´ees,toutdabordsurunee´quationdediusion,avecunterme derayonnement,etensuitesurdessyste`mesdetypeEuleretNavier-Stokes.Lesre´sultatsobtenussont pr´esent´esetanalyse´s. Abstract : In order to study plasma for Magnetic Confinement Fusion, we consider a fluid system, given by the Vlasov-Maxwell kinetic model with the Braginskii closure. This system presents high anisotropy along the magnetic field lines. Some numerical studies have been done in this case, first on a diffusion equation with a radiative term and then on the Euler and Navier-Stokes like systems. Our results are presented and analyzed. Mots clefs :Simulation des plasmas, fermetures de Braginskii, diffusion anisotrope.
1 Introduction LaFusionparConnementMagn´etique(FCM)sappuiesurleprincipedeproductiond´energiedes ´etoiles,lorsdelafusiondedeux´el´ements(parexemple,deuteriumettritium).Pourcela,cesdeux 8 ´ele´mentsdoiventˆetre`adestemp´eratures´eleve´es,delordrede10K,soit10keV,andefavoriserla fusion.Acettetemp´erature,unnouvel´etatdelamati`ereapparaıˆt:leplasma,danslequellesatomes sontionis´es.Lafusionparconnementmagne´tiqueconsiste`autiliserlechampmagn´etiqueande connerleplasmadansdeschambresappel´eestokamaks.Desphe´nome`nesphysiquescomplexesse d´eroulentdansleplasma,pouvantjouerunroˆled´ecisifsurlesperformancesdestokamaks.Leprincipe deFCMestparexempled´eveloppe´en[1,4]. Danslecadredecetravail,onsint´eresseplusparticulie`rementauxphe´nome`nesquiontlieudans leplasmadebord,commeparexempleen[9].Danscebut,unmod`eleuideae´t´e´etablia`partir dumode`lecine´tiqueVlasov-MaxwellaveclesrelationsdefermeturedeBraginskii[2].Cemode`leest pre´sente´dansleparagraphe2. Nosr´esultatsnume´riquessontpr´esent´esdanslesparagraphes3et4,cecipourdie´rentesge´ome´tries detokamaks(ITER,Tore-Supra).Lensembledesr´esultatsa´et´eobtenugraˆcea`unem´ethodevol-umes/e´le´mentsnis(VF/EF),impl´emente´eauseindulogicielFluidBox[11].Cetteapprochea´et´ede pluscompar´ee`aunem´ethodede´lementsspectraux(codeSEMd´eveloppe´parR.Pasquetti). 1.Cetravaila´et´eeectu´edanslecadredunprojetdelaFR-FCM,delANRESPOIRetdelActiondenvergure FUSIONdelINRIA.A.BonnementremercieleConseilRe´gionalPACAquiconancesathe`se.
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e`me 20Congr`esFranc¸aisdeM´ecaniqueBesan¸con,29aoˆutau2septembre2011 2Mod`eleuide Lebutesticide´tablirlemode`leuideutilis´epoure´tudierlesphe´nom`enesphysiquesayantlieudans leplasmadeborddestokamaks.Consid´eronsleplasmaconstitue´dunme´langed´electronsetdions. Danscecas,l´etatduplasmanousestdonne´graˆcea`lafonctiondedistributionfs(t,x,v), l’indices pouvantsere´fe´rerauxe´lectronsouauxions.Onobtientdoncl´equationdeBoltzmann: Fs fs+v.rxfs+.rvfs=Cs,(1) ∂t ms ou`FssamedeluesstefolacrdeLeroneztxerec´eesuruneparticmsee´eisalcol,nx, avec une vitessevet au tempst, etCseunirenortbP.uooisnllsiescoantleerlmiesmolde´tdescription fluidedu plasma, on neconsid`erepaslesfonctionsdedistributionsmaisleursmomentssurlespacedesvitesses.Ainsi,en prenantlestroispremiersmomentsdele´quationdeBoltzmann(1),onobtientdenouvellese´quations pourlesdensit´esdeparticules,ns,´eesyennomsessetivsel,usetle,se,reig´snees:
ns+r ∙(nsus) =0 (2.a) ∂t msnsus+r ∙(msns<usus>+Ps) =Zsens(E+usB) +Rs(2.b) ∂t n e+r ∙(n eu+P .u) =−rE.u+R.u+Q(2.c) s ss ss ssqs+Zsens ss ss ∂t
Dans ces expressions,Rsseluetedcsloilisonsentreparticulseedid´reneetesstpl`eescoemse,mtqenr´ui Qstnescaleelah´gru´eeneer´rlpaspee`ecrepr´esapsertuaselucitr,`caedcsuaessionolliclessavePsest le tenseur de pression etqefsdmeerlareontisee´Braperutnnod,leelruL.seudxceahi[2]nskiragi s permettentdobtenirlesformesdecesdie´rentstermes. Nosde´veloppementsalgorithmiquespourr´esoudrelesyst`eme(2)sontencourspourlage´ome´triedu tokamakITER.Ci-apre`s,nousnousint´eressons`adesprobl`emesmode`les. 3 Diffusionanisotrope avec rayonnement 3.1Mod`ele Danslestokamaks,le´nergies´evacuantduplasmadecoeuresttr`esimportanteetpeutdoncaecter lescomposantsdelastructuredutokamak.Deplus,lapre´sencedunrayonnementdoiteˆtrepriseen compte.Nous´etudionslesconse´quencesdetelsprocessusradiatifssurlesprolsdetempe´rature.Dans lecasuni-dimensionnel,ceprobl`emeae´te´aborde´en[5].Enmode´lisantlerayonnementparunterme depuitsdechaleurnonlin´eaire,onconside`rele´quationdetempe´rature: 32 2 T+r ∙q=CT exp(((TT)/ΔT(3)) ) 2∂t quiestobtenuea`partirdel´equationdele´nergie(2.c)eto`uTdeuqyareceruitirp´emateresattlon-nement et ΔTep.un´cera-tyt Usuellement,ladensit´edeuxdechaleurqapeelalrdtse´nnoreieonnfdeoiurFoud-ccanodnletcoi tivit´ethermiquedumate´riau,K:q=KrTduasecslan.Dplasma,noussommeespn´rseneecdnu champmagne´tique,etladiusionestalorsanisotrope: q=KkrkTKrT.(4) Les notationskete`fe´rpsertnermpireauchaneiducalelteepprrapa`ellsapoesntuatnmocxitceemev magn´etique.Onparledediusionfortementanisotropecarletermeparall`eleestnettementsupe´rieur
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