A MATH I MP

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


A 2009 MATH. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai- sons des initiatives qu'il est amené à prendre.

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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A 2009MATH. I MP
COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSES. COLES NATIONALES SUPRIEURES DE L’ARONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCES, DES TLCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-TIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TLCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. COLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2009
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES I - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai-sons des initiatives qu’il est amen À prendre.
ProblÈme des moments
On noteEl’ensemble des fonctionsfcontinues, dfinies surR, À valeurs positives ou nulles, et vrifiant l’quation Z f(x)d x=1. R Lorsqu’elle existe, lafonction caractÉristiquedefEest la fonctionφf:RC dfinie par la formule Z i t x φf(t)=e f(x)d x. R k Lorsque pour un entierkÊ0, la fonctionx7→ |x|f(x) est intgrable surR, on appelle moment d’ordrekdefla quantit Z k ak(f)=x f(x)d x. R k Si, pour tout entierkÊ0, la fonctionx7→ |x|f(x) est intgrable surR, on dit quefadmet des moments de tous ordres. On admettra que pour toutλC, Z 2 2 ¡x¢p¡λ¢ expλxd x=2πexp . R2 2
A. Questionsprliminaires. Les rÉsultats de ces questions, indÉpendantes les unes des autres, pourront tre utilisÉs dans la suite du problÈme. 1)SoitfE. On suppose, dans cette question, quefadmet des moments de tous ordres. Montrer l’existence deφfet de ses drives successives que l’on expri-mera À l’aide def. 2)Montrer que pour tout relxet tout entiernÊ1, n1m n X (i x)|x| i x e− ɯm!¯n! m=0 3)Soita,bRtels quea<b. Montrer que la fonctionhdfinie surRpar a,b ( i t ai t b ee si t6=0 ha,b(t)=i t bta si=0 est continue surR.
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4)Montrer que pour tout relt,|ha,b(t)| Éba. k k k 5)Montrer que pour tout entierkÊ0,eÊ ∙ k!
B. Lafonctionφfcaractrisef + On considre la fonctionRdfinie pour tout (θ,T)R×Rpar la formule Z T sin(θt) R(θ,T)=d t Tt et la fonctionSdfinie pour toutTRpar la formule Z T sinx S(T)=d x. 0x π On admet que limT→+∞S(T)=. 2 6)ExprimerR(θ,T) À l’aide deS. 7)Soitx,yR. Calculer la limite deR(x,T)R(y,T) quandT→ +∞(on discutera de cette limite en fonction des signes dexety). 8)Soita,bRtels quea<b. Montrer que Z Z T b 1 limha,b(t)φf(t)d t=f(t)d t. T→+∞ 2πT a 9)En dduire qu’tant donn deux fonctionsfetgdeE, siφf=φg, alors f=g.
C. Lasuiteak(f)ne caractrise pas toujoursf On dfinit la fonctionf0par 2  ¡(lnx)¢ exp1 2 ppourx>0, x 2π f0(x)= 0 pourxÉ0. 10)Montrer quef0E. 11)Montrer quef0admet des moments de tous ordres et calculerak(f0) pour toutkN. On introduit, poura[1, 1],la fonctionfadfinie surRpar la formule fa(x)=f0(x)(1+asin(2πlnx)). 12)Montrer quefaE, et queak(f0)=ak(fa) pour toutkN.
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D. Unecondition sur la suiteak(f) Dans cette partie,fest une fonction deEqui admet des moments de tous ordres, et vrifie en outre la condition (U) suivante : 1 a2k(f) 2k (Uexiste) IlM>0 tel que pour tout entierk>0, 0É ÉM. 2k Z k On posebk(f)= |x|f(x)d xpour tout entierk>0. R 13)Montrer que, pour tout entierkÊ0, on a l’ingalit ¡ ¢ 2 b2k+1(f)Éa2k(f)a2k+2(f). 1 bk(f) k 14)est majore par 2En dduire que la suite de terme gnralM. k 15)Montrer que pour tousxethrels, et pour tout entiernÊ1, n1m n X h|h| (m) φf(x+h)φ(x)Ébn(f). f ¯m!¯n! m=0 16)Montrer que, pour un certainA>0 que l’on exprimera en fonction deM, on a l’galit m X h (m) φf(x+h)=φ(x) f m! m=0 pour tout relxet pour touthtel que|h| <A. 17)En dduire que si`est un entier>0 etgune fonction deEadmettant des moments de tous ordres tels queak(f)=ak(g) pour toutkN, alors φf(x)=φg(x) `A`A pour toutx[(on pourra procder par rcurrence)., ] 2 2 18)Conclure.
E. Application 19)Rsoudre enfEle systme d’quations suivant : ( a2k(f)=(2k1)a2k2(f) a2k1(f)=0 pour tout entierkÊ1. (On pourra utiliser la fonction caractristique def.) FIN DU PROBLME
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