A MATH II MP

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A 2011 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 DEUXIÈME ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • espace vectoriel des matrices

  • inégalité de cauchy schwarz

  • ensta paristech

  • filière mp

  • equation différentielle


Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 5
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A 2011MATH. II MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2011
DEUXIME PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
Sur le calcul des variations
Soit un intervalleIR, ni vide, ni rduit À un point, et un ensembleEde fonctionsf:IR. On se donne une applicationJ:ERdfinie au moyen d’une intgrale faisant intervenirfet ses drives. L’objectif de ce problme est d’tudier le minimum ventuel deJsurE: minJ(f), fE et de dterminer, dans certains cas particuliers, les pointsfdeEen lesquelsJ atteint son minimum. k k On noteEl’ensemble des fonctionsf: [0,1]Rde classeCtelles que a,b (k) f(0)=aetf(1)=b. La notationydsigne la drive d’ordrekde la fonctiony.
A. Prliminaire 4 2 1)On posej=exp(2iπ/3). Que vautj+j+1 ? On noteMn,p(C) l’espace vectoriel des matrices Ànlignes etpcolonnes surC et on considre la matriceAdeM4,4(C) suivante :   0 1 0 0 0 0 1 0 A= . 0 0 0 11 01 0 2)Proposer une matrice inversibleUet une matrice diagonaleDdeM4,4(C) 1 telles queU AU=D. La mthode choisie pour les obtenir doit tre explique. 3)En dduire les solutionsX:IM4,1(C) de l’quation diffrentielle 0 X=AX. (1) 4)Dterminer l’ensemble des solutionsy:ICde l’quation diffrentielle (4)00 y+y+y=0 (2) et prciser parmi ces solutions celles qui sont À valeurs dansR. On pourra considrer le vecteur   y 0 y Y= . 00 y(3) y
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B. Unlemme de du Bois-Reymond 2 3 5)On considre la fonctionh:RRdfinie parh(t)=(1t) si|t| É1 2 eth(t)=0 sinon. Montrer quehC(R,R) et reprsenter son graphe. La 3 fonctionhest-elle de classeCsurR? 6)Soitx0,x1des nombres rels tels quex0<x1. Construire À partir dehune 2 fonctiongC(R,R) vrifiantg(x)>0 pour toutx]x0,x1[ etg(x)=0 ailleurs. Z 1 0 2 7)SoitFC([0,1],R) telle queF(x)u(x) dx=0pour toutuE. D-0,0 0 montrer qu’alorsFest nulle.
C. Unecondition ncessaire d’Euler-Lagrange 2 Dans cette partie, on prendE=Epour un couple donn (a,b) de nombres a,b rels. La fonctionJest dfinie surEpar la formule Z 1 £ ¡¢ ¡¢¤ 0 J(f)=P f(x)+Q f(x) dx, 0 P,QR[X] sont des polynÔmes fixs. Soitf0E. On se propose de prouver que siJ(f0)ÉJ(f) pour toutfE, 2 alorsf0vrifie une certaine quation diffrentielle. SoituE. 0,0 8)Montrer que l’applicationqdfinie surRpar la formule q(t)=J(f0+t u) est polynomiale, c’est-À-dire qu’il existe une famille finie (a0,a1, . . . ,ar) de r P k nombres rels telle queq(t)=aktpour touttR. Expliciter le coef-k=0 ficienta1sous la forme d’une intgrale faisant intervenir les polynÔmes 0 0 drivsPetQ. 9)On suppose que pour toutfE,J(f0)ÉJ(f). Montrer qu’alorsa1=0 et en dduire l’quation diffrentielle : ¡ ¢d£ ¡¢¤ 0 00 x[0, 1],P f0(x)=Q f(x() .Δ) 0 dx Exemples Z 1 202 Premier exemple.On choisitE=EetJ=J1dfinie parJ1(f)=(f(x)) dx. 0,1 0
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10)Former l’quation diffrentielle (Δ) correspondante. Parmi ses solutions, 2 prciser celles qui appartiennent ÀE. 0,1 2 11)Montrer queJ1admet un minimum surE, prciser sa valeur ainsi que les 0,1 2 points deEoÙ ce minimum est ralis. (On pourra s’aider de l’ingalit 0,1 de Cauchy-Schwarz.) 2 DeuxiÈme exemple.On choisitE=EetJ=J2dfinie par 0,0 Z 1 ¡ ¢¡ ¢ 2 3 0 0 J2(f)=f(x)+f(x) dx. 0 12)Former l’quation diffrentielle (Δ) correspondante. Parmi ses solutions, 2 montrer que seule la fonction nulle appartient ÀE. 0,0 2 13)Montrer queJ2n’admet pas de minimum surE. (On pourra se servir de 0,0 2 la fonctionf1] par la formuledfinie sur l’intervalle [0,f(x)=x(1x).)
D. Unexemple avec drive seconde 4 Dans cette partie,Edsigne l’ensemble des fonctionsfC(R+,R) telles que 2002 fet (f) soientintgrables surR+. On rappelle que l’ensemble des fonctions 0 2 gC(R+,R) telles quegsoit intgrable surR+est unR-espace vectoriel, que 2 l’on noteL. Dans les deux questions suivantes, on considrefE. 00 0 14)Montrer que le produitf fest intgrable surR+et quef(x)f(x) ne tend pasvers+∞quandx→ +∞. 020 15)En dduire quefL, puis quef(x)f(x)0 quandx→ +∞. Dans cette partie, la fonctionJest dfinie par Z +∞ £ ¤ 202002 J(f)=(f(x))(f(x))+(f(x)) dx. 0 Par un raisonnement identique À celui de la partie C, on peut montrer, et on l’admettra, que si la fonctionJprsente un minimum en un lmentfdeE, (4)00 alorsfest solution surR+de l’quation (2) :y+y+y=0 . 16)Dterminer les solutions de (2) qui appartiennent ÀE. (On pourra d’abord 2 tudier leur appartenance ÀL.) On notee1ete2les fonctions dfinies surR+par les formules p p ³ ´³ ´ 3 3 t/2t/2 e1(t)=e costete2(t)=e sint. 2 2
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Un calcul montre, et on l’admettra, que pour tous relsαetβ, p 2 2 α3β αβ3 J(αe1+βe2)= ++. 4 42 On pose galement, pour touttR+, p ³ ´ 3π t/2 ψ(t)=e sint. 2 3 17)On suppose, dans cette question, que la fonctionJprsente un minimum en un lmentfdeE. Montrer quefest solution surR+de l’quation 00 0 y+y+y=0. Montrer par ailleurs qu’il existeλRtel quef=λψ. 18)Montrer que pour toutfEet tout relA>0, Z Ah i ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ 2 22 0 00 f(x)f(x)+f(x) dx 0 Z A £ ¤¡ ¢¡ ¢ 2 22 0 000 0 =f(x)+f(x)+f(x) dx+f(0)+f(0)f(A)+f(A) . 0 ¡ ¢ 2 0 Quel est le comportement def(A)+f(A) lorsqueA→ +∞? En dduire que la fonctionJadmet effectivement un minimum au pointλψpour chaqueλR. 19)Indiquer comment le point de vue de la question prcdente permet de retrouver directement toutes les fonctionsf0Etelles queJ(f0)= minJ(f), sans passer par l’quation diffrentielle (2). fE
E. Application: une ingalit de Hardy et Littlewood 2 On reprend les notations de la partie prcdente, et pour toutgL, on note s Z +∞ ¡ ¢ 2 kgk =g(x) dx. 0 20)Montrer que pour toutfE, 0200 kfk É2kfk ∙ kfk. On pourra poserfµ(x)=f(µx) et utiliser le fait queJ(fµ)Ê0, pourtout relµ>0. 21)Dterminer tous les cas d’galit dans l’ingalit prcdente. FIN DU PROBLME
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