A MATH II PC

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A 2010 MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2010 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • image de l'application

  • analogue complexe suivant du théorème de rolle

  • application de cn?1

  • polynôme dérivé

  • zi ?

  • coefficients complexes de degré inférieur

  • telecom paristech

  • complexe des polynômes


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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A 2010 MATH II PC
éCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT éTIENNE, MINES DE NANCY, TéLéCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FiliÈre PC). éCOLE POLYTECHNIQUE (FiliÈre TSI).
CONCOURS 2010
SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES
Filire PC
(Dure de l’preuve : trois heures) Sujet mis À la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - PC
L’nonc de cette preuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’Épreuve, un candidat repÈre ce qui lui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amenÉ À prendre.
ThÉorÈme de Rolle dans le cas complexe .
Dans ce problÈme on se propose de prouver l’analogue complexe suivant du thÉorÈme de Rolle : ThÉorÈme 1.Soientaetbdeux nombres complexes distincts etnun entier >2.SoitP(X)C[X]un polynÔme de degrÉntel queP(a) =P(b). Le 0 0 polynÔme dÉrivÉP(X)dePpossÈde alors au moins un zÉroz0(ieP(z0) = 0) dans le disque n o a+b Da,b;n=zC;|z− |6Rn(a, b), 2 π |ab|cos( ) n Rn(a, b) =. π 2 sin() n N X l0 SoitP(X) =ulXC[X],le polynÔme dÉrivÉP(X)deP(X), est l=0 donnÉ par : N1 X 0l P(X) =ul+1(l+ 1)X . l=0   n n! Pourk∈ {0, . . . , n}.le coefficient binomial, dÉsigne k(nk)!k! A. DÉfinitiondeAzP(X). On noteCn[X]l’espace vectoriel complexe des polynÔmes À coefficients complexes de degrÉ infÉrieur ou Égal Àn.SoitPCn[X]etzC.On dÉfinit le polynÔmeAzPC[X]par la formule : 0 AzP(X) = (zX)P(X) +nP(X). Cette dÉfinition deAzdÉpend donc de l’espace de dÉpartCn[X]. 1)VÉrifier queAzdÉfinit une application linÉaire deCn[X]versCn1[X]. 2)Soientz1, z2CetPCn[X]. Prouver que :    Az1Az2P(X) =Az2Az1P(X), oÙ dans la compositionAz1Az2(du membre de gauche),Az2est vu comme application deCn[X]versCn1[X]etAz1est vu comme ap-plication deCn1[X]versCn2[X]. Pareillement, dans la composition 2
Az2Az1(du membre de droite),Az1est vu comme application de Cn[X]versCn1[X]etAz2est vu comme application deCn1[X]vers Cn2[X]. 3)PourzC, dÉterminer l’ensemble desPCn[X]tels queAzP(X)soit le polynÔme nul. (On pourra utiliser la famille formÉe par les polynÔmes k (Xz),06k6n). DÉterminer alors l’image de l’application Az:Cn[X]7→Cn1[X].
4)SoitzC.DÉterminer les valeurs propres et sous espaces propres de c l’endomorphismeAzdeCn[X]dÉfini par : 0 c PCn[X], Az(P)(X) = (zX)P(X) +nP(X). c Montrer queAzest diagonalisable. 5)On conserve les notations de la question prÉcÉdente. SoitEun endo-c morphisme deCn[X]commutant avecAz. Montrer qu’il existeQc Cn[X]tel queQ(Az) =E.(On pourra utiliser un polynÔme associÉ À une interpolation de Lagrange convenable).
B. DÉfinitiondeδξ. On considÈre la bijectionf: f:C\ {0}C\ {0} 1 zC\ {0} 7→=f(z) z 2 On se place dans le plan euclidienRidentifiÉ ÀC.On dÉsignera parC un cercle (de centrez0et de rayonRnon nul) deC: C={zC,|zz0|=R}. + On notera respectivementCetCl’intÉrieur gÉomÉtrique et l’extÉrieur gÉomÉtrique deC. Plus prÉcisÉment : + C={zC,|zz0|< R},C={zC,|zz0|> R}. 6)SoitCun cercle de centrez0et de rayonR >0tel que l’origine0 +appartient ÀC.On posez0=rer]R,+[etαR.Prouver quef(C)est un cercle dont on prÉcisera le centre et le rayon en fonction + der, α, R.VÉrifier en outre que l’origine0appartient Àf(C).(On pourra partir de 2 (zz0)(zz0) =zzz0zzz0+z0z0=R .)
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7)On conserve les hypothÈses et notations de la question prÉcÉdente. − − Prouver quef(C) =f(C).C’est À dire queftransforme l’intÉrieur du cercleCen la totalitÉ de l’intÉrieur du cerclef(C)(on pourra utili-ser le faitadmissuivant. Un pointudeC\ {0}appartient ÀCsi et seulement si la demi-droiteDuissue de0et passant parurencontreC en deux points distinctsA, Btels queuappartient au segmentouvert ]A, B[. On pourra alors considÉrerf(Du)).
Soientz1,∙ ∙ ∙, znC, non nÉcessairement deux À deux distincts. n X 1 1 SoitξC\ {zi, i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}}esttel quenon nul. On n ziξ i=1 considÈrealorsle nombre complexeδξdÉfini par n X 1 11 =.(1) δξzξ niξ i=1
8)SoitCun cercle tel que{zi, i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}} ⊂ C.Montrer que si +l’origine0appartient ÀCalorsδ0est bien dÉfini et appartient ÀC n X 1 (on pourra commencer par prouver quef(zi)appartient Àf(C)). n i=0 9)SoitCun cercle tel que{zi, i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}} ⊂ C.Montrer que si +ξ∈ Calorsδξest bien dÉfini et appartient ÀC.
C. Conditiond’apolaritÉ. Dans cette partie,z1,∙ ∙ ∙, zndÉsignerontnnombres complexes non nÉ-cessairement deux À deux distincts. n Y 10)SoitP(X() =Xzi)un polynÔme deCn[X]et i=1 ξC\ {zi, i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}}. 0 P(ξ) 1 Exprimer enfonction des(16i6n).En dÉduire que si P(ξ)ξzi 0 P(ξ)est non nul alors P(ξ) δξ=ξn 0 P(ξ) δξest dÉfini par (1). 4
n Y 11)SoitP(X() =Xzi)C[X]etzC\ {zi, i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}}. i=1 Montrer que l’ensemble des zÉrosξCdeAzP(X)est la rÉunion des deux ensembles suivants : 0 {zi,16i6n, P(zi) = 0}. {ξC\ {zi, i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}}, δξ=z},δξest dÉfini par (1). 12)On conserve les notations de la question prÉcÉdente. Montrer que n X 1 z=zj n j=1 si et seulement si le degrÉ deAzP(X)est strictement infÉrieur Àn1. n Y 13)On considÈre le polynÔmeP(X) =(Xzi)etzC.On suppose i=1 ⊂ Cet qu’il existe un cercleC1tel que{zi, i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}}1 + z∈ C1∪ C1. Prouver alors queAzP(X)estexactementde degrÉn1. Puis prouver que lesn1zÉros deAzP(X)(en comptant les multi-plicitÉs) appartiennent tous ÀC(on pourra utiliser les questions 9 et 1 11). On considÈre deux polynÔmes deC[X]de degrÉn, n n Y Y 0 P(X) =u(Xz (Xzi),etQ(X) =vi), i=1i=1 ∗ 0 És ntrespec u, vCetzi, zid ignetivement les zÉros deP(X)et Q(X). On dira quePestapolaire par rapport ÀQsiAzAz∙ ∙ ∙AzP(X) = 0. 0 00 1 2n Quand on Écrdan itAzAz∙ ∙ ∙Azns cet ordre on utilise la convention 0 00 1 2 dÉcrite dans la qcisÉment estvu comme ap-uestion 2. Plus prÉ,Azn 0 plication deCn[X]versCn1[X],Azest vu comme application de 0 n1 Cn1[X]versCn2[X],. . .,Azest vu comme application deC1[X]vers 0 1 AinsiAzAz∙ ∙ ∙ C.1 2AznP(X)est une constante. 0 00 14)On suppose quePest apolaire par rapport ÀQ. Montrer que siCest un cercle tel que{zi, i∈ {1,∙ ∙ ∙, n}} ⊂ Calors il existei∈ {1,∙ ∙ ∙, n} 0 − tel quez∈ C(on utilisera la question prÉcÉdente). i Dans la suite, on fixea, bdeux points distincts deC.
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15)Montrer qu’il existeb0,∙ ∙ ∙, bn1Cque l’on calculera, tels que pour tout polynÔme du type    n1n1 n2n1 T(X) =a0+a1X+∙ ∙ ∙+an2X+an1X , 1n2 R 1 on aitT(a+t(ba))dt= 0    n1n1 n1 a0bn1a1bn2+a2bn3+∙ ∙ ∙+ (1)an1b0. 1 2
Avec les notations de la question prÉcÉdente, on fixenun entier supÉ-rieur ou Égal À deux et on pose    n1n1 n2n1 Δ(X) =b0+b1X+∙ ∙ ∙+bn2X+bn1X . 1n2   n n 16)Montrer queΔ(X) =Cn(Xa)(Xb)Cnest une constante non nulle que l’on calculera.
SoitP(X)Cn[X]de degrÉn>2tel queP(a) =P(b).On Écrit    n1n1 0n2n1 P(X) =a0+a1X+∙ ∙ ∙+an2X+an1X . 1n2
On dÉsigne part1, t2, . . . , tn1les zÉros (comptÉs avec multiplicitÉ) de 0a1 n1n P(X).On admet que la constante(1)At1At2. . . Atn1Δ(X) (n1)! est Égale À :    n1n1 n1 a0bn1a1bn2+a2bn3+∙ ∙ ∙+ (1)an1b0. 1 2
0 17)Montrer queΔ(X)est apolaire par rapport ÀP(X)(on pourra utiliser la question 15). En dÉduire alors leThÉorÈme 1(on pourra appliquer la question 14).
Fin du problÈme
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