A MATH I MP

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A 2011 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • matrice nulle

  • somme directe

  • base de cn

  • ensta paristech

  • endomorphisme

  • endomorphisme de cn canoniquement


Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 4
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A 2011MATH. I MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2011
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES I - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
CritÈre de diagonalisation de KlarÈs
Soitnun entier naturel non nul etMn(C) l’espace vectoriel des matrices carres d’ordrenÀ coefficients complexes. On noteOnla matrice nulle etInla matrice identit deMn(C). Latraced’une matriceUdeMn(C) est notetr(U). On dit que deux matricesUetVdeMn(C)commutentsiU V=V U. Une matrice k NdeMn(C) est ditenilpotentes’il existe un entierk>0 pour lequelN=On. Dans tout le problme, on considre une matriceAdeMn(C) et on notef n l’endomorphisme deCcanoniquement associ, c’est-À-dire l’endomorphisme n dont la matrice dans la base canonique deCestA. Le polynÔme caractristique deAest notPet les valeurs propres complexes distinctes deAsont notes λ1,λ2, . . . ,λr. Pour touti{1, . . . ,r} on note : αil’ordre de multiplicit de la valeur propreλi, c’est-À-dire l’ordre de multiplicit de la racineλidu polynÔmeP; α i Pile polynÔme dfini parPi(X)=(λiX) ; ³ ´ ¡ ¢ nαi File sous-espace vectoriel deCdfini parFi=KerfλiIdC; n fil’endomorphisme deFiobtenu par restriction defÀFi.
La partie B, À l’exception de la question 11), est indÉpendante de la partie A. La partie C est indÉpendante des parties prÉcÉdentes.
A. Dcompositionde Dunford n 1)Justifier que l’espace vectorielCest somme directe des espacesFi: r M n C=Fi. i=1 n 2)En considrant une base deCadapte À la somme directe prcdente, montrer que pour touti{1, . . . ,r}, le polynÔme caractristique defiest Pi. (On pourra d’abord tablir quePiest un polynÔme annulateur defi.) 0 3)Montrer qu’il existe une matrice inversiblePdeMn(C) telle queA= 1 P APsoit une matrice dfinie par blocs de la forme suivante :   I+N0∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙0 λ1α11 . . . . 0 ... 0. . . .. A=. .. . .. . . ... 0 λI+ 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0rαrNr NiMα(C) est nilpotente pour touti{1, . . . ,r}. i
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4)En dduire que la matriceAs’crit sous la formeA=D+N, oÙDest une matrice diagonalisable etNune matrice nilpotente deMn(C) qui commutent. Les matricesDetNvrifiant ces conditions constituent ladÉcomposition de Dunfordde la matriceA. Dans toute la suite du problme, on admettra l’unicitÉ de cette dcomposition, c’est-À-dire queDetNsont dtermines de faÇon unique parA. Un exemple pour n=3:  31 1   5)Calculer la dcomposition de Dunford deA=1 .2 0 11 2
B. Commutationet conjugaison Pour toute matriceBet toute matrice inversiblePdeMn(C), on notecommB et conjles endomorphismes deMn(C) dfinis par : P ( commB(X)=B XX B XMn(C), 1 conj (X)=P X P. P Le but de cette partie est de dmontrer queAest diagonalisable si et seulement si commAest diagonalisable. 6)Soit culerconj1commc. Pune matrice inversible deMn(C). CalP AonjP Pour tousi,j{1, . . . ,n}, on noteEi,jla matrice deMn(C) dont tous les coeffi-cients sont nuls, sauf celui situ À l’intersection de lai-me ligne et de laj-me colonne qui est gal À 1. 7)SiAest une matrice diagonale, montrer que pour tousi,j{1,2, . . . ,n}, commAadmetEi,jcomme vecteur propre. Dterminer l’ensemble des valeurs propres de commA. 8)En dduire que siAest diagonalisable, commAl’est aussi. 9)Montrer que siAest nilpotente,commAl’est galement, c’est-À-dire qu’il k existe un entierk>0 pour lequel (commAl’endomorphisme nul) est deMn(C). 10)Montrer que siAest nilpotente, et sicommAest l’endomorphisme nul, alorsAest la matrice nulle. D’aprs la partie A, l’endomorphismecommAadmet une dcomposition de Dunford de la formecommA=d+n, oÙ les endomorphismes diagonalisabled et nilpotentncommutent :d n=nd. 11)Dterminer la dcomposition de Dunford decommAÀ l’aide de celle deA et conclure.
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C. Formesbilinaires sur un espace vectoriel complexe Soitpun entier>0 etEun espace vectoriel de dimensionpsurC. On note Ele dual deE, c’est-À-dire l’espace vectoriel des formes linaires surE. On considre une forme bilinaire symtriquebsurC, c’est-À-dire une appli-cationb:E×E−→ClinÉaire par rapport À chacune de ses deux composantes(et non sesquilinaire par rapport À la deuxime) et telle queb(x,y)=b(y,x) pour tousx,yE. SiFest un sous-espace vectoriel deE, on appelleorthogonal deF relativement À ble sous-espace vectoriel deEdfini par © ª b F=xE;yF,b(x,y)=0 . b On suppose quebestnon dÉgÉnÉrÉe, c’est-À-dire queE={0}. 12)Soituun endomorphisme deE. Dmontrer les implications suivantes : 2 (i)uest diagonalisable=⇒(ii) Keru=Ker (u)=⇒(iii) KeruImu={0}. SoitFun sous-espace vectoriel deE, de dimensionq, et soit (ε1,ε2, . . . ,εq) une base deF. Pour touti{1, . . . ,q}, on noteϕila forme linaire surEdfinie par ϕi(x)=b(εi,x). 13)Montrer que (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕq) est une famille libre deE. On complte cette famille libre en une base (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕp) deEet on note (e1,e2, . . . ,ep) la base deE antÉduale(dont (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕp) est la base duale). b 14)Montrer queFest engendr par (eq+1,eq+2, . . . ,ep), et en dduire la b valeur de dimF+dim(F).
D. Critrede Klars Le but de cette partie est de dmontrer que la matriceAest diagonalisable si ¡ ¢ 2 et seulement si Ker(commA)=Ker (commA) . 15)Montrer que l’applicationϕdeMn(C)×Mn(C) dansC, dfinie par la for-muleϕ(X,Y)=tr(X Y) pour tousX,YMn(C), est une forme bilinaire symtrique non dgnre. ¡ ¢ ϕ 16)Ker (commtablir l’galitA)=Im (commA). 17)En dduire que siAest nilpotente, il existe une matriceXdeMn(C) telle queA=comm (X). Calculer alors comm(X) pour to A A+λInutλC. SoitDetNles matrices de la dcomposition de Dunford deAdfinies À la question 4). 18)Dmontrer qu’il existe une matriceXdeMn(C) telle queN=commA(X). 19)Conclure. FIN DU PROBLME
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