A MATH II MP

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A 2010 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2010 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • entier ê

  • rang rn du système constitué

  • vecteur de rn

  • rayon de convergence de la série entière

  • ensta paristech

  • espace vectoriel des matrices réelles

  • matrices deun


Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 4
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A 2010MATH. II MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2010
SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
DÉnombrements de certaines matrices binaires
Soitnun entierÊ2. On noteMn(R) l’espace vectoriel des matrices relles Ànlignes etncolonnes. On appellematrice binairede taillenune matrice AMn(R) dont tous les coefficients sont gaux À 0 ou À 1. L’lment d’une telle matrice situ sur lai-ime ligne et laj-ime colonne est dit en position (i,j), oÙ 1ÉiÉnet 1ÉjÉn. On dsigne parUnl’ensemble des matrices binaires de taillencomportant exactement deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne. L’exemple suivant :   1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 11 0 1 0
est une matrice deU4. On noteunle cardinal deUn, et on pose par conventionu0=1 etu1=0.
La partie D est indÉpendante des parties B et C.
A. Questionsprliminaires 1)Exhiber toutes les matrices deUnpourn=2 et 3, et dterminer les valeurs correspondantes deun. (Dans le casn=3, on pourra raisonner sur la position des lments nuls dans chacune de ces matrices.) n SoitX0le vecteur deRdont tous les coefficients sont gaux À 1 etJla matrice deMn(R) dont tous les coefficients sont gaux À 1. 2)SiAUn, montrer queX0est un vecteur propre deA. Quelle est la valeur propre associe ? SoitHnl’ensemble des lments deUncomportant un 1 en position (1,1). On notehnle cardinal deHn. 3)Calculer la somme de toutes les matrices deUnen fonction dehnet deJ.
B. Ètudedu cardinal deUn n 4)tablir la relationun=hnpour toutnÊ2. (On pourra s’aider des deux 2 questions prcdentes.) SoitKnl’ensemble des lments deHncomportant un 1 en position (1,2) et un 1 en position (2,1). On noteknle cardinal deKn.
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5)Pour toutnÊ2, tablir une relation donnanthnen fonction deknet de 2 (n1) . 6)En examinant les possibilits pour le coefficient situ en position (2,2), dmontrer la relationkn=un2+hn1pour toutnÊ4. un On posewn=pour toutnN. 2 (n!) 7)Dduire de ce qui prcde une relation de rcurrence pour la suite (un)nN, puis pour la suite (wn)nN. 8)Prouver quewn[0,1] pour toutnN, et que la srie de terme gnral wndiverge. Que peut-on en dduire pour le rayon de convergence de la X n srie entirewnx? X n On poseW(x)=wnxpour toutx]1, 1[. n=0 9)Donner une quation diffrentielle vrifie parWet en dduire une ex-pression deW(x) en fonction dex.
C. Èquivalentd’une suite de coefficients d’un dveloppement en srie entire Cette partie permet d’obtenir un quivalent deunpourn→ +∞. Soitαun rel etβun rel>0. On considre la fonctionφdfinie pourx]1,1[ par la formule : αx e φ(x)= ∙ β (1x) R t1x On noteΓ(t)=x edxla fonction Gamma dfinie pour tout relt>0 ; 0 p 1 on rappelle queΓ( )=πet queΓ(t+1)=tΓ(t) pour toutt>0. 2 X n 10)Montrer queφ(x) est la somme d’une srie entireφnxpour tout x]1, 1[. 11)Montrer que six]1, 1[,on peut crire : X 1 n =anx β (1x) n=0 oÙ l’on exprimera les coefficientsanen fonction den!,Γ(β) etΓ(n+β). ψn 12)En dduire queφn=pour toutnN, oÙ l’on a pos : n!Γ(β) Z β1u n ψn=u e(α+u) du. 0
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13)On fixeaRtel quea> |α|. A l’aide des variations de la fonction u n u7→e(α+u) R a β1u n ¯ ¯ dfinie pour toutuÊ −α, montrer queu e(α+u) duest ngli-0 R β1u n geable devantu e(α+u) duquandn→ +∞. a 14)En dduire qu’il existea> |α|tel queψnsoit quivalent À l’intgrale R u n+β1 e(α+u) duquandn→ +∞. a α 15)En conclure que les suitesψneteΓ(n+β) sont quivalentes. On revient sur la suite (un)nNdfinie au dbut du problme. 16)tablir un quivalent deφn, puis deunquandn→ +∞. On prendra soin de simplifier l’quivalent trouv deunen utilisant la formule de Stirling.
D. Ètudede rang Dans cette partie, on cherche À dterminer le rangrndu systme constitu desunmatrices deUn, considres comme des lments deMn(R). On rappelle n queX0est le vecteur deRdont tous les coefficients sont gaux À 1, et queJest la matrice deMn(R) dont tous les coefficients sont gaux À 1. 17)Calculerrnpourn=2 et 3. (Dans le casn=3, on pourra considrer les matricesJA, oÙAU3.) On considre l’espace vectorielVndes matricesAMn(R) telles queX0soit À la t fois un vecteur propre pourAet pour sa transposeA. t 18)Montrer queUnVnet comparer les valeurs propres deAet deAasso-cies ÀX0lorsqueAVn. 19)Dterminer la dimension deVn. (On pourra considrer une base ortho-n norme deRdont un des vecteurs est colinaire ÀX0.) En dduire une majoration surrn. PournÊ3, soitAune matrice deUncomportant des 1 en positions (1,1) et (2,2) et des 0 en positions (1,2) et (2,1). 20)Montrer qu’il existe une matriceBdeUntelle queABne comporte que des lments nuls,saufen positions (i,j) pouriÉ2 etjÉ2. En dduire 0 que sirdsigne le rang du systme constitu de toutes les matricesUV n 02 U,VUn, on arÊ(n1) . n 21)Conclure.
FIN DU PROBLME
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