A MATH II PC

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Niveau: Supérieur

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A 2009 MATH. II PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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A 2009MATH. IIPC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2009
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Autour du noyau de Poisson
Définitions et notations – OnnoteF;l’ensemble des nombres réels positifs non entiers On noteDl’ensemble des nombres complexes de module inférieur strictement à1. SiZest un nombre complexe, on noteRe(Z)sa partie réelle etIm(Z)sa partie imaginaire. Dans tout le problème, on désigne pargla fonction réelle de variable réelle définie par : g: [0,1]−→R 1 u71 +u I Questionpréliminaire 1) Soitxun réel. Montrer que l’intégrale : Z x1x 1 u+u I(x) =du 01 +u existe si et seulement six]0,1[.
L’objet du problème est de calculer la valeur de cette intégrale.
II Uneidentité intégrale Soitfune fonction à valeurs réelles, définie et développable en série entière sur[0,1[. On note(an)nNles coefficients de son développement.
2) Montrerque l’expression Z 1 x1 v f(yv)dv 0 a un sens pour toutx >0et touty]0,1[.
2
Pourx >0, on pose Z 1 x1 v f(yv)dv 0 S[f](x, y) = f(0) x
poury]0,1[,
poury= 0.
3) Montrerque pour toutx >0, la fonctiony7→S[f](x, y)est continue sur[0,1[.
4)Montrer que pour toutxF, la fonctiony7→S[f](x, y)est développable en série entière sur[0,1[,et donner les coefficients de son développement en série entière.
˜ On considère la fonctionfdéfinie surDpar la relation : +X ˜ n zD:f(z) =anz . n=0 Pour toutxFet touty[0,1[,on considère l’expression : Z  1 π iπxt iπt ˜ J[f](x, y) =Ree f(ye)dt . sin(πx)0
5) Calculer,pour toutxFet toutnN: nZ 1 (1)π In(x) =cos(π(n+x)t)dt. sin(πx)0
6)Montrer que pour toutxF, la fonctiony7→J[f](x, y)est développable en série entière sur[0,1[,et donner les coefficients de son développement en série entière. En déduire queS[f](x, y) =J[f](x, y)pour toutxFet touty[0,1[.
Pour toutx]0,1[et touty[0,1[,on pose : C[f](x, y) =S[f](x, y) +S[f](1x, y).
3
7) Établirl’identité suivante pour toutx]0,1[et touty[0,1[: Z 1 π(1y) cos(π(1x)t) + cos(πxt) C[g](x, y) =dt. 2 sin(πx)012ycos(πt) +y
III Noyaude Poisson Pour touty[0,1[et toutt[0,1],on définit lenoyau de PoissonPpar : 2 1y P(t, y) =. 2 12ycos(πt) +y
8) Établirl’identité suivante pour touty[0,1[et toutt[0,1]: " # iπt 1 +ye P(t, y) =Re. iπt 1ye
9)Montrer que pourt[0,1]fixé, la fonctiony7→P(t, y)est développable en série entière sur[0,1[,et calculer les coefficients de son développement en série entière.
10) Établirque pour touty[0,1[on a : Z 1 P(t, y)dt= 1. 0
Dans les questions 11) et 12) ci-dessous, on désigne parϕune fonction définie et continue sur[0,1],à valeurs réelles.
11) Montrerque pour toutα]0,1[, on a : Z 1 limP(t, y)ϕ(t)dt= 0 y1 α etZ α P(t, y)ϕ(t)dt6sup|ϕ(t)|.   0 t[0]
4
12) Endéduire que l’on a : Z 1 limP(t, y)ϕ(t)dt=ϕ(0). y1 0 On pourra commencer par traiter le cas oùϕ(0) = 0.
IV Applicationà un calcul d’intégrale Pour toutx]0,1[et touty[0,1[,on pose : Z 1 A(x, y) =P(t, y) cos(πxt)dt. 0
13)Pour toutx]0,1[et touty[0,1[,exprimerC[g](x, y)en fonction deA(x, y) et deA(1x, y).
14)Pourx]0,1[fixé, déterminer la limite deC[g](x, y)quandytend vers1par valeurs inférieures.
15) Endéduire la valeur deI(x)pour toutx]0,1[.
Fin du problème
5
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