2ème cycle MB6 Introduction l'épidémiologie et aux biostatistiques variabilité causalité probabilité Année Universitaire

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2ème cycle – MB6 - Introduction à l'épidémiologie et aux biostatistiques, variabilité, causalité, probabilité. Année Universitaire 2010- 2011 Faculté de Médecine Montpellier-NîmesP. DUJOLS (Mise ligne 27/0910– LIPCOM) Probabilités Objectifs • Comprendre la notion de probabilité • Comprendre le théorème de Bayes PARI s r la distrib tion des ariablesu u v population échantillontirage au sort Évènements incompatibles urne 100 boules 30 rouges 50 noires 20 vertes • Probabilité de tirer –1 boule rouge 30/100 –1 boule noire 50/100 –1 boule verte 20/100 –1 boule rouge ou verte (30+20)/100 –1 boule jaune 0/100 –1 boule ni rouge ni verte 50/100 P = nb cas favorables nb cas possibles • donc: rouge, noir, vert = évènements incompatibles –P(r) + P(n) + P(v) = 1 –P(non-r et non-n et non-v) = 0 –P(r ou v) = P(r) + P(v) –P(non-r et non-v) = P(n) évènements compatibles urne 100 boules 30 rouges 40 noires 20 vertes 10 rouges & vertes • Probabilité de tirer – 1 boule rouge (30+10)/100 – 1 boule noire 40/100 1 b l t (20 10)/100 P = nb cas favorables nb cas possibles – ou e

  • courbe particulière avec ?

  • loi de laplace-gauss

  • faculté de médecine montpellier-nîmesp

  • variable continue

  • estimation des lois de probabilité

  • boule

  • probabilité

  • évènements incompatibles


Publié le : mardi 29 mai 2012
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2ème cycle –
MB6 -
Introduction à l'épidémiologie et aux biostatistiques, variabilité, causalité, probabilité.
Année Universitaire
2010- 2011
Faculté de Médecine Montpellier-Nîmes
P. DUJOLS
(Mise ligne 27/0910– LIPCOM)
Probabilités
Objectifs
• Comprendre la notion de probabilité
• Comprendre le théorème de Bayes
PARI
sur la distribution des variables
population
échantillon
tirage au sort
Évènements incompatibles
urne
100 boules
30 rouges
50 noires
20 vertes
• Probabilité de tirer
–1 boule rouge
30/100
–1 boule noire
50/100
–1 boule verte
20/100
–1 boule rouge ou verte
(30+20)/100
–1 boule jaune
0/100
–1 boule ni rouge ni verte 50/100
P =
nb cas favorables
nb cas possibles
•donc:
rouge
,
noir
,
vert
=
évènements incompatibles
–P(r) + P(n) + P(v) = 1
–P(non-r et non-n et non-v) = 0
–P(r ou v) = P(r) + P(v)
–P(non-r et non-v) = P(n)
évènements compatibles
urne
100 boules
30 rouges
40 noires
20 vertes
• Probabilité de tirer
– 1 boule rouge
(30+10)/100
– 1 boule noire
40/100
10
rouges
&
vertes
P =
nb cas favorables
nb cas possibles
– 1 boule verte
(20+10)/100
– 1 boule rouge ou verte
(30+20+10)/100
évènements compatibles:
P(r ou v) = P(r) + P(v) – P(r et v)
2ème cycle –
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Introduction à l'épidémiologie et aux biostatistiques, variabilité, causalité, probabilité.
Année Universitaire
2010- 2011
Faculté de Médecine Montpellier-Nîmes
P. DUJOLS
(Mise ligne 27/0910– LIPCOM)
Probabilité: définition
• Probabilité
(définition axiomatique)
– à chaque événement
A
,
on associe un nombre
P(A)
A: 0 < P(A) <1
• P(S) = 1
P
(
) = 0
A,
B
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B)
• Évènements incompatibles
• 2 évènements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser
ensemble
– P(A et B) = 0
– P(A ou B) = P(A) + P(B)
• Événement complémentaire
• A et non-A sont: complémentaires (A + non-A = S) et disjoints
• P(non-A) = 1 – P(A)
Probabilité conditionnelle
50 boules
urne 1
18 rouges
30 noires
2 vertes
12 rouges
100 boules
30 rouges
50 noires
50 boules
urne 1
18 rouges
30 noires
2 vertes
12 rouges
50 boules
urne 1
18 rouges
30 noires
2 vertes
50 boules
urne 1
urne 1
18 rouges
30 noires
2 vertes
18 rouges
30 noires
2 vertes
12 rouges
12 rouges
12 rouges
100 boules
30 rouges
50 noires
100 boules
30 rouges
50 noires
30 rouges
50 noires
P(r et U1)
=
50 boules
urne 2
20 noires
18 vertes
urne totale
20 vertes
50 boules
urne 2
20 noires
18 vertes
50 boules
urne 2
20 noires
18 vertes
50 boules
urne 2
urne 2
20 noires
18 vertes
20 noires
18 vertes
urne totale
20 vertes
urne totale
urne totale
20 vertes
20 vertes
U1
p(U1
rouge
noir
vert
p(R /U 1)
U1 et rouge
U1 et noir
U1 et vert
p(R et U 1)
P(U1) P(r/U1)
totale
U2
p(U2
rouge
noir
vert
totale
U2 et rouge
U2 et noir
U2 et vert
• Proba conditionnelle
(définition axiomatique)
– A et B, 2 évènements compatibles
probabilité que A se réalise si B est réalisé
• P(A/B)= P(A quand B) = P(A si B)
P(A/B) = P(A et B)/P(B) avec P(B)
0
• Évènements indépendants
– 2 évènements sont indépendants si la probabilité de l’un
n’est pas modifiée si on connaît l’autre
• P(A/B) = P(A / non-B) = P(A)
• alors P(A et B) = P(A) P(B)
Théorème de Bayes
Question
– D = diagnostic dont on connaît la probabilité
– E = évènement
– La présence de E modifie-t-elle la probabilité du diagnostic ?
• p(D)
probabilité a priori
• est-elle égale à
• p(D/E)
probabilité a posteriori
Ce que l’on connaît
p(D) =
probabilité d’avoir le diagnostic
= prévalence
P(non D) =
probabilité de ne pas avoir le diagnostic
= 1 – p(D)
P(E/D) =
probabilité d’avoir l’événement quand on a le diagnostic
P(E/nonD) =
probabilité d’avoir l’événement quand on n’a pas le
diagnostic
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Introduction à l'épidémiologie et aux biostatistiques, variabilité, causalité, probabilité.
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P. DUJOLS
(Mise ligne 27/0910– LIPCOM)
• démonstration
– p(D et E) = p(D/E)p(E) = p(E/D)p(D)
n
:
D E =
D
E D
E
v
E
donc
:
p(D/E)
[p(D)p(E/D)]/p(E)
avec
p(E)
0
– E = (E et D) ou (E et non-D)
2 évènements incompatibles
donc
: p(E) = p(E et D) + p(E et non-D)
• p(E) = p(D)p(E/D) + p(non-D)p(E/non-D)
p(D) p(E/D)
p(D/E) =
p( ) p(
)
p(D) p(E/D) + p(nonD) p(E/nonD)
E
non E
p(E/D)
p(D)
D
E
non E
E
non E
p(E/D)
p(D)
D
p(D) p(E/D)
p(E/non D)
p(non D)
E
non E
non D
p(E/non D)
p(non D)
E
non E
E
non E
non D
non D
p(D) p(E/D)
p(non D) p(E/non D)
+
p(D/E) = p(D et E) / p(E)
P(D/E) =
P(D) P(E/D)
P(D)P(E/D) + P(nonD)P(E/nonD)
exemple
E
x
e
m
p
l
e
D = herpès
p(D) = 0,01
=
E
résultat
d
u
n test
p(E/D) = 0,75
p(E/non D) = 0,10
en ayant un test positif
p(D/E) = [0,01 x 0,75] / [(0,01 x 0,75) + (1 –0,01) x 0,10]
p(D/E)
= 0,07=
7 fois p(D)
Estimer les lois de probabilité
• Estimation des lois de probabilité
– raisonnement mathématique
– expérimentation sur grands échantillons
• recherche clinique
• épidémiologie
échantillon de 20 femmes
échantillon de 1000 femmes
distribution des valeurs
loi de probabilité
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P. DUJOLS
(Mise ligne 27/0910– LIPCOM)
Variable qualitative
• Liste de valeurs possibles x
1
, x
2
, …, x
k
• Liste de probabilités p
1
, p
2
, …, p
k
avec
p
i
= 1
• % associés à x
i
dans la population
Ex: jeu de dé, urne
% de 3 selon le nombre de lancers
P rob a b ilité
1 /6
1 /6
1 /6
1 /6
1 /6
1 /6
Variable quantitative
• Infinité de valeurs possibles
• Probabilité d’une valeur donnée = 0
• X variable et x valeur : p(X = x) = 0
• donc définition de la probabilité sur un intervalle
• X variable et a,b valeurs: p(a<X<b) existe
– densité de probabilité f(x)
avec
p(x
X
x+dx) = f(x) dx
f(x)
b
a
dx
)
x
(
f
)
b
X
a
(
P
a
b
x
f(x)
x+dx
Loi de Laplace-Gauss
Loi la plus utilisée pour les variables continues
2
2
2
)
(
exp
2
1
)
(
x
x
f
d e n s ité d e p r o b a b ilité
0
0
,
1
0
,
2
0
,
3
0
,
4
0
,
5
x
0
1
2
3
4
5
6
= moyenne (valeur centrale)
= écart-type ;
2
= variance (dispersion)
• Aire sous la courbe = 1
• Loi normale centré réduite
: LG(0,1)
– Courbe particulière avec
= 0,
= 1
– Toutes les lois normales se ramènent à la LNCR par
changement de variable u = (x -
)/
• LNCR tabulée
/2
-
/2
Proba (-u
< u < u
) = 1-
0
u
u
Si échantillon suffisamment grand, la moyenne des valeurs sur
l’échantillon suit LG
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