A MATH II MP

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


A 2009 MATH. II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai- sons des initiatives qu'il est amené à prendre.

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  • comparaison des normes n∞

  • disposition des concours

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  • ?k

  • supérieure de l'aéronautique et de l'espace

  • norme n2


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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A 2009MATH. II MP
COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSES. COLES NATIONALES SUPRIEURES DE L’ARONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCES, DES TLCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-TIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TLCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. COLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2009
DEUXIME PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai-sons des initiatives qu’il est amen À prendre.
ThÉorÈme de Mntz
On dsigne parCl’espace vectoriel des fonctions relles continues([0, 1]) λ sur [0, 1]. Pour toutλÊ0, on noteφλl’lment deC([0, 1]) dfini parφλ(x)=x. 0 Par convention on a pos 0=1 de sorte queφ0est la fonction constante 1. Soit (λk)kNune suite de relsÊ0 deux À deux distincts. On noteWle sous-espace vectoriel deC([0, 1])engend lle(φme r la famiλk)kN. Le but du probl est d’tablir des critres de densit de l’espaceWdansCpour l’une ou([0, 1]) l’autre des deux normes classiquesNouN2dfinies par : µZ ¶ 1 12 2 N(f)=sup|f(x)|etN2(f)= |f(x)|d x. x[0,1] 0
La question prÉliminaire et les parties A, B, C et D sont indÉpendantes les unes des autres.
Question prliminaire 1)Montrer que (φλ)λÊ0est une famille libre deC([0, 1]).
A. Dterminantsde Cauchy On considre un entiern>0 et deux suites finies (a() etb) de k1ÉkÉn k1ÉkÉn rels telles queak+bk6=0 pour toutk{1, 2, . . . ,n}. Pour tout entiermtel que 0<mÉn, ledÉterminant de Cauchyd’ordremest dfini par : 1 11 ∙ ∙ ∙ a1+b1a1+b2a1+bm 1 11 ∙ ∙ ∙ a2+b1a2+b2a2+bm Dm=. . .. 1 11 ¯¯ ∙ ∙ ∙ am+b1am+b2am+bm On dfinit la fraction rationnelle : n1 Y (Xak) k=1 R(X)= ∙ n Y (X+bk) k=1
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n X Ak 2)Montrer que siR(X) est de la formeR(X)=, alors X+bk k=1 AnDn=R(an)Dn1. On pourra pour cela considrer le dterminant obtenu À partir deDnen remplaÇant la dernire colonne par   R(a1) R(a2) .   . R(an) 3)En dduire que Y (ajai)(bjbi) 1Éi<jÉn Dn=Y(ai+bj) 1ÉiÉn 1ÉjÉn
B. Distanced’un point À une partie dans un espace norm SoitEun espace vectoriel norm par une normek ∙ k. On rappelle que la distance d’un lmentxEÀ une partie non videAdeEest le rel notd(x,A) dfini par : d(x,A)=infkxyk. yA 4)Montrer qued(x,A)=0 si et seulement sixest adhrent ÀA. 5)Montrer que si (An)nÊ0est une suite croissante de parties deEet si S A=nÊ0Analorsd(x,A)=limnd(x,An). On considre un sous-espace vectorielVdedimension finiedeE, et on note B={y;kyxk É kxk}. 6)Montrer queBVest compacte et qued(x,V)=d(x,BV) pour tout xE. 7)En dduire que pour toutxE, il existe un lmentyVtel que d(x,V)= kxyk.
C. Distanced’un point À un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien Dans cette partie, on suppose que la norme sur l’espace vectorielEest d-p finie À partir d’un produit scalaire (∙|∙) surE:kxk =(x|x).
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8)Montrer que siVest un sous-espace vectoriel dedimension finiedeE, alors pour toutxE, la projection orthogonale dexsurVest l’unique lmentyVvrifiantd(x,V)= kxyk. n Pour tout suite finie (x1,x2, . . . ,xn)Eon dsigne parG(x1,x2, . . . ,xn) le dter-minant de lamatrice de Gramd’ordrendfinie par :   (x1|x1) (x1|x2)∙ ∙ ∙(x1|xn) (x2|x1) (x2|x2)∙ ∙ ∙(x2|xn) M(x1,x2, . . . ,xn)=.   . .. (xn|x1) (xn|x2)∙ ∙ ∙(xn|xn) 9)Montrer queG(x1,x2, . . . ,xn)=0 si et seulement si la famille (x1,x2, . . . ,xn) est lie. 10)On suppose que la famille (x1,x2, . . . ,xn) est libre et l’on dsigne parV l’espace vectoriel qu’elle engendre. Montrer que, pour toutxE, G(x1,x2, . . . ,xn,x) 2 d(x,V)= ∙ G(x1,x2, . . . ,xn)
D. Comparaisondes normesNetN2 2 Pour toute partieAdeCon note([0, 1])AetAles adhrences deApour les normesNetN2, respectivement. PourfC([0, 1])la notationd(f,A) d-signe toujours la distance defÀA relativement À la norme N2(on ne consid-rera jamais, dans l’nonc, la distance d’un lment À une partie relativement À la normeN). 11)Montrer que pour toutfC([0, 1]),N2(f)ÉN(f). En dduire que pour 2 toute partieAdeC([0, 1])on aAA. © ª On considre l’ensembleV0=fC;([0, 1])f(0)=0 ,et on rappelle queφ0 dsigne la fonction constante 1. 2 12)Montrer queφ0V0. 13)En dduire queV0est dense dansC([0, 1])pour la normeN2, mais n’est pasdense pour la normeN. 14)Montrer que siVest un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel norm, alors son adhrenceVest galement un espace vectoriel. 15)Montrer qu’un sous-espace vectorielVdeC([0, 1]) est dense pour la norme Nsi et seulement si pour tout entiermÊ0,φmV. 16)En dduire qu’un sous-espace vectorielVdeCest dense pour la([0, 1]) 2 normeN2si et seulement si pour tout entiermÊ0,φmV.
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E. Uncritre de densit deWpour la normeN2 Pour toutnN, on noteWnl’espace vectoriel engendr par la famille finie (φλ)0ÉkÉn. k 17)Montrer que l’espaceWest dense dansC([0, 1])pour la normeN2si et seulement si limnd(φµ,Wn)=0 pour tout entierµÊ0. 18)Montrer que pour toutµÊ0, n Y 1|λµ| k d(φµ,Wn)=p. 2µ+1λk+µ+1 k=0 ³ ´ |λkµ| 19)Montrer que pour toutµÊ0, la suitetend vers 1 si et kN λk+µ+1 seulement si la suite (λk)kNtend vers+∞. (On pourra pour cela tudier les variations de la fonction µx x[0,µ]7→ ∙) x+µ+1 20)En dduire que l’espaceWest dense dansC([0, 1])pour la normeN2si et X 1 seulement si la srieest divergente. λ k k
F. Uncritre de densit deWpour la normeN21)Montrer que siWest dense dansC([0, 1]) pour la normeN, alors la srie X 1 est divergente. λ k k P n lment q 22)Soitψ=akφλkdeun uelconqueWn. Montrer que siλkÊ1 k=0 pour toutk{0, 1, . . . ,n}, alors pour toutµÊ1, on a : n ¡ X¢ N(φµψ)ÉN2µφµ1akλkφλk1. k=0 23)On suppose que la suite (λk)kNvrifie les deux conditions suivantes : ( (i) :λ0=0 (ii) :λkÊ1 pour toutkÊ1. X 1 Montrer que sous ces conditions, si la srieest divergente, alorsW λ k k est dense dansCpour la norme([0, 1])N. 24)Montrer que la conclusion prcdente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible : 0 (iiinf) :λk>0. kÊ1 FIN DU PROBLME
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