A MATH II MP

Description

Niveau: Supérieur
A 2011 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 DEUXIÈME ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• espace vectoriel des matrices


• inégalité de cauchy schwarz


• ensta paristech


• filière mp


• equation différentielle

Sujets

• Télécom ParisTech
• École polytechnique
• Télécom Bretagne
• École nationale supérieure de techniques avancées
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

A 2011MATH. II MP

COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIRE MP), COLE POLYTECHNIQUE (F ILIRE TSI).

CONCOURS 2011

DEUXIME PREUVE DE MATHMATIQUES

Filire MP

(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL , ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES II - MP.

L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.

Sur le calcul des variations

Soit un intervalle I⊂R , ni vide, ni rduit À un point, et un ensemble E de fonctions f : I→R . On se donne une application J : E→R dfinie au moyen d’une intgrale faisant intervenir f et ses drives. L’objectif de ce problme est d’tudier le minimum ventuel deJsurE: minJ(f), f∈E et de dterminer, dans certains cas particuliers, les points f de E en lesquels J atteint son minimum. k k On note E l’ensemble des fonctions f : [0 , 1] →R de classe C telles que a,b (k) f (0) =a et f (1) =b . La notation y dsigne la drive d’ordre k de la fonction y .

A. Prliminaire 4 2 1)On posej=exp(2iπ/3). Que vautj+j+1 ? On note M n,p ( C ) l’espace vectoriel des matrices À n lignes et p colonnes sur C et on considre la matriceAdeM 4,4 (C) suivante :   0 1 0 0 0 0 1 0 A=   .  0 0 0 1  −1 0−1 0 2) Proposer une matrice inversible U et une matrice diagonale D de M 4,4 ( C ) −1 telles que U AU=D . La mthode choisie pour les obtenir doit tre explique. 3)En dduire les solutionsX:I→M 4,1 (C) de l’quation diffrentielle 0 X=AX. (1) 4) Dterminer l’ensemble des solutions y : I→C de l’quation diffrentielle (4)00 y+y+y=0 (2) et prciser parmi ces solutions celles qui sont À valeurs dans R . On pourra considrer le vecteur   y 0 y Y=   . 00  y  (3) y

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B. Unlemme de du Bois-Reymond 2 3 5) On considre la fonction h : R→R dfinie par h ( t ) = (1 −t ) si |t| É 1 2 et h ( t ) = 0 sinon. Montrer que h∈C ( R,R ) et reprsenter son graphe. La 3 fonctionhest-elle de classeCsurR? 6) Soit x 0 ,x 1 des nombres rels tels que x 0 <x 1 . Construire À partir de h une 2 fonction g∈C ( R,R ) vrifiant g ( x ) > 0 pour tout x∈ ] x 0 ,x 1 [ et g ( x ) = 0 ailleurs. Z 1 0 2 7) Soit F∈C ([0 , 1] ,R ) telle que F(x)u(x) dx=0 pour tout u∈E . D- 0,0 0 montrer qu’alorsFest nulle.

C. Unecondition ncessaire d’Euler-Lagrange 2 Dans cette partie, on prend E=E pour un couple donn ( a,b ) de nombres a,b rels. La fonctionJest dfinie surEpar la formule Z 1 £ ¡¢ ¡¢¤ 0 J(f)=P f(x)+Q f(x) dx, 0 oÙP,Q∈R[X] sont des polynÔmes fixs. Soit f 0 ∈E . On se propose de prouver que si J ( f 0 ) ÉJ ( f ) pour tout f∈E , 2 alorsf 0 vrifie une certaine quation diffrentielle. Soitu∈E. 0,0 8)Montrer que l’applicationqdfinie surRpar la formule q(t)=J(f 0 +t u) est polynomiale, c’est-À-dire qu’il existe une famille finie ( a 0 ,a 1 , . . . ,a r ) de r P k nombres rels telle que q ( t ) =a k t pour tout t∈R . Expliciter le coef- k=0 ficient a 1 sous la forme d’une intgrale faisant intervenir les polynÔmes 0 0 drivsPetQ. 9) On suppose que pour tout f∈E , J ( f 0 ) ÉJ ( f ). Montrer qu’alors a 1 = 0 et en dduire l’quation diffrentielle : ¡ ¢ d £ ¡¢¤ 0 00 ∀x∈[0, 1],P f 0 (x)=Q f(x() .Δ) 0 dx Exemples Z 1 2 02 Premier exemple.On choisitE=EetJ=J 1 dfinie parJ 1 (f)=(f(x)) dx. 0,1 0

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10) Former l’quation diffrentielle ( Δ ) correspondante. Parmi ses solutions, 2 prciser celles qui appartiennent ÀE. 0,1 2 11) Montrer que J 1 admet un minimum sur E , prciser sa valeur ainsi que les 0,1 2 points de E oÙ ce minimum est ralis. (On pourra s’aider de l’ingalit 0,1 de Cauchy-Schwarz.) 2 DeuxiÈme exemple.On choisitE=EetJ=J 2 dfinie par 0,0 Z 1 ¡ ¢¡ ¢ 2 3 0 0 J 2 (f)=f(x)+f(x) dx. 0 12) Former l’quation diffrentielle ( Δ ) correspondante. Parmi ses solutions, 2 montrer que seule la fonction nulle appartient ÀE. 0,0 2 13) Montrer que J 2 n’admet pas de minimum sur E . (On pourra se servir de 0,0 2 la fonctionf1] par la formuledfinie sur l’intervalle [0,f(x)=x(1−x).)

D. Unexemple avec drive seconde 4 Dans cette partie, E dsigne l’ensemble des fonctions f∈C ( R + ,R ) telles que 2002 f et ( f ) soientintgrables sur R + . On rappelle que l’ensemble des fonctions 0 2 g∈C ( R + ,R ) telles que g soit intgrable sur R + est un R -espace vectoriel, que 2 l’on noteL. Dans les deux questions suivantes, on considref∈E. 00 0 14) Montrer que le produit f f est intgrable sur R + et que f ( x ) f ( x ) ne tend pasvers+∞quandx→ +∞. 020 15)En dduire quef∈L, puis quef(x)f(x)→0 quandx→ +∞. Dans cette partie, la fonctionJest dfinie par Z +∞ £ ¤ 202002 J(f)=(f(x))−(f(x))+(f(x)) dx. 0 Par un raisonnement identique À celui de la partie C, on peut montrer, et on l’admettra, que si la fonction J prsente un minimum en un lment f de E , (4)00 alorsfest solution surR + de l’quation (2) :y+y+y=0 . 16) Dterminer les solutions de (2) qui appartiennent À E . (On pourra d’abord 2 tudier leur appartenance ÀL.) On notee 1 ete 2 les fonctions dfinies surR + par les formules p p ³ ´³ ´ 3 3 −t/2−t/2 e 1 (t)=e costete 2 (t)=e sint. 2 2

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Un calcul montre, et on l’admettra, que pour tous relsαetβ, p 2 2 α3β αβ3 J(αe 1 +βe 2 )= ++. 4 42 On pose galement, pour toutt∈R + , p ³ ´ 3π −t/2 ψ(t)=e sint−. 2 3 17) On suppose, dans cette question, que la fonction J prsente un minimum en un lment f de E . Montrer que f est solution sur R + de l’quation 00 0 y+y+y=0. Montrer par ailleurs qu’il existeλ∈Rtel quef=λψ. 18)Montrer que pour toutf∈Eet tout relA>0, Z A h i ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ 2 22 0 00 f(x)−f(x)+f(x) dx 0 Z A £ ¤¡ ¢¡ ¢ 2 22 0 000 0 =f(x)+f(x)+f(x) dx+f(0)+f(0)−f(A)+f(A) . 0 ¡ ¢ 2 0 Quel est le comportement de f ( A ) +f ( A ) lorsque A→ +∞ ? En dduire que la fonction J admet effectivement un minimum au point λψ pour chaqueλ∈R. 19) Indiquer comment le point de vue de la question prcdente permet de retrouver directement toutes les fonctions f 0 ∈E telles que J ( f 0 ) = minJ(f), sans passer par l’quation diffrentielle (2). f∈E

E. Application: une ingalit de Hardy et Littlewood 2 On reprend les notations de la partie prcdente, et pour tout g∈L , on note s Z +∞ ¡ ¢ 2 kgk =g(x) dx. 0 20)Montrer que pour toutf∈E, 0200 kfk É2kfk ∙ kfk. On pourra poser f µ ( x ) =f ( µx ) et utiliser le fait que J ( f µ ) Ê 0, pourtout relµ>0. 21)Dterminer tous les cas d’galit dans l’ingalit prcdente. F IN DU PROBLME

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