A MATH I MP

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


A 2007 MATH. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2007 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

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Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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A 2007MATH. IMP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2007
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP.
L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Séries et caractères
Dans tout le problème,Ndésigne l’ensemble des entiers,Z, l’ensemble des entiers relatifs etNun entier supérieur ou égal à2. L’ensemble des classes d’équivalence pour la division euclidienne parNest notéZ/NZ. L’élément générique de cet anneau sera notéa¯. On notePl’en-semble des éléments de{1,∙ ∙ ∙, N1}qui sont premiers avecN. L’ensemble des éléments inversibles pour la multiplication deZ/NZest noté(Z/NZ). On rappelle queϕ, l’indicatrice d’Euler, est telle queϕ(N)représente le cardinal deP. SiadivisebdansZ, on noteraa|b. ∗ ∗ On rappelle aussi le lemme suivant: soit(uk, kN)et(αk, kN)deux suites réelles. Si pour tout entiern1, on pose n X Tn=αk, k=0 alors m m1 X X αkuk=unTn1+Tk(ukuk1) +umTm,(1) k=n k=n pourn, mentiers tels que2n < m. On rappelle que pour toutx]1,1], X n (1) 2n+1 arctan(x) =x .(2) 2n+ 1 n=0 On suppose fixée une applicationχdeZdansRqui satisfait les propriétés suivantes :
A.χ(0) = 0etχnon identiquement nul. B. PourtoutaZ, non premier avecN, χ(a) = 0. C. Pourtous les entiers relatifsaetb, χ(ab) =χ(a)χ(b). D.χestN-périodique : χ(a+N) =χ(a),pour toutaZ.
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I Casparticuliers 1. Calculerχ(1).
2. LorsqueN= 2, déterminerχ. On suppose jusqu’à la fin de cette partie queN= 4.
3. Montrerqueχ(3)ne peut prendre que les valeurs1ou1.
4. On suppose maintenant queχ(3) =1. Montrer la convergence et calculer la valeur de la série X χ(n) . n n=1
P χ(n) II Convergencede la série n 1 Dans cette partie,aest un entier supérieur ou égal à1et premier avecN. Pourk∈ {1,∙ ∙ ∙, N1}, on désigne parrkle reste de la division deak parN. Q ϕ(N) 5. Enconsidérant le produitak, montrer quea1est divisible kP parN.
6. Montrerque|χ(a)|= 1.
7. Montrerque lesrksont deux à deux distincts.
8. Établirl’identité: N1N1 X X χ(ak) =χ(k). k=1k=1 On suppose dorénavant qu’il existeapremier avecNtel queχ(a)6= 1.
n+N1 P 9. Pourchaque entiern, calculerχ(k). k=n On pourra commencer par le casn= 0.
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10. Montrer,pour toutm >0, l’inégalité m X χ(k)ϕ(N).   k=1   n Pχ(k) 11. Montrerque la suite, n1est convergente. k=1k III Comportementasymptotique Pour tout entiern1, on pose X fn=χ(d). d|n 12. Soitnetmdeux entiers strictement positifs, premiers entre eux. Mon-trer quefnm=fnfm. 13. Soitpun nombre premier etαN. Calculerfp. α 14. Pourtout entiern1:, établir l’encadrement 0fnn.
15. Pourtout entiern1, montrer quefn1. 2
16. Déterminerle rayon de convergence de la série X n fnx . n=1 On notef(x)la somme de cette série.
17. Montrerpour toutx[1/2,1[: Z +12 u f(x)pedu. ln(x)ln(2) On pourra utiliser une comparaison d’une série à une intégrale. FIN DU PROBLÈME
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