A MATH I MP

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A 2010 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2010 PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • complexe conjugué de z

  • première application

  • ensta paristech

  • filière mp

  • série entière de rayon de convergence ê


Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 5
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A 2010MATH. I MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2010
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis á la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES I - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen á prendre.
ProblÈme de Dirichlet
SiAest une partie d’un espace vectoriel de dimension finie surRou surC, on noteC(A) leC-espace vectoriel des applications continues deAdansC. Les notationsD,DetTdsignent respectivement – ledisque ouvertD={zC;|z| <1} – ledisque fermD={zC;|z| É1} – lecercleT={zC;|z| =1}. â une fonctionfC(T) quelconque on associe – lescoefficients de Fourier Z π 1 i ti n t cn=f(e)edt(nZ) 2ππ la fonctiongf:DCdfinie par la formule suivante, dont l’existence sera traite dans la question 1) : ∞ ∞ X X n n gf(z)=c0+cnz+cnz n=1n=1 zdsigne le complexe conjugu dez; – lafonctionGf:DCdfinie par ( f(z) sizT Gf(z)= gf(z) sizD. PournN, on notepnetqnles fonctions deC(T) dfinis par n pn(z)=z (zT). n qn(z)=z Le but du problÈme est de caractÉriser de diffÉrentes maniÈres le prolongementGf de fÀ D.
A. Prolongementharmonique 2 e SiUest un ouvert deCon noteU={(x,y)R;x+i yU}. Pour toute e fonctionu:UC, on noteue:UCla fonction dfinie par la formuleu(x,y)= 2 2 u(x+i y). La fonctionuest dite declasseCsiueest de classeCau sens des fonctions de deux variables relles. On note alorsΔula fonction dfinie surU par 2 2 ueue Δu(x+i y)=(x,y)+(x,y). 2 2 xy 2
Dans cette partie, on fixe une fonctionfC(T) et on se propose de montrer queGfest l’unique fonctionG:DCqui vrifie les proprits suivantes : (a1) larestriction deGáTconcide avecf; (a2)Gest continue surD; 2 (a3) larestrictionGáDest de classeCetΔG(z)=0 pour toutzD. On va d’abord montrer queGfvrifie ces conditions. La condition (a1) est videmment vrifie.
1)Montrer que les deux sries qui entrent dans la dfinition degf(z) sont convergentes pour toutzD. X n SoitS(z)=anzla somme d’une srie entire de rayon de convergenceÊ1. n=0 2)Au moyen d’une drivation terme á terme d’une srie de fonctions de e e variable relle, justifier que l’applicationS:DCadmet une drive e S e partielle par rapport áxqui est continue surD, et exprimer(x,y)sous x la forme de la somme d’une srie. 2 3)Montrer queSest de classeCsurDet dterminerΔS(z) pour toutzD. 2 4)En dduire quegfest de classeCsurDet queΔgf(z)=0 pour toutzD. µ ¶ i t e+z On fixezD, et on notePz(t)=Re pourtouttR. i t ez 5)En tenant compte de la dfinition descndans l’expression degf(z), mon-trer que Z π 1 i t gf(z)=f(e)Pz(t) dt. 2ππ 6)Dterminergfpourf=pnetf=qn, oÙnN. Donner la valeur de Z π 1 l’intgralePz(t) dtet tudier le signe dePz(t) pour touttR. 2ππ 7)Montrer que si (fn)nNest une suite d’lments deC(T) qui converge uniformment verGfn sfsurT, alorsconverge uniformment versGf surD. 8)SoitP(T) le sous espace vectoriel deC(T) engendr par{pn;nN}{qn;nN}. Justifier que tout lment deC(T) est limite uniforme d’une suite d’lments deP(T), et en dduire queGfest continue surD.
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On se donne maintenant une fonctionGvrifiant les conditions (a1), (a2) et (a3) et on se propose de dmontrer queG=Gf. 9)On suppose dans cette question quefest la fonction nulle et queGest á 2 valeurs relles. Soitε>0 etu:DRdfinie paru(z)=G(z)+ε|z|. Montrer queΔu(z)>0 pour toutzD. En dduire queu(z)Éεpour tout zD(on pourra considrer, aprs en avoir justifi l’existence, un point z0Duatteint son maximum.) 10)Conclure dans le cas particulier de la question prcdente, puis dans le cas gnral. (On pourra d’abord tendre la conclusion au cas oÙfest nulle maisGest á valeurs complexes.)
B. Deuxapplications PremiÈre application.On considre la fonctionGdfinie surDparG(x+i y)= x ecosy. 11)Montrer queGvrifie la condition (a3) et en dduire, pour toutnZ, la valeur de l’intgrale Z π 1 cost ecos(sint) cos(nt) dt. 2ππ
DeuxiÈme application.Soitu:UCune application continue dfinie sur un ouvertUdeC. SiaCetR>0, on noteD(a,R)={zC;|za| <R}et D(a,R)={zC;|za| ÉR}. 2 12)Montrer queuest de classeCet telle queΔu=0 surUsi et seulement si, pour tout disque fermD(a,R) contenu dansUet pour toutzD(a,R), on a Z π 1¡ ¢ i t u(z)=u a+Re Pza(t) dt. 2ππR 2 PournN, on noteun:UCune fonction de classeCtelle queΔun=0 surU. 13)Dduire de la question prcdente que si la suite (un)nNconverge uni-2 formment vers une fonctionu, alorsuest galement de classeCet telle queΔu=0 surU.
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C. Propritsduales Dans cette partie, on fixezDet on considre l’application ϕz:C(T)−→C f7g(z) f C(T) est muni de la normeNdfinie par N(f)=sup|f(z)| zT pour toutfC(T). Pour toute applicationϕ:C(T)C, on considre les quatre proprits suivantes : (c1)ϕest une formeC-linaire et continue ; n (c2)nN,ϕ(pn)=z; n (c3)nN,ϕ(qn)=z; (c4)fC(T),|ϕ(f)| ÉN(f). 14)Montrer queϕzvrifie ces quatre proprits. 15)Montrer que siϕvrifie les conditions (c1), (c2) et (c3), alorsϕ=ϕz. Dans la suite de cette partie, on se donneϕ:C(T)Cvrifiant les conditions (c1), (c2) et (c4), et on se propose de dmontrer queϕ=ϕz. Dans les deux questions suivantes, on se donneλRet on considre une fonctionfC(T) á valeurs rellesÊ0. SoithC(T) dfinie par la formule h(z)=2f(z)N(f)+iλpour toutzT. 2 16)CalculerN(h) enfonction deN(f) et deλ. 2 17)En tudiant|ϕ(h)|, montrer queϕ(f)Rpuis queϕ(f)Ê0. ¡ ¢ 18)En dduire queϕf=ϕ(f) pour toutfC(T), et conclure.
FIN DU PROBLME
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