A MATH I PC

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A 2010 MATH I PC ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PC). ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS 2010 PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filiere PC (Duree de l'epreuve : trois heures) Sujet mis a la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES I - PC L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre.

  • theoreme de fubini

  • lim n?

  • theoreme de convergence dominee pour etudier lim

  • telecom paristech

  • fac¸on apparente sur la premiere

  • composee des operateurs tf


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 26
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 6
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A 2010 MATH I PC
´ ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH ´ MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, ´ ´ TELECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH(Filie`rePC). ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS 2010
` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Fili`erePC
(Dur´eedel´epreuve:troisheures) Sujetmisa`ladispositiondesconcours: Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparente surlapremi`erepagedelacopie:
´ MATHEMATIQUES I - PC
L´enonce´decettee´preuvecomporte6pagesdetexte.
Si,aucoursdel´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurd´enonc´e,il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives quilestamen´e`aprendre.
The´ore`medelaLimiteCentrale.
Notations On introduit les trois espaces vectoriels surRde fonctions suivants C0(R), l’espace des fonctions continuesudeRdansRtelles que limu(xlim) = 0 =u(x). x→−∞x+On rappelle qu’une telle fonctionuur´etnssceesnrobsee´eriatnemR. ∞ ∞ C(R), l’espace des fonctions continues et de classeC(surR)udeRdansR 0 telles que (k) (k) kN,limu(xlim) = 0 =u(x). x→−∞x+(k) Onanot´euvie´´dree`emkei-delau. P(Rderensbpoae)s,´lenofsedecocsnoitcspueinntesivitosRdansRdont linte´gralesurRegale`a1.est´ On munitC0(R) de la norme de la convergence uniformekkuortnp,´emeecisspr´:plu toute fonctionu∈ C0(R), on pose kuk= sup|u(x)|. xR
Onpourrautiliserlibrementlethe´ore`medeFubiniadmisci-dessous : The´or`eme1.(Fubini) Soit(x, y)7→F(x, y)une fonction continue deR×Rdans R.On suppose queFsiortseleire´vt´essuivpropri´enaet.s R R ++1]Pourtousre´elsx, y,leeusdselatnixrge´|F(v, y)|dvet|F(x, t)|dtconvergent. −∞ −∞ R RR +++2] Lesfonctionsy7→ |F(x, y)|dx,x7→ |F(x, y)|dy,y7→F(x, y)dx, −∞ −∞−∞ R +x7→F(x, y)dysont toutes continues surR. −∞ R +3]y7→ |F(x, y)|dxrelusrgbant´eestiR,etsclarg:eiel´entdi`aqure −∞ Z Z ++|F(x, y)|dx dy −∞ −∞ converge. R R ++Alors dans ce cas,y7→F(x, y)dxetx7→F(x, y)dyblesegrasurni´tostn −∞ −∞ R,uretlsrue´tniargesselRutintervertirlestdueeuxremtnid,tnoepst´onaleg.Aes int´egrales: Z ZZ Z ++++F(x, y)dx dy=F(x, y)dy dx. −∞ −∞−∞ −∞
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I.Pr´eliminaires Pourfetgmevetiecsprentnaappraeta`tnP(R) etC0(Rrodutlepeniond´,)tied convolutionfgpar la formule Z +xR, fg(x) =f(t)g(xt)dt. −∞ Ond´enitfg(xrofemeˆmiselum)parlaf∈ C0(R) etg∈ P(R). R +Q1Soientf∈ P(R) etg∈ C0(R).Moraletr´qeugenltirnef(t)g(xt)dtconverge −∞ pourtoutr´eelx. Puis montrer quefgnoitunsenotcoicnnitunefurd´eR.(On R pourrautiliserlethe´ore`medecontinuite´souslesigneetonve´rieraavecsoinque lesconditionsdevalidite´sontremplies).V´erierdeplusque xR, fg(x) =gf(x).
Q2Montrer quelimfg(xiternesueraud`erqneuleoceluqe´leisnocnO(.0=) x+(xn)nNtendant vers +quonpeuavecsoinreelhte´atppiluqedeme`roire´arevnO. convergencedomin´eepoure´tudierlimfg(xnmeˆmeuqe)).Merdeontr n+limfg(x) = 0. x→−∞ Q3Soientfetgapaaptrnena`tP(R).Montrer alors quefg´deinutnefonctionde P(RulP.´rpssiceeme´,mnttronquere)fginut´decnitenofntinoncoruesuR,ee´nro,b positiveetdint´egralee´gale`a1.(Onappliqueralethe´ore`medeFubini`alafonction (x, y)7→f(y)g(xyndcoeselquerierte]1snoitirrasnpou)etoen´vreedettnceno 3]). Danslasuiteonadmettraetutiliseralibrementlere´sultatsuivant.Sifetg appartiennenta`P(R) etuest une fonction deC0(R) alors, f(gu) = (fg)u.
Soientf1, . . . , fndes fonctions deP(Rtiedocvnlspeorudnitalor).Ond´enioutol f1. . .fnocecnerruce´rrapuit:mmes f1. . .fk= (f1. . .fk1)fk,k∈ {3, . . . , n}. Il est clair quef1. . .fnest une fonction deP(R). n Dans la suite, on noterafla fonctionf. . .f,la fonctionfintervenantnfois. II.Uneclassedope´rateurssurC0(R) Soitfune fonction deP(R´erateurocielopssaiulnO.)Tfagissant surC0(Rd´)niepour toutu∈ C0(R) par Tf(u) =fu. 3
Dapre`sQ1etQ2,Tfeedsmhidnutine´promodneC0(R). Q4Soitfune fonction deP(R). Prouver que pour toutu∈ C0(R), kTf(u)k≤ kuk. Q5Soientfetgdeux fonctions deP(R).Prouver que pour toute fonctionudeC0(R), TfTg(u) =TgTf(u) o`uTfTgalocpmsoe´desepo´erateursesd´neigTfetTg. Q6Soientf1,f2,g1,g2des fonctions deP(R). Prouver que pour toutu∈ C0(R), kTf1Tf2(u)Tg1Tg2(u)k≤ kTf1(u)Tg1(u)k+kTf2(u)Tg2(u)kQ7Soientfetgdes fonctions deP(R). Prouver que siu∈ C0(R), alors pour tout nN, n n k(Tf) (u)(Tg) (u)knkTf(u)Tg(u)k. III. Lois normales Onintroduitpourtoutre´elh >0, la fonction 2 1x 2 gh(x) =e ,xR 2h h2π diteloinormaledeparame`treh. On admet queg1est une fonction deP(R). Q8ouPlee´rtuotrh >0, montrer queghest une fonction deP(R), puis calculer les deuxinte´gralessuivantes: Z Z ++2 xgh(x)gdx, xh(x)dx . −∞ −∞
Soienth1>0 eth2>tcirnemesoptfitiOns.meadratte:qudeux0lsstr´ee gh1gh2=gh, p 2 2 ou`h=h+h . 1 2 Q9Soith >0.eusdleirbltaEaviusse´tilage´xerateop´entrntes:uesr  n nN, T=Th=Tn. ghgh n(g) n IV. Convergence faible surP(R) D´enition:Soit (fn)nNune suite de fonctions deP(R). On dira que (fn) converge faiblement versf,fdetionofcnutentena´P(R), si pour toute fonctionudeC0(R), limkTfn(u)Tf(u)k= 0. n+4
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